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广东省湛江一中等四校2016届高三上学期第二次联考数学试卷(理)


“四校”2015—2016 学年度高三第二次联考 理科数学试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考 题,其它题为必考题。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: ⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 ⒉做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号。 ⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式: 柱体体积公式: V ? Sh (其中 S 为底面面积, h 为高)

V ?
锥体体积公式:

1 Sh 3

(其中 S 为底面面积, h 为高)

S ? 4?R 2 ,V ?
球的表面积、体积公式:

4 3 ?R 3 (其中 R 为球的半径)

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

z?
1 . 复 数 (

?1 ? 2i i ( i 是 虚 数 单 位 ) 在 复 平 面 上 对 应 的 点 位 于
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第

) A. 第一象限 四象限

2 . 已 知 集 合 ( ) A. {x|0<x<1} <2}

M={x|y=lg

} , N={y|y=x2+2x+3} , 则 ( ?RM ) ∩N= C. {x|x≥2}

B. {x|x>1}

D. {x|1<x

3、采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查为此将他们随机编号为 1,2 ...960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9,抽到的 32 人中,编号落入区间 [1,450]的人做问卷 A,编号落人区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人 中,做问卷 C 的人数为 ( ) A. 15 B. 10 C. 9 D. 7 4.设{

an } 是公差为正数的等差数列, a ? a2 ? a3 ? 15 , a a a ? 80 , a ?a ? a 2 1 3 若 1 且 123 则 1 1


等于(

1

A.120 5. ( A. 由 )

B. 105

C. 90 所 围 成 图 形 面

D.75 积 是

y ? 2x



y ? 3 ? x2

B.

C.

D.

6 . 若 m 是 2 和 8 的 等 比 中 项 , 则 圆 锥 曲 线 x2+ ( ) A. 或 B. C. 或

的离心率为

D.

5? ?1? (2 tan ) ? ln e ? lg100? ? ? 4 ? 3? 的 7.定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如图所示,则
值为 ( A.15 ) B.13C.8 D.4

?1

第 7 题图

第 8 题图

8. 如 图 是 一 个 几 何 体 的 三 视 图 , 则 该 几 何 体 的 体 积 是 ( ) A.54 B.27 C.18 D.9 AM MP 9. .如图,已知△ABC 中,点 M 在线段 AC 上,点 P 在线段 BM 上且满足 = =2,若 MC PB → → → → | AB | = 2 , | AC | = 3 , ∠ BAC = 120° , 则 AP · BC 的 值 为 ( ) B.2 2 C. 3 11 D.- 3

A.-2

2

第 9 题图 10.如图,在平行四边 ABCD 中, A-BD-C, 则 BISOMIAN 三 棱 锥

第 10 题图 =90.,2AB2 +BD2 =4, 若将其沿 BD 折成直二面角 A—BCD 的 外 接 球 的 表 面 积

为 ( A. 4? ) B. 8? C. 12? D. 16?

11. 抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,已知点 A,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠ AFB=120° .过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 ( ) A. 12.已知定义在 则 ( 函 ) 数 B. 1 C. 的最大值为

D. 2

f ? f ? x ? ? log 3 x ? ?x ? ? 0, ?? ? ? 0, ?? ? 上的单调函数 f ? x ? , ? ? 4, 对 , 都有 ?

g ? x ? ? f ? x ?1? ? f ' ? x ?1? ? 3

















A . ? 4,5?

B . ? 3, 4 ?

C.

? 2,3?

D . ?1, 2 ?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

(x3 ?
13.

1 x x

)9
的展开式中的常数项为________. 是 正 项 数 列 ,

14. 若 数 列

?an ?

a1 ? a2 ? ... ? an ? n 2 ? 3n(n ? N ? )

, 则

a a1 a 2 ? ? . .?. n ? 2 3 n ? 1 _____.
3

9 15. 若 m∈(0,3), 则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0 与 x 轴、 y 轴围成的三角形的面积小于 的 8 概率为_______. 16. 在

?ABC中,内角A、B、C对边分别为
A ? 2 _______.

a



b



c,







a 2 ? (b ? c) 2 , 则Sin
S=

三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

1 a cos C ? c ? b 2 17. (本小题 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 .
(1)求角 A 的大小;(2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围. 18、(本小题满分 12 分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办 了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决 赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统 计,制成如下频率分布表. 分数(分数段) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合 计 频数(人数) 频率

9

x

y
16

0.38 0.32
s
1

z p

(1)求出上表中的 x, y, z , s, p 的值; (2)按规定,预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定出 场顺序.已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格. ①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率; ②记高一(2)班在决赛中进入前三名的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O ,

E 为线段 PC 上一点,且 AC ? BE ,
(1)求证: PA // 平面 BED ; (2)若 BC // AD , BC ?

2 , AD ? 2 2 , PA ? 3 且 AB ? CD
4

求 PB 与面 PCD 所成角的正弦值。

20. (本小题 12 分)已知抛物线 C :

x2 ?

1 y 2 ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 M 、 N 两

点, Q 是线段 MN 的中点,过 Q 作 x 轴的垂线交 C 于点 T 。 (1)证明:抛物线 C 在点 T 处的 切线与 MN 平行; (2)是否存在实数 k 使 TM ? TN ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.
?? ??

y 2
N O T Q

M

x

21.(本小题 12 分)设函数

f ? x ? ? 1 ? e? x



(1)证明:当 x ? ?1 时,

f ? x? ?

x x ?1 ;

(2)设当 x ? 0 时,

f ? x? ?

x ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 做, 则按所做的第一个题目计分, 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图, 四边形 ABCD 内接于⊙O, BD 是⊙O 的直径, AE⊥CD 于点 E, DA 平分∠BDE. (1)证明:AE 是⊙O 的切线; (2)如果 AB=2 ,AE= ,求 CD.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? ? ? 2 sin(? ? )
已知圆 M 的极坐标方程为 建立平面直角坐标系。 (1)求圆 M 的标准方程;

4 ,现以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴,

? x2 ? y2 ? 1 (2) 过圆心 M 且倾斜角为 4 的直线 l 与椭圆 2 交于 A, B 两点, 求 | MA | ? | MB |
的值。 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)解不等式:f(x)+f(x﹣1)≤2;
5

(2)当 a>0 时,不等式 2a﹣3≥f(ax)﹣af(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. “四校”2015—2016 学年度高三第二次联考 理科数学评分标准 选择题(每小题 5 分,共 12 小题,满分 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 C 6 D 7 B 8 C 9 A 10 A 11 A 12 C

二.填空题(每小题 5 分,共 4 小题,满分 20 分)

13. 84 .

14. 2n ? 6n .
2

2 15. 3

.

16.

17 17

.

三、解答题(解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分)



(1)



1 a cos C ? c ? b 2



1 sin A cos C ? sin C ? sin B 2
又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

…………2 分

1 1 ? sin C ? ? cos A sin C ,? sin C ? 0,? cos A ? ? 2 2
……4 分

……

?0 ? A ? ?
?A? 2? 3
由 正 弦 定 …… 理

……6 分 (2)

b?
得:

a sin B 2 2 ? sin B c ? sin C sin A 3 3 , 2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3

…………8 分

l ? a ? b ? c ? 1?

6

? 1?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) 2 3 3 2 3
2? ? ? ? 2? ,? B ? (0, ),? B ? ? ( , ) 3 3 3 3 3 ,

………

…10 分

?A?

? 3 ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 2


?ABC
2 3 ? 1] 3 .



















(2,

…………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解 : (

1













x ? 0.18, y ? 19, z ? 6, s ? 0.12, p ? 50
( 2 人, ) 由 ( Ⅰ ) 知 , 参 加 决 赛 …………4 分

…………3 分 的 选 手 共 6

①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件 A ,

P( A) ?


1 1 C5 +C1 7 4C4 ? 2 A6 10

7 所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为 10 .
分 ② 随 机 变 量

…………-6

X













0,1, 2

…………7 分
3 2 1 1 2 C4 C4 C2 3 C4 C2 1 1 ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? 3 3 3 C6 5 , C6 5, C6 5,

P( X ? 0) ?


…………10

随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

7

P
…………11 分

1 5

3 5

1 5

1 3 1 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? =1 5 5 5 , 因为
所 以 随 机 变 量

X













1.
19. (本小题满分 12 分) (1)? AC ? BD, AC ? BE, BD ? BE ? B ,

…………12 分

? AC ? 平面BDE ,连接 OE ,
分 所以 AC ? OE ,又 PA ? 平面ABCD ,

…………1

? AC ? PA ,又 OE, PA 都是平面 PAC 中的直线,

?
PA ,
且 OE ? 平面BDE , PA ? 平面BDE , ∥ 平面BDE (2)? BC // AD , BC ?

OE …………3 分



…………4 分

2 , AD ? 2 2 且 AB ? CD
…………5

? 在等腰梯形中 OB ? OC ? 1, OA ? OD ? 2


E ? 平面 A B C D 由 (1) 知O

, 分别以 OB, OC , OE 为

x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,
…………6

则 B(1,0,0), C (0,1,0), D(?2,0,0), P(0, ?2,3) 分

? ??? ? ?n ? CD ? 0 ? ??2 x ? y ? 0 ? ? ? ??? ? ? n ? PC ? 0 3 y ? 3z ? 0 ? n ? ( x , y , z ) ? PCD 设平面 的法向量为 则 ,所以 ? ? y ? z ? ? 2 n x ? 1 取 ,则 , ? (1, ?2, ?2) ,


…………9

8

??? ? PB ? (1, 2, ?3) , 又 ??? ? ? ??? ? ? PB ? n 14 cos PB, n ? ??? ? ? ? 14 PB n
分 所 以 PB 与 平 面 PCD 所 成 角 的 正 弦

…………11 值 为

14 14
20、 (本小题满分 12 分) 解: (1) 设 分

…………12 分

M( x1 ,y 1 , )N ( x, y )2 Qx ( , y )0 2,

0



…………1

联立

? y ? 2 x2 ? ? y ? kx ? 2

得 2 x ? kx ? 2 ? 0
2

…………2 分

所以

x1 ? x2 ?

k , x1 ? x2 ? ?1 2 ,

…………3 分

? x0 ?

x1 ? x2 k ? 2 4,

…………4 分

? y ? 2 x2 ,
所以

y'

x ? x0

?k
2

所以抛物线 y ? 2 x 在 T 点处的切线与 MN 平行。

…………6 分

k k2 T( , ) (2) 由 (1) 可得 4 8 , 则


…………7

???? ??? ? k k k2 k2 TM ? TN ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? ( y1 ? )( y2 ? ) 4 4 8 8 7 k3 k2 k2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? ( k ? )( x1 ? x2 ) ? ? (2 ? ) 2 4 8 16 8
?? 3 2 (k ? 4)(k 2 ? 16) ? 0 64


…………9 分

…………11 分 , 所 以 存 在



k ? ?2

k ? ?2





9

???? ??? ? TM ? TN ? 0
21、 (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:当 x ? ?1 时, x ? 1 ? 0 ,

…………12 分

f ? x? ?

x x x 1 1 ? e? x ? ?1? ? e? x ? ? e? x ? e x ? 1 ? x x ? 1 ,即 x ?1 x ?1 x ?1 .




g ? x ? ? ex ? ?1 ? x ?


x ? ? ?1 ,? ? ?



…………2 分

g? ? x ? ? ex ?1


g? ? x ? ? 0

,得 x ? 0 .

令g ' ? x ? ? 0得x ? 0; 令g' ? x ? ? 0得 ?1 ? x ? 0.
所以当 x ? ?1 时,

gmin ? g ? 0? ? e0 ? ?1 ? 0? ? 0



故 当 x ? ?1 时 ,

g ? x? ? 0

, 即 e ?1? x , 即
x

f ? x? ?

x x ?1 , 且 当 且 仅 当 x ? 0 时 等 号 成

立.…………4 分 (2)解:由 x ? 0 时, 分

0 ? 1 ? e? x ?

x ax ? 1 恒成立,故 a ? 0 .

…………5



h? x? ?
ax ? 1 ? ax

x +e? x ? 1 ax ? 1
1 ? e? x ?



x ??0 , ? ??





h? ? x ? ?

? ax ? 1?

2

? e? x ?
2

? ax ? 1?

2

?e x ? ? ax ? 1?2 ? ? ? ax ? 1? ?
2

e? x



…………6 分 …………7 分 …………8 分

设 则

k ? x ? ? ex ? ? ax ? 1?



x ??0 , ? ??



k ? ? x ? ? ex ? 2a ? ax ? 1? ? ex ? 2a2 x ? 2a k ? ? 0 ? ? 1 ? 2a .

当 1 ? 2 a ? 0 ,即

0?a?

1 2 时, 2a2 ? 1 2 ,故 k ?? ? x ? ? 0 .

k ?? ? x ? ? e x ? 2a2
所以

, x ? 0 时, e ? 1 ,
x

k?? x?

单调递增,

k ? ? x ? ? k ? ? 0? ? 0


10



k ? x?

单调递增,

k ? x ? ? k ? 0? ? 0
1 2 时,

恒成立,符合题意.

…………10 分

当 1 ? 2 a ? 0 ,即

a?

x ? ? 0, ? ? k? x ? 0 k ? x? 存在 ? ? 0 , 时, ? ? , 单调递减,

k ? x ? ? k ? 0? ? 0
综 合 上

,与

k ? x? ? 0


恒成立矛盾. 实 数

…………11 分



a













? 1? ? 0,2 ? ? ?.

…………12 分

22、 (本小题满分 10 分) (1)证明:连结 OA,在△ADE 中,AE⊥CD 于 点 E, ∴∠DAE+∠ADE=90° ∵DA 平分∠BDC. ∴∠ADE=∠BDA ∵OA=OD ∴∠BDA=∠OAD ∴∠OAD=∠ADE ∴∠DAE+∠OAD=90° 即: AE 是⊙O 的切线 (2)在△ADE 和△BDA 中, ∵BD 是⊙O 的直径 ∴∠BAD=90° 由(1)得:∠DAE=∠ABD 又∵∠BAD=∠AED

…………5 分

∵AB=2 求得:BD=4,AD=2 ∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60° 进一步求得:CD=2 分 23、 (本小题满分 10 分)

…………10

? ? 2 ? 2 ? sin(? ? ) ? ? sin ? ? ? cos ?
解: (1)由 得x ? y ? y?x,
2 2

4



11

1 1 1 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 2 即
1 1 ( , ) (2)点 M 2 2 ,
? 1 ?x ? ? ? 2 ? ?y ? 1 ? ? 2 直线 l 的参数方程为: ?
代入椭圆方程整理得:

…………3 分

2 t 2 (t为参数) 2 t 2

…………6 分

t 2 ? 2t ?

5 ?0 6 5 6 。 …………10 分

…………8 分



| MA | ? | MB |?| t1 ? t2 |?

24. (本小题满分 10 分) 解(1)当 x≤1 时,﹣2x+3≤2,即 当 1<x≤2 时,1≤2,即 1<x≤2. 当 x>2 时,2x﹣3≤2,即 2<x≤ . 综上所述,原不等式的解集为{x| ≤x≤ }. 分 (2)当 a>0 时, f(ax)﹣af(x) =|ax﹣1|﹣|ax﹣a| =|ax﹣1|﹣|a﹣ax| ≤|ax﹣1+a﹣ax| =|a﹣1|, 所以,2a﹣3≥|a﹣1|,解得 a≥2. 所 以 实 数 a …………5 ≤x≤1.













+? ? ? 2,

…………10 分

12


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