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江西省临川一中2012届高三4月模拟考试理科数学试题


江西临川一中 2012 届高三 4 月模拟考试试卷 理科数学
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1 . 设 A 、 B 为 非 空 集 合 , 定 义 集 合 A*B 为 如 图 非 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 , 若
A ? {x | y ? 2 x ? x } , B ? { y | y ? 3 , x ? 0} ,
2
x

则A*B= (



A.(0,2) C.(1,2] 2.设复数 z1 ? 1 ? i , z 2 ? 2 ? b i ,若
z2 z1

B.[0,1]∪[2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞) 为纯虚数,则实数 b ? ( )

A. 2 B. 1 C. ? 1 D. ? 2 3、下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若 x2 =1,则 x=1”的否命题为: “若 x2 =1,则 x≠1” B.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 C.命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是: “对任意 x∈R,均有 x2+x+1<0 ” D. “x=―1”是“x2―5x―6=0”的必要不充分条件 4、从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体, 其三视图如右图,则该几何体的体积为 ( ) A.
7 8

B.

5 8

C.

5 6

D.

3 4

5 . 阅 读 右 面 程 序 框 图 , 任 意 输 入 一 次 x( 0? x ? 1 ) 与
y (0 ? y ? 1) ,则能输出数对 ( x , y ) 的概率为(



A. C.

1 4 1 3
x

B. D.

2 3 3 4

6. 已知函数 f ( x ) ? a ? x ? b 的零点 x 0 ? ( n , n ? 1)( n ? Z ) , 其中常数 a,b 满足 2 a ? 3 , 3 b ? 2 ,则 n 等于( A.1 B.-2 C. -1 ) D.2

7 . 设 函 数 f ( x ) ? x sin x ( x ? R ) 在 x ? x 0 处 取 得 极 值 , 则
(1 ? x 0 )(1 ? co s 2 x 0 ) 的值为
2

( C.
1 4



A. 2

B.

1 2

D.4

8.设∠POQ=60°在 OP、OQ 上分别有动点 A,B,若 OA ?OB =6, △OAB 的重心是 G,则| OG | 的

最小值是( ) A.1 B.2
x a
2 2

C.3
y b
2 2

D.4

9.设点 P 是椭圆

?

? 1( a ? b ? 0 ) 上一点, F1 , F 2 分别是椭圆的左、右焦点, I 为 ? PF 1 F 2

的内心,若 S ? IPF ? S ? IPF ? 2 S ? IF
1 2

1 F2

,则该椭圆的离心率是 (
1 4



(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

10.已知函数 f ( x ) ? ?

? 2 x ? 1( x ? 0 ) ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0 )

,把函数 g(x)=f(x)-x+1 的零点按从小到大的顺序排列

成一个数列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S 10 =( ) A. 2
10

?1

B. 2 ? 1
9

C.45

D.55

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)


二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填写答题卡中的横线上
a 11. 公差为 d , 各项均为正整数的等差数列中, a 1 ? 1 , n ? 51 , n ? d 的最小值等于 若 则

12.已知曲线 f ( x ) ? a ln x ? bx ? 1 在点( 1, f (1) )处的切线斜率为-2,且 x ? 极值点,则 a-b=
2

2 3

是 y ? f (x) 的

.
3 n 2 n

13.已知 (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? ? ? (1 ? x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a n x ,且
a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 126 ,那么 ( 3
x a
2 2

x ?

1 x

) 的展开式中的常数项为

n

.

14.如图,已知 F1、F2 是椭圆 C

:

?
2

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0
2

)的左、右焦点,

点 P 在椭圆 C 上, 线段 PF2 与圆 x 2

? y

?b

相切于点 Q, 且点 Q 为线段 PF2

的中点,则椭圆 C 的离心率为________. 三、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,本 题共 5 分 4 15.(A)若不等式|x+1|-|x―4|≥a+ ,对任意的 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a
? x=a+2t π (B)已知直线 l∶? (t 为参数) ,圆 C∶?=2 2 cos(?― )(极轴与 x 轴的非负半轴 4 ?y=―1―t

重合,且单位长度相同) ,若直线 l 被圆 C 截得弦长为 2,则 a= 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (本小题满分 12 分)△ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a、b、c,满足 2 A B ? A C (Ⅰ)求角 A 的大小;
??? ???? ? ? a ? (b ? c )
2 2



(Ⅱ)求 2

3 co s

2

C 2

? sin (

4? 3

? B)

的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小.

17. (本小题满分 12 分)第七届城市运动会 2011 年 10 月 16 日在江西南昌举行 ,为了搞好接待 工作, 运动会组委会在某大学招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。 将这 30 名志愿者的身高编 成如右所示的茎叶图(单位:cm) :若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子”, 身高 在 175cm 以下 (不包括 175cm) 定义为“ 非高个子 ”, 有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。 (I)如果用分层抽 方法从“高个子”中和“非高个子”中提取 5 人, 再从这 选 2 人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? 若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 X 表示所选 者中能担任“礼仪小姐”的人数, 试写出 X 的分布列,
X 的数学期望。

且 只 样 的 5 人中 (II) 志 愿 并 求

18. (本小题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为 等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. (Ⅰ)证明: BN ⊥平面 C 1 NB 1 ; (Ⅱ)求平面 CNB 1 与平面 C 1 NB 1 所成角的余弦值;

C
4 正视图 4 4 俯视图 8 左视图

C1

B M A N

B1

19. (本小题满分 12 分)已知等差数列 (Ⅰ)求数列

?a n ? ( n ? N+)中, a n ? 1

? a n a 2 a 9 ? 232

,

,

a 4 ? a 7 ? 37

.

?a n ? 的通项公式; ?a n ? 的项重新组合,得到新数列 ?b n ? ,具体方法如下:

b 4 ? a 8 ? a 9 ? a 10 ? ? ? a 15

(Ⅱ)若将数列

b1 ? a 1



b2 ? a 2 ? a 3



b3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7

,…,依此类推,

第n 项

bn

{b n n ?1 ?a ? 由相应的 n 中 2 项的和组成,求数列

?

1 4

?2 }
n

的前 n 项和

Tn

.

20. (本小题满分 13 分) 已知双曲线 W:

点 N (0, b ) ,右顶点是 (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过点 Q (0, ? 2 ) 的直线 l 交双曲线 W 的右支于 A、B 两个不同的点(B 在 A、Q 之间) ,若 点 H (7 , 0 ) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,试求△ AQH 与△ BQH 面积之比 λ 的取值范围.

? `1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 2 2 a b ???? ????? ? M,且 M N ? M F 2 ? ? 1 , ? N M F2 ? 1 2 0 ? .

x

2

?

y

2

的左、右焦点分别为 F1 、 F 2 ,

21. (本小题满分 14 分) 设函数

f (x) ? 1 ? e

?x

,函数 g ( x ) ?

x ax ? 1

(其中 a ? R ,e 是自然对数的

底数) . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 h ( x ) ? f ? ( x ) ? g ( x ) 的极值; (Ⅱ)若 f ( x ) ? g ( x ) 在 [0, ? ? ) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
2n?

(Ⅲ)设 n ? N ,求证: e
*

?
k ?1

n

4 k ?1

n ( n ? 1)

? n!? e

2

(其中 e 是自然对数的底数) .

江西临川一中 2012 届高三 4 月模拟考试试卷

理科数学参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 C 5 C 6 C 7 A 8 B 9 A 10 C

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共 28 分) 11. 16 12.10 13.
?540

14.

5 3

三、选做题: (请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分, 本题共 5 分 ) 15.(A)a≤-4 或-1≤a<0 (B)a=5± 5
? a ? b ? c ? 2b c
2 2 2

四、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解 (Ⅰ)由已知 2 b c co s A 由余弦定理 a ∵0 ?
A??
2 2 2

,······························ 分 ····························· 2
? ?2bc

? b ? c ? 2 b c co s A
? 2? 3

得 4 b c co s A

,∴ c o s A

? ?

1 2

, ·········· 分 ········· 4

,∴ A
? 2? 3

.················································ 分 ··············································· 6
?

(Ⅱ)∵ A
2 3 cos
2

,∴ B
4? 3

?
3

?C

,0

? C ?

?
3

.
?
3 ? B) ? 3 ? 2 s in ( C ?

C 2

? sin (

? B) ? 2 3 ? ? C ?

1 ? cos C 2

? sin (

?
3

) . ······· ······ 8



∵0

? C ?

?
3

,∴
?

?
3

?
3

?

2? 3


4? 3 ? B)

∴当 C

?

?
3

?
2

,2

3 cos

2

C 2

? sin (

取最大值

3 ? 2

,解得 B

? C ?

?
6

. ··· 12 分 ···

17.解: (1)根据茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人,……1 分 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以选中的“高个子”有 12 ?
1 6 5 30 ? 1 6 1 6 ? 3 人.3 分



……2 分

? 2 人,“非高个子”有 18 ?

用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件 A 表示 “没有一名“高个子”被选中”,则 P ( A ) ? 1 ?
7 10

C3 C5

2 2

?1?

3 10

?

7 10

.…5 分

因此,至少有一人是“高个子”的概率是

. 6分
C8
3 3

X (2) 依题意, 的取值为 0, 1, 2, 3 .7 分

P (? ? 0 ) ?

?

14 55



P ( ? ? 1) ?

C 4C 8 C 12
3

1

2

?

28 55

C 12 P (? ? 2 ) ? C 4C 8 C 12
3 2 1

?

12 55



P (? ? 3 ) ?

C4 C 12
3

3

?

1 55

. …9 分

因此, ? 的分布列如下:
?
p

0
14 55

1
28 55

2
12 55

3

1 55

……10 分
? E? ? 0 ? 14 55 ? 1? 28 55 ? 2? 12 55 ? 3? 1 55 ?1.

……12 分

18.解: (Ⅰ)证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴
B A , B C , B B 1 两两垂直.

以 B A , B B1 , B C 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系如图.--------------2 分 则 B ? 0, 0, 0 ? , N ? 4, 4, 0 ? , B1 ? 0, 8, 0 ? , C 1 ? 0, 8, 4 ? , C ? 0, 0, 4 ? . ∴ B N ?N B1
???? ???? ?
z

? ? 4, 4, 0 ? ?? ? 4, 4, 0 ? ? ? 1 6 ? 1 6 ? 0



C

C1

???? ????? B N ?B1 C 1 ? ? 4, 4, 0 ? ?? 0, 0, 4 ? ? 0

.------------4 分
B B1 N y M A x

∴ N B ? N B1 , B N ? B1C 1 . 又 N B 1 与 B 1 C 1 相交于 B 1 , ∴ BN ⊥平面 C 1 NB 1 . -------------------6 分

(Ⅱ)∵ BN ⊥平面 C 1 NB 1 , ∴ B N 是平面 C 1 B1 N 的一个法向量 n1 设 n2
?? ? ?

????

?? ?

? ? 4, 4, 0 ?

,

------------8 分

? x , y , z ? 为平面 N C B1 的一个法向量,
???? ?? x, y , z ? ? ? 4, 4, ?4 ? ? 0 ?CN ? 0 ?x ? y ? z ? 0 ? ? ? ? ? ???? ? ? N B1 ? 0 ?x ? y ? 0 ?? x, y , z ? ? ? 4, ?4, 0 ? ? 0 ?
?? ? ? ? 1,1, 2 ?

?? ? ? n2 ? ? 则 ? ?? ? n2 ?

,

所以可取 n 2


4?4 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4
3 3

------------10 分
1 3 3 3

?? ?? ? ? 则 c o s ? n1 , n 2 ? ?

?? ?? ? ? n1 ? n 2 ?? ? ?? ? ? | n1 | ? | n 2 |

?

?



∴所求二面角 C-NB1-C1 的余弦值为



------------12 分

19.解: (Ⅰ)由 a 2 a 9 ? 232 与 a 4 ? a 7 ? a 2 ? a 9 ? 37

解得: ?

?a2 ? 8 ? a 9 ? 29

或?

? a 2 ? 29 ?a9 ? 8

(由于 a n ? 1 ? a n ,舍去)
? a1 ? 5 ?d ? 3

设公差为 d ,则 ?

? a 2 ? a1 ? d ? 8 ? a 9 ? a 1 ? 8 d ? 29

,解得 ?

所以数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 3 n ? 2 ( n ? N ? ) ……………………………………4 分 (Ⅱ)由题意得:
b n ? a 2 n ?1 ? a 2 n ?1 ? 1 ? a 2 n ?1 ? 2 ? ? ? a 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 1
? (3 ? 2
n ?1

? 2 ) ? (3 ? 2
n ?1

n ?1

? 5 ) ? (3 ? 2

n ?1

? 8 ) ? ? ? [3 ? 2

n ?1

? (3 ? 2

n ?1

? 1)]

?2

n ?1

?3?2

? [ 2 ? 5 ? 8 ? ? ? (3 ? 2
n ?1

n ?1

? 4 ) ? (3 ? 2

n ?1

? 1)] …………………………6 分
n ?1

而 2 ? 5 ? 8 ? ? ? (3 ? 2

? 4 ) ? (3 ? 2

n ?1

? 1) 是首项为 2 ,公差为 3 的等差数列的前 2 ? 1)

项的和,

所以 2 ? 5 ? 8 ? ? ? ( 3 ? 2
n ?1

n ?1

? 4 ) ? (3 ? 2

n ?1

? 2

?2?

2

n ?1

(2

n ?1

? 1)

?3 ? 3?2

2n?3

?

1 4

?2

n

2

所以 b ? 3 ? 2 2 n ? 2 ? 3 ? 2 2 n ? 3 ? 1 ? 2 n ? 9 ? 2 2 n ? 1 ? 2 n ………………………………10 分 n
4 8 4

所以 b ? 1 ? 2 n ? 9 ? 2 2 n n
4 8

所以 T ? 9 ( 4 ? 16 ? 64 ? ? ? 2 2 n ) ? 9 ? 4 (1 ? 4 ) ? 3 ( 4 n ? 1) ……………………12 分 n
n

8

8

1? 4

2

20.解(Ⅰ)由已知 M ∵ ? N M F2 解得 a
? 120
?

(a, 0)

, N (0, b ) ,
? 60
?

F2 ( c , 0 ) ?

, MN
2

???? ????? ? 2 ? M F2 ? ( ? a , b ) ? ( c ? a , 0 ) ? a ? a c ? ? 1
? a ?c
2 2



,则 ? N M F1
3

,∴ b

3a

,∴ c

? 2a

, 分

? 1,b ?

,∴双曲线的方程为 x 2

?

y

3

? `1 . ····················· ···················· 4
? kx ? 2
2

(Ⅱ)直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l: y

,设 A ( x1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,

?3 ? k ? 0, ? 2 2 ? ? ? 1 6 k ? 2 8 (3 ? k ) ? 0 , ? y ? kx ? 2, ? ? 由? 2 y2 得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 4 kx ? 7 ? 0 ,则 ? x ? x ? 4 k ? 0 , 1 2 2 ? `1 ?x ? k ?3 ? 3 ? ? 7 ? x1 x 2 ? 2 ? 0, k ?3 ?

解得

3 ? k ?

7



①··········································· 6 分 ···········································
??? ???? ?

∵点 H (7 , 0 ) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则 H A ? H B

? 0, ???? ???? 2 H A ? H B ? ( x1 ? 7, y1 ) ? ( x 2 ? 7, y 2 ) ? ( x1 ? 7 ) ? ( x 2 ? 7 ) ? y1 y 2 ? (1 ? k ) x1 x 2 ? (7 ? 2 k )( x1 ? x 2 ) ? 5 3

? (1 ? k ) ?
2

7 k ?3
2

? (7 ? 2 k ) ?

4k k ?3
2

? 53 ?
k ?

7 k ? 7 ? 8k ? 28k ? 53k ? 159
2 2 2

k ?3
2

?0

,解得 k

? 2

. ②

由①、②得实数 k 的范围是 2 ? 由已知 ?
? S ?AQH S ?BQH ? | AQ | | BQ |

7

,···································· 分 ··································· 8
??? ? ??? ? ? ?QB

,∵B 在 A、Q 之间,则 Q A

,且 ?

? 1,

4k ? , ? (1 ? ? ) x 2 ? 2 ? k ?3 ∴ ( x1 , y1 ? 2 ) ? ? ( x 2 , y 2 ? 2 ) ,则 x1 ? ? x 2 ,∴ ? 7 ?? x2 ? , 2 2 ? k ?3 ?



(1 ? ? )

2

?
k ?

?

16 7

? k

k
2

2

?3

?

16 7

(1 ? k
2

3
2

?3

)

, ·································10 分 ································
1 7 ? ? ? 7

∵2 ?

7

,∴ 4 ?

(1 ? ? )

?

?

64 7

,解得

,又 ?

? 1 ,∴ 1 ? ? ? 7



故 λ 的取值范围是 (1, 7 ) . ············································ 13 分 ············································ 21.解 (Ⅰ) f ? ( x ) ? ? e ? x ? ( ? x ) ? ? e ? x ,函数 h ( x ) ? f ? ( x ) ? g ( x ) ? xe ? x , h ? ( x ) ? (1 ? x ) ? e ? x ,当 x ? 1 时,h ? ( x ) ? 0 ; x ? 1 时,h ? ( x ) ? 0 , 当 故该函数在 ( ? ? ,1) 上单调递增, (1, ? ? ) 上单调递减. 在 ∴ 函数 h ( x ) 在 x
? 1 处取得极大值 h (1) ?

1 e

.··································· 4 分 ···································
? 0

(Ⅱ)由题 1 ? e ? x 若x
? 0

?

x ax ? 1

在 [0, ? ? ) 上恒成立,∵ x
? 0

, 1 ? e ? x ? [0,1) ,∴
? 0

x ax ? 1

? 0



,则 a ? R ,若 x
? x ax ? 1

,则 a

? ?

1 x

恒成立,则 a



不等式 1 ? e ? x 令 u (x) ?

恒成立等价于 ( a x ? 1)(1 ? e ? x ) ?
)? x

x? 0

在 [0, ? ? ) 上恒成立,··· 6 分 ···
?x

( a x ? 1)(1 ? e a (1 ? e
?x

?x

,则 u ? ( x ) ?
?x

a (1 ? e

?x

) ? ( a x ? 1) e
?x

?1,

又令? ( x ) ?

) ? ( a x ? 1) e

? 1 ,则? ? ( x ) ? e

( 2 a ? a x ? 1)

,∵ x

? 0

,a

? 0



①当 a ? 0 时,? ? ( x ) ? ? e ? x ? 0 ,则? ( x ) 在 [0, ? ? ) 上单调递减,∴? ( x ) ? u ? ( x ) ? ? (0 ) ? 0 , ∴ u ( x ) 在 [0, ? ? ) 上单减,∴ u ( x ) ? u (0 ) ? 0 ,即 f ( x ) ? g ( x ) 在 [0, ? ? ) 上恒成立; · 7 分 · ②当 a
? 0

时,? ? ( x ) ?
2 a ? 1? 0,

?a ? e

?x

(x ?

2a ? 1 a 1 2

)


)? 0,

ⅰ)若



0 ? a ?

时 , ? ?( x

则 ? (x) 在

[0, ? ? )

上单调递减,

∴ ? ( x ) ? u ? ( x ) ? ? (0 ) ? 0 ,∴ u ( x ) 在 [0, ? ? ) 上单调递减,∴ u ( x ) ? u (0 ) ? 0 ,此时 f ( x ) ? g ( x ) 在 [0, ? ? ) 上恒成立; ·························································· 8 分 ·························································· ⅱ)若 2 a
?1? 0

,即 a
0

?

1 2

时,若 0

? x ?

2a ? 1 a

时,? ? ( x ) ? 0 ,则? ( x ) 在 ( 0 ,

2a ? 1 a

)

上单调递

增,∴? ( x ) ? u ? ( x ) ? ? (0 ) ? ∴ u ( x ) ? u (0 ) ? 0 ,即 综上,不等式

,∴ u ( x ) 在 ( 0 ,

2a ? 1 a

)

上也单调递增,

f (x) ? g (x)

,不满足条件. ··························9 分 ·························
1 2 ]

f (x) ? g (x)

在 [0, ? ? ) 上恒成立时,实数 a 的取值范围是 [ 0 ,
? 1 2

. · 10 分 ·

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a

时,则 1 ? e ? x
2? x 2? x

?

x 1 2 x ?1

? e

?x

?

2? x 2? x



当 x ? [0, 2 ) 时, e ? x

?

2? x 2? x

? x ? ln

,令

2? x 2? x

? n

,则 x

?

2n ? 2 n ?1

? 2?

4 n ?1



∴ ln n

? 2?

4 n ?1

( n ? N ) ,∴ ? ln k ? 2 n ?
*

n

?
k ?1

n

4 k ?1

,∴ ln ( n !) ?

2n ?
1 e

?
k ?1

n

4 k ?1

, ··12 分 ·
? x ?1

k ?1

又由(Ⅰ)得 h ( x ) ?

h (1) ,即 x e

?x

?

1 e

,当 x>0 时, ln ( x e ? x )
n ( n ? 1) 2

? ln

? ?1

,∴ ln x



ln ( n !) ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) ?
n


n ( n ? 1) 2

综上得 2 n

?

?
k ?1

4 k ?1

? ln ( n !) ?

n ?n
2

2n?

,即 e

?
k ?1

n

4 k ?1

? n!? e

2

.···············14 分 ··············


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