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2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第3章 第1讲 变化率与导数、导数的运算


第三章 导数及其应用 第1讲 一、选择题 1. 设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切 线的斜率为( A.- 解析 1 5 ) B.0 C. 1 5 D.5 变化率与导数、导数的运算 因为 f(x)是 R 上的可导偶函数,所以 f(x)的图象关于 y 轴对称,所以 f(x)在 x=0 处取得极值,即 f′(0)=0,又 f(x)的周期为 5,所以 f′(5) =0,即曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为 0,选 B. 答案 B 2.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足 f(x)>0,xf′(x)+f(x)<0, 则对任意正数 a,b,若 a>b,则必有 A.af(b)<bf(a) C.af(a)<f(b) B.bf(a)<af(b) D.bf(b)<f(a) ( ). xf′?x?-f?x? f?x? 解析 构造函数 F(x)= x (x>0),F′(x)= ,由条件知 F′(x)<0, x2 f?x? f?a? f?b? ∴函数 F(x)= x 在(0, +∞)上单调递减, 又 a>b>0, ∴ a < b , 即 bf(a)<af(b). 答案 B 1 3.已知函数 f(x)=x3+2ax2+ax(a>0),则 f(2)的最小值为 ( 3 A.12 2 2 C.8+8a+a 1 B.12+8a+a D.16 ). 2 2 2 解析 f(2)=8+8a+a,令 g(a)=8+8a+a,则 g′(a)=8-a2,由 g′(a)>0 1 1 1 1 得 a>2, 由 g′(a)<0 得 0<a<2, ∴a=2时 f(2)有最小值. f(2)的最小值为 8+8×2 2 +1=16.故选 D. 2 答案 D 4. 已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, 则 f′(1) =( A.-e 解析 ). B.-1 C.1 D.e 1 由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+ , x ∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. 答案 B 5. 等比数列{an}中, a1=2, a8=4, 函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8), 则 f′(0) =( A.26 解析 ). B.29 C.212 D.215 函数 f(x)的展开式含 x 项的系数为 a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84= 212,而 f′(0)=a1·a2·…·a8=212,故选 C. 答案 C 6.已知函数 f′(x),g′(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数,它们 在同一坐标系下的图象如图所示,设函数 h(x)=f(x)-g(x),则 A.h(1)<h(0)<h(-1) B.h(1)<h(-1)<h(0) C.h(0)<h(-1)<h(1) D.h(0)<h(1)<h(-1) 1 解析 由图象可知 f′(x)=x,g′(x)=x2,则 f(x)=2x2+m,其中 m 为常数, ( ). 1 1 1 g(x)=3x3+n, 其中 n 为常数,则 h(x)=2x2-3x3+m-n,得 h(0)<h(1)<h(-1). 答案 D 二、填空题 7.曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________. 3 解析 ∵y=x(3ln x+1),∴y′=3ln x+1+x· x=3ln x+4,∴k=y′|x=1=4, ∴所求切线的方

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