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2.7指数与对数


指数式与对数式

一.指数的基础知识: n个 1.指数幂的有关概念 ?? ?? ? n ? (1)正整数指数幂:a ? a ?a ? a ? ? ? a ( n ? N ) 0 (2)零指数幂: a ? 1 (a ? 0)

(3)负整数指数幂: a

?n

1 ? n ? a ? 0, n ? N ? ? a

n m ? a ? a a ? 0, m , n ? N , n ? 1? ? (4)正分数指数幂:

m n

(5)负分数指数幂: a

m ?n

?

1 a
m n

?

1
n

am

? a ? 0, m, n ? N , n ? 1?
?

(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂 没有意义

2.有理指数幂的运算性质

r r 3 ab ? a b ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ? ? ?? ? r

?1? a a ? a ? a ? 0, r, s ?Q? r s rs ? 2 ? ? a ? ? a ? a ? 0, r , s ? Q ?
r s r ?s

3.根式的相关知识 n (1) 根式的定义 :一般地 ,如果 x ? a, 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ; 其中 n ? 1, n ? N ? , n a 叫做根式, n 叫做根指 数,a叫被开方数。 (2)根式的性质: 当n是奇数,则 n a n ? a ;

?a 当n是偶数,则 a ? a ? ? ? ?a
n n

(a ? 0) (a ? 0)

二.对数的基础知识
1.对数的概念 b a 如果 ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么b叫做以a为底N的对数, 记作: b ? loga N (a ? 0, a ? 1) 2.对数的基本性质:①零与负数没有对数 log a N log 1 ? 0 ② ③ loga a ? 1 ④ a ?N a 3.对数的运算性质 (其中a>0,a≠1,M>0,N>0)
(1).loga ( MN ) ? loga M ? loga N

M (2).log a ? log a M ? log a N N n n n (3).log a M ? n log a M log a M ? log a M m log c N (c ? 0且c ? 1) (4)对数换底公式: log a N ? log c a
m

5. 6.

log a b.log b a ? 1 log a b?log b c?log c d ? log a d

例1.计算或化简下列各式:
1 2 1 ?1 3? 2 6 3 0 3 ) ? ? (1.03) ? ( ? ) ① ( ) ?( 4 2 6 6 3? 2



a ? 8a ? b 4b ? 2 3 ab ? a
2 3 2 3

4 3

1 3

b ? (1 ? 2 3 ) ? 3 a (a ? 0, b ? 0) a

3.2 3 ?3 1.5 ?6 12 4 10 0 4.( ) ? ( ?5.6) ? (2 ) 9 27 5.( ?2 x y )(3 x
1 4 ? 1 3 1 ? 2 2 3 1 2 ? 2 3

? 0.125
1 4 2 3

?

1 3

y )( ?4 x y )

例2.计算下列各式:


[(1 ? log6 3) ? log6 2 ? log6 18] ? log6 4
2




(lg5) ? lg50 ? lg 2
2

(log3 2 ? log9 2)(log4 3 ? log8 3)

(1).1

(2).1

5 (3). 4

例3.已知 (1) a

a ?a
?1

1 2

1 ? 2

?4

,求下列各式的值:

?a

(2)

a ?a

3 2

?

3 2

(1).14

(2). ? 30 3

例4.(1).已知 log5 35 ? m, 用m的代数式表示 log 7 1.4; 4(3 ? a) (2). 已知log12 27 ? a, 求证 : log 6 16 ? 3? a
m?2 (1). log 7 1.4 ? m ?1

例5.已知x,y,z均为正数,且3 ? 4 ? 6 , 2 x ? py;
x y z

(1)求p的值; (2)求与p最接近的整数; 1 1 1 (3)求证: ? ? ; (4)比较3x,4y,6z的大小. 2 y z x x y z
略解:令3 ? 4 ? 6 ? k , 则k ? 1且x=log3 k , y=log4 k , z=log6 k , (1). p ? 2 log 3 4. 16 27 (2). p ? (2,3), p ? 2 ? 2 log 3 4 ? 2 ? log 3 ,3 ? p ? log 3 9 16 16 27 ? log 3 ? log 3 , ? 与p最接近的整数是3. 9 16 1 1 1 1 (3). ? ? ? ? log k 6-log k 3 ? log k 2, z x log6 k log3 k 1 1 1 ? ? log k 4 ? log k 2. 2y 2log 4 k 2

(4).3x=3log3 k ? (log k 3 3) ?1 , 4y=4log 4 k ? (log k 4 4) ?1 , 6z=6log6 k ? (log k 6) , 故只需比较 3, 4, 6的大小.
6 3 4 6 ?1

? ( 3 3)12 ? 81, ( 4 4)12 ? 64, ( 6 6)12 ? 36

? 3 3 ? 4 4 ? 6 6 ? 1, 则 log k 3 3 ? log k 4 4 ? log k 6 6 ? 0

? 3x ? 4 y ? 6 z

1 ?1 练习 : 化简或求值:(1). ( ) 2 ? 4
(2). (0.027)
? 1 3

( 4ab?1 )3
1 3 ?3 2

(0.1)?2 (a b ) 1 ?2 7 1 ? ( ? ) ? (2 ) 2 ? ( 2 ? 1)0 7 9
2

练习 : (1). 2(lg 2) ? lg 2 ? lg 5 ? (lg 2) ? lg 2 ? 1
2

(2).log 2 ( 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 )

练习: 已知log18 9 ? a,18b ? 5, 用a, b表示 log36 45.

练习: 已知a, b, c均为不为1的正数,且a x ? b y ? c z , 1 1 1 ? ? ? 0, 求abc的值. x y z


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