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高一数学必修四 223向量数乘


向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量 a ? b
.

O 作法: 在平面中任取一点

a

b

过O作OA ? a

o
a

a?b
b

过A作AB ? b 则OB ? a ? b

A

B

向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量 a ? b
.

O 作法:在平面中任取一点

a a

o

b b

B

过O作OA ? a 过O作OB ? b 以OA、OB为边作 则OC ? a ? b

平行四边形OACB

A

C

向量的减法(三角形法则)
如图,已知向量 a 和向量 b ,作向量 a ? b
.

O 作法: 在平面中任取一点

a

b

过O作OA ? a
b

o
a

B过O作OB ? b
则BA ? a ? b

a ?b

A

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

练习:已知非零向量 a , 作出: a ? a ? a 和 ( ?a ) ? ( ?a ) ? ( ?a ) .
a a
O

a
A

a
B
C

?a
N

?a
M
Q

?a
P

想一想: 相同的向量相加以后, 和的长度与方向有什么 变化?
记为: 3a 即 OC ? 3a . 由图知, OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ? a,
|3 | ? 3 | a | . a 的长度的 3 倍, 3 aa 的长度是 显然 3a 的方向与a 的方向相同,

由图知, PN ? PQ ? QM ? MN ? (?a ) ? (?a ) ? (?a ) , 记为: ? 3a
| ?3a | ? 3 | a | . 即 PN ? ?3a .显然 ? 3a 的方向与a 的方向相反,

问题:通过上述的具体实例总结出更具一般性

的向量数乘的定义

定义:

一般地,实数? 与向量 a 的积是一个向量, 记作 ? a ,
它的长度与方向规定如 下:

(1) | ? a | ? | ? || a |;
(2) 当? ? 0 时, ? a 的方向与a 的方向相同 ; 当? ? 0 时, ? a 的方向与a 的方向相反; 当? ? 0 时, ?a ? 0 .
问题:你能说明它的几何意义吗?

注意:

? 实数?与向量a,可以作积, ? 但不可以作加减法,即?+a, ? ?-a是 无意义 的.

思考: ( 3 2a )与6a之间的联系 实数与向量的积的运算律:

? a

? 2a

? 3( 2a )

? 6a ? ? 3( 2a ) ? 6a
? ? ? ( ?a ) ? (?? )a

思考: (2 ? 3)a与2a ? 3a的联系 实数与向量的积的运算律:

? a

? 5a
? 2a
? 3a

? ? ? ? ? ? ( 2 ? 3)a ? 2a ? 3a (? ? ? )a ? ?a ? ?a

思考: 2(a ? b)与2a ? 2b 的联系 实数与向量的积的运算律:

? ? 2(a ? b )

a

? b

? ? a ?b

? 2b

? ? ? ? ? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

2a

根据实数与向量的积的 定义,可得运算律:

设?、 ? 为实数,则 (1) ? ( ? a) ? (?? )a ; (结合律)
(2) (? ? ? )a ? ? a ? ? a ; (第一分配律)

(3) ? (a ? b) ?
特别地,我们有

?- ? ?a ? -? a ? ? ?- a ?,
? a - b ? ? a - ? b.

? a ? ?b .

(第二分配律)

? ?

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

例 5 计算:
(1) (?3) ? 4a ;
( 2) 3(a ? b) ? 2(a ? b) ? a ;

( 3) ( 2a ? 3b ? c ) ? ( 3a ? 2b ? c ) .
解:

(1) (?3) ? 4a ? (?3 ? 4 )a ? ?12a ;
? 5b ;

( 2) 原式 ? 3a ? 3b ? 2a ? 2b ? a
( 3) 原式 ? 2a ? 3b ? c ? 3a ? 2b ? c

? ? a ? 5 b ? 2c .

课本P90 5

(1) 5(3a ? 2b) ? 4(2b ? 3a)

? 15a ?10b ? 8b ? 12a ? 3a ? 2b

课本P90 5

(3) ( x ? y)a ? ( x ? y)a

? xa ? y a ? xa ? y a
? 2 ya

思考
? ? ? ? ?a与a有何关系? ( a ? 0)

结 论:

? ? 如果b ? ?a , ? ? 那么a,b 是共线向量.

思考
? ? 反过来,如果a 与 b 是 ? ? 共线向量, 那么b ? ?a?

结 论: ? ? 如果a,b 是共线向量, ? ? 那么b ? ?a .

共线向量基本定理:
向量

b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数 ? ,使得 b ? ? a
思考:1) 2)

a 为什么要是非零向量? b 可以是零向量吗?

课本P90 4

4、判断下列各小题中向量a与b是否共线:

(1)a ? ?2e, b ? 2e; (2)a ? e1 ? e2 , b ? ?2e1 ? 2e2 ;

解: ? a ? ?b
? a与b共线。

解: ? b ? ?2a
? a与b共线。

例 如图, 已知 AD ? 3 AB , DE ? 3BC . 试判断 AC 与AE 是否共线 .

E

解: ? AE ? AD ? DE
? 3 AB ? 3 BC ? 3( AB ? BC )

C
A B D
变式一:

? 3 AC ,

? AC 与AE 共线

如图, 已知 AD ? 3 AB , DE ? 3BC . 试判断 A、C、E三点的位置关系。 .

? AC 与AE 共线且有公共点A.? A、C、E三点共线

已知 AD ? 3 AB , DE ? 3 BC . 试判断 AC 与AE 是否共线 . 例 如图, E 解: ? AE ? AD ? DE C ? 3 AB ? 3 BC A ? 3( AB ? BC ) B ? 3 AC , D

变式二:求证:BC // DE

? AC 与AE 共线

? DE ? 3BC
? BC 与DE 共线且BC与DE不在同一直线上 ? BC // DE

定理的应用:
(1)有关向量共线问题: (2)证明三点共线的问题: ? AB ? ? BC(BC ? 0) ? A、B、C三点共线 (3)证明两直线平行的问题:
AB ? ? CD ? AB // CD ? ? ? ? 直线AB // 直线CD ? AB与CD不在同一直线上 ?

例6: 已知任意两非零向量a、b,

试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?

解:作图如右
依图猜想:A、B、C三点共线
??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? a ? 2b ? ? a ? b ? ? b ???? ???? ??? ? AC ? OC ? OA ? a ? 3b ? ? a ? b ? ? 2b

a

b C

b
b b O

B A a

??? ? ??? ? AC ? 2 AB

又 AB与AC有公共点A, ∴ A、B、C三点共线.

→ → 【例 2】 设 e1, e2 是两个不共线向量,已知AB=2e1+ke2,CB → CD =e1+3e2, =2e1-e2,若 A,B,D 三点共线,求 k 的值.

例7: 如图:

ABCD的两条对角线交于点M,且 MA, MB, MC, MD. ? a, AD ? b , 用 AB,表示 a b

解:在平行四边形 ABCD中, ∵ AC ? a ? b , DB ? a - b.
1 1 1 ? MA ? - AM ? ? AC ? ? a ? b. 2 2 2

1 1 1 MB ? DB ? a - b. 2 2 2
1 1 1 MC? AC ? 2 a ? 2 b. 2
b

D

C

M
a

1 1 A 1 MD ? - DM ? ? DB ? ? a ? b 2 2 2

B

3.设平行四边形 ABCD 的边 AB 的四等分点中最 靠近 B 点的一点为 E, 对角线 BD 的五等分点中最靠近 点 B 的点为 F.求证:E,F,C 三点在同一直线上.
→ → 证明:如图,设AB=a,AD=b,则由已知可得, → → → 1 EC=EB+BC= a+b, 4 1 1 → → → 1 1→ 1 1 EF=EB+BF= a+ BD= a+ (b-a)= a+ b. 4 5 4 5 20 5 → → 显然,EC=5EF, 故 E,F,C 三点在同一直线上.

1 2.若 AP ? PB, AB ? ? BP, 则实数?的值是()。 3 3 3 4 4 A. B. ? C. D. ? 4 4 3 3

1 4 解析: AB ? AP ? PB ? PB ? PB ? PB 3 3 4 ? ? BP 3

2 4.在△ABC中,点P是AB上的一点且CP ? CA 3 1 ? CB, 又 AP ? t AB, 则t的值为()。 3 1 2 1 5 A. B. C. D. 3 3 2 3

解析:由题,可得AP ? CP ? CA 2 1 ? CA ? CB ? CA 3 3 1 ? AB. 3 1 又 AP ? t AB, 则t ? . 3

【答案】①③

→ → 已知 a,b 不共线,OM=ma,ON=nb, → OP=α a+β b,其中 m,n,α,β∈R(m· n≠0). α β 若 M,N,P 三点共线,求证:m+n=1.


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