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江苏省南京市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题


南京市 2016-2017 学年度第一学期期末检测卷 高二数学(文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.命题“若 a=b,则|a |=|b|”的逆否命题是 ▲ .

2017.01

y2 2.双曲线 x2- =1 的渐近线方程是 4





a+2i 3.已知复数 为纯虚数,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值是 1-i





4 .在平面直角坐标系 xOy 中,点 (4 , 3) 到直线 3 x - 4 y + a = 0 的距离为 1 ,则实数 a 的值是 ▲ .

5.曲线 y=x4 与直线 y=4x+b 相切,则实数 b 的值是





? ?x+y-2≥0, 6.已知实数 x,y 满足条件?x-y≤0, 则 z=2x+y 的最大值是 ? ?y≤3,





7.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,P 为抛物线 C 上一点,且 PF=5,则 点 P 的横坐标是 ▲ .

8.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O:x2+y2=r2(r>0)与圆 M:(x-3)2+(y+4)2=4 相交,则 r 的取值 范围是 ▲ .

9.观察下列等式: π- 2π - 4 (sin ) 2+(sin ) 2= × 1× 2; 3 3 3 π- 2π - 3π - 4π - 4 (sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2= × 2× 3; 5 5 5 5 3 π- 2π - 3π - 6π - 4 (sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+?+(sin ) 2= × 3× 4; 7 7 7 7 3 π- 2π - 3π - 8π - 4 (sin ) 2+(sin ) 2+(sin ) 2+?+(sin ) 2= × 4× 5; 9 9 9 9 3 …… 依此规律, π -2 2π -2 3π -2 2nπ -2 当 n∈N*时,(sin ) +(sin ) +(sin ) +?+(sin ) = 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 ▲ .

10.若“ ? x∈R,x2+ax+a=0”是真命题,则实数 a 的取值范围是





11.已知函数 f(x)=(x2+x+m)ex(其中 m∈R,e 为自然对数的底数).若在 x=-3 处函数 f (x)有极大 值,则函数 f (x)的极小值是 ▲ .

12.有下列命题: ①“m>0”是“方程 x2+my2=1 表示椭圆”的充要条件; ②“a=1”是“直线 l1:ax+y-1=0 与直线 l2:x+ay-2=0 平行”的充分不必要条件; ③“函数 f (x)=x3+mx 单调递增”是“m>0”的充要条件; ④已知 p,q 是两个不等价命题,则“p 或 q 是真命题”是“p 且 q 是真命题”的必要不充分条件. 其中所有真命题的序号是 ▲ .

x2 y2 13.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2c(c>0),左焦点为 F,点 M 的坐标为(-2c,0).若 a b 椭圆 E 上存在点 P,使得 PM= 2PF,则椭圆 E 离心率的取值范围是 ▲ .

?x(x-t) ,x≤t, ? 14.已知 t>0,函数 f(x)=?1 若函数 g(x)=f(f(x)-1)恰有 6 个不同的零点,则实数 t ?4x,x>t. ?
的取值范围是 ▲ .

2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分 15.(本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 三个顶点坐标为 A(7,8),B(10,4),C(2,-4). (1)求 BC 边上的中线所在直线的方程; (2)求 BC 边上的高所在直线的方程.

16. (本题满分 14 分) 已知复数 z1=m-2i,复数 z2=1-ni,其中 i 是虚数单位,m,n 为实数. (1)若 m=1,n=-1,求|z1+z2|的值; (2)若 z1=(z2)2,求 m,n 的值.

17.(本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M 的圆心在直线 y=-2x 上,且圆 M 与直线 x+y-1=0 相切于点 P(2,-1). (1)求圆 M 的方程; (2)过坐标原点 O 的直线 l 被圆 M 截得的弦长为 6,求直线 l 的方程.

18.(本题满分 16 分) 某休闲广场中央有一个半径 为 1(百米)的圆形花坛,现计划在该花坛内建造一条六边形观光步 .. 道,围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形 ABCF 和梯形 DEFC)构成的六边形 ABCDEF 区域, 其中 A、B、C、D、E、F 都在圆周上,CF 为圆的直径(如图).设 ∠AOF=θ,其中 O 为圆心. (1)把六边形 ABCDEF 的面积表示成关于 θ 的函数 f(θ); (2)当 θ 为何值时,可使得六边形区域面积达到最大?并求最大面积. B C D O θ E
(第 18 题图)

A F

19. (本题满分 16 分) x2 y2 3 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,两个顶点分别为 A(- a b 2 → → a,0),B(a,0),点 M(-1,0),且 3 AM = MB ,过点 M 斜率为 k(k≠0)的直线交椭圆 E 于 C, D 两点,且点 C 在 x 轴上方. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若 BC⊥CD,求 k 的值; (3)记直线 BC,BD 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值. y C

A D

M O

B x

(第 19 题图)

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f (x)=ax-lnx(a∈R). (1)当 a=1 时,求 f (x)的最小值; 1 (2)已知 e 为自然对数的底数,存在 x∈[ ,e],使得 f (x)=1 成立,求 a 的取值范围; e 1 (3)若对任意的 x∈[1,+∞),有 f (x)≥f ( )成立,求 a 的取值范围. x

南京市 2016-2017 学年度第一学期期末检测卷 高二数学(文科)参考答案及评分标准
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.若|a |≠|b|,则 a≠b 8.(3,7) 13.[ 2.y=±2x 3.2 4.± 5 5.-3 6.9 7.4 2017.01

4n(n+1) 9. 3

10.(-∞,0]∪[4,+∞) 11.-1

12. ②④

3 2 , ] 14.(3,4) 3 2 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 解: (1)由 B(10,4),C(2,-4),得 BC 中点 D 的坐标为(6,0) , ………………2 分 8-0 所以 AD 的斜率为 k= =8, 7-6 所以 BC 边上的中线 AD 所在直线的方程为 y-0=8(x-6), 即 8x-y-48=0. ……………… 7 分 ……………… 5 分

4-(-4) (2)由 B(10,4),C(2,-4),得 BC 所在直线的斜率为 k= =1,…… 9 分 10-2 所以 BC 边上的高所在直线的斜率为-1, 所以 BC 边上的高所在直线的方程为 y-8=-(x-7), 即 x+y-15=0. 16. (本题满分 14 分) 解: (1) 当 m=1,n=-1 时,z1=1-2i,z2=1+i, 所以 z1+z2=(1-2i)+(1+i)=2-i, 所以|z1+z2|= 2 +(-1) = 5. (2)若 z1=(z2)2,则 m-2i=(1-ni)2, 所以 m-2i=(1-n2)-2ni,
?m=1-n , 所以? ?-2=-2n,
2 2 2

………………… 12 分

………………………… 14 分

………………4 分 ………………6 分 ……………10 分 ………………12 分

?m=0, 解得? ?n=1.

………………14 分

17. (本题满分 14 分) 解: (1)过点(2,-1)且与直线 x+y-1=0 垂直的直线方程为 x-y-3=0,……2 分
?y=-2x, ?x=1, 由? 解得? x - y - 3 = 0 , ? ?y=-2.

所以圆心 M 的坐标为(1,-2), 所以圆 M 的半径为 r= (2-1) +[-1-(-2)] = 2, 所以圆 M 的方程为 (x-1)2+(y+2)2=2. (2)因为直线 l 被圆 M 截得的弦长为 6, 所以圆心 M 到直线 l 的距离为 d= 2-( 62 2 )= , 2 2
2 2

………………4 分 ………………6 分 ………………7 分

……………9 分

若直线 l 的斜率不存在,则 l 为 x=0,此时,圆心 M 到 l 的距离为 1,则弦长为 2,不符合题意. 若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx,即 kx-y=0, |k+2| 2 由 d= 2 = , ………………11 分 2 2 k +(-1) 整理得 k2+8k+7=0, 解得 k=-1 或-7, ………………13 分 所以直线 l 的方程为 x+y=0 或 7x+y=0. ………………14 分 18. (本题满分 16 分) 解: (1)作 AH⊥CF 于 H, 则 OH=cosθ,AB=2OH=2cosθ,AH=sinθ, ……………2 分 1 则六边形的面积为 f (θ)=2× (AB+CF)× AH=(2cosθ+2)sinθ 2 π =2(cosθ+1)sinθ,θ∈(0, ). 2 (2)f ′(θ)=2[-sinθsinθ+(cosθ+1)cosθ] =2(2cos2θ+cosθ-1)=2(2cosθ-1)(cosθ+1). π 令 f ′(θ)=0,因为 θ∈(0, ), 2 1 π 所以 cosθ= ,即 θ= , 2 3 ……………………12 分 ………………6 分

………………10 分

π π 当 θ∈(0, )时,f ′(θ)>0,所以 f (θ)在(0, )上单调递增; 3 3 π π π π 当 θ∈( , )时,f ′(θ)<0,所以 f (θ)在( , )上单调递减, 3 2 3 2 π π π π 3 所以当 θ= 时,f (θ)取最大值 f ( )=2(cos +1)sin = 3. 3 3 3 3 2 …………14 分 …………15 分

π 3 答:当 θ= 时,可使得六边形区域面积达到最大,最大面积为 3平方百米. 3 2 …………………………16 分 19. (本题满分 16 分) → → 解: (1)因为 3 AM = MB ,

所以 3(-1+a,0)=(a+1,0),解得 a=2. c 3 又因为 = ,所以 c= 3,所以 b2=a2-c2=1, a 2 x2 所以椭圆 E 的方程为 +y2=1. 4 (2)方法 1 设点 C 的坐标为(x0,y0),y0>0, → → 则 CM =(-1-x0,-y0), CB =(2-x0,-y0). 因为 BC⊥CD,所以(-1-x0)( 2-x0)+y02=0. ① x0 又因为 +y02=1, ② 4 2 2 2 联立①②,解得 x0=- ,y0= , 3 3 2 2 3 所以 k= =2 2. 2 - +1 3 方法 2 因为 CD 的方程为 y=k(x+1),且 BC⊥CD, 1 所以 BC 的方程为 y=- (x-2), k 2-k2 3k 联立方程组,可得点 C 的坐标为( , ), 1+k2 1+k2 2-k2 2 ( ) 1+k2 3k 2 代入椭圆方程,得 +( ) =1, 4 1+k2 解得 k=± 2 2. 3k 又因为点 C 在 x 轴上方,所以 >0,所以 k>0, 1+k2 所以 k=2 2 (3)方法 1 因为直线 CD 的方程为 y=k(x+1),
2

………………2 分

………………4 分

……………6 分

………………8 分

………………10 分

………………6 分 ………………8 分

………………10 分

k(x+1), ? ?y= 2 由?x 消去 y,得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0, 2 + y = 1 , ?4 ? 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 则 x1+x2=- 4k2-4 8k2 , x x = , 1+4k2 1 2 1+4k2 …………………12 分 …………………14 分

k2(x1+1) (x2+1) k2(x1 x2+x1+x2+1) 所以 k1k2= = (x1-2)(x2-2) x1 x2-2 (x1+x2)+4 4k2-4 8k2 - +1) 1+4k2 1+4k2 -3k2 1 = = 2 =- , 2 2 36 k 12 4k -4 8k +2× +4 1+4k2 1+4k2 k2(

所以 k1k2 为定值. 方法 2 因为直线 BC 的方程为 y=k1(x-2), k1(x-2), ? ?y= 8k12-2 -4k1 2 由?x 得 C( ), 2, 2 1 + 4 k 1 +4k12 1 ? 4 +y =1, ? 8k22-2 -4k2 同理 D( , ), 1+4k22 1+4k22 → → 由于 C,M,D 三点共线,故 MC , MD 共线, 8k12-2 -4k1 12k12-1 -4k1 → 又 MC =( ), 2+1, 2)=( 2, 1+4k1 1+4k1 1+4k1 1+4k12 8k22-2 -4k2 12k22-1 -4k2 → MD =( , ), 2+1, 2)=( 1+4k2 1+4k2 1+4k22 1+4k22 12k12-1 -4k2 -4k1 12k22-1 所以 , 2× 2= 2× 1+4k1 1+4k2 1+4k1 1+4k22 化简得 12k12k2-k2=12k1k22-k1,即(12k1k2+1)(k1-k2)=0,

……………16 分

………………12 分

……………14 分

1 由于 k1≠k2,否则 C,D 两点重合,于是 12k1k2+1=0,即 k1k2=- , 12 所以 k1k2 为定值. 方法 3 设 C(x0,y0),则 CD:y= y0
0 2

……………16 分 y0 (x+1)(-2<x0<2 且 x0≠-1), x0+1

?y= x +1(x+1), 由? 消去 y, x + y = 1 , ?4
2

得[(x0+1)2+4y02]x2+8y02x+4y02-4(x0+1)2=0. -8-5x0 -3y0 x0 又因为 +y02=1,所以得 D( , ), 4 5+2x0 5+2x0 -3y0 5+2x0 -3y02 y 所以 k1k2= 0 · = x0-2 -8-5x0 (x0-2)(-9x0-18) -2 5+2x0 x2 1- 0 1 4 y0 = = =- , 2 2 12 3(x0 -4) 3(x0 -4)
2 2

………………12 分 ………………14 分

所以 k1k2 为定值. 20. (本题满分 16 分) 1 x-1 解: (1)a=1 时,f(x)=x-ln x , 则 f '(x)=1- = , x x

………………16 分

令 f '(x)=0,则 x=1. ……………………2 分 当 0<x<1 时,f '(x)<0,所以 f(x)在(0,1)上单调递减; 当 x>1 时,f '(x)>0,所以 f(x)在(1,+∞)上单调递增, ………………3 分

所以当 x=1 时,f (x)取到最小值,最小值为 1. 1 lnx (2)因为 f (x)=1,所以 ax-lnx=1,即 a= + , x x -lnx 1 lnx 1 设 g(x)= + ,x∈[ ,e],则 g '(x)= 2 , x x x e 令 g '(x)=0,得 x=1. 1 1 当 <x<1 时,g '(x)>0,所以 g(x)在( ,1)上单调递增; e e 当 1<x<e 时,g '(x)<0,所以 g(x)在(1,e)上单调递减;

…………………4 分 ………………6 分

………………8 分

2 1 因为 g(1)=1,g( )=0,g(e)= ,所以函数 g (x)的值域是[0,1], e e 所以 a 的取值范围是[0,1]. 1 (3)对任意的 x∈[1,+∞),有 f(x)≥f( )成立, x a 1 则 ax-lnx≥ +lnx,即 a(x- )-2lnx≥0. x x
2 1 1 2 ax -2x+a 令 h(x)=a(x- )-2lnx,则 h'(x)=a(1+ 2)- = , x x x x2 2 1 2 a -1 ①当 a≥1 时,ax -2x+a=a(x- ) + ≥0, a a 2

……………………10 分

所以 h'(x)≥0,因此 h(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以 x∈[1,+∞)时,恒有 h(x)≥h(1)=0 成立, 所以 a≥1 满足条件.

………………12 分

1 1 ②当 0<a<1 时,有 >1,若 x∈[1, ],则 ax2-2x+a<0, a a ax2-2x+a 此时 h'(x)= <0, x2 1 1 所以 h(x)在[1, ]上单调递减,所以 h( )<h(1)=0, a a 1 即存在 x= >1,使得 h(x)<0,所以 0<a<1 不满足条件.……………14 分 a ③当 a≤0 时,因为 x≥1,所以 h'(x)= ax2-2x+a <0,所以 h(x)在[1,+∞)上单调递减, x2

所以当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,所以 a≤0 不满足条件. 综上, a 的取值范围为[1,+∞). ………………16 分



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