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2017版高考数学一轮复习 第十章 统计、概率 第5讲 几何概型练习 理


2017 版高考数学一轮复习 第十章 统计、概率 第 5 讲 几何概型练 习 理
1 ? π π? 1.在区间?- , ?上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到 之间的概率为________. 2 ? 2 2? 解析 π? ? 1? ? π π? ? π 若 cos x∈ ?0, ? , x∈ ?- , ? ,利用三角函数性质解得 x∈ ?- ,- ? 3? ? 2? ? 2 2? ? 2

?π π ? ? π π? ∪? , ?,在?- , ?上随机取一个数是等可能的,结合几何概型的概率公式可得所 ?3 2? ? 2 2? ?π π ? 2×? - ? ?2 3? 1 求概率为 P= = . π ? π? 3 -? - ? 2 ? 2?
答案 1 3
2

2.(2016·东北三省三校联考)实数 m 是[0,6]上的随机数,则关于 x 的方程 x -mx+4=0 有实根的概率为________. 解析 方程 x -mx+4=0 有实根,则 Δ =m -4×4≥0, ∴m≥4 或 m≤-4, 又 m∈[0,6], 6-4 1 2 ∴4≤m≤6,∴关于 x 的方程 x -mx+4=0 有实根的概率为 = . 6-0 3 答案 1 3
2 2

3.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长, 则该矩形面积大于 20 cm 的概率为________. 解析 设 AC=x cm,0<x<12,则 CB=(12-x)cm,要使矩形面积大于 20 cm ,只要 x(12 10-2 2 2 -x)>20,则 x -12x+20<0,解得 2<x<10,所求概率为 P= = . 12 3 答案 2 3
2 2

4.若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC =1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是________. 解析 设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A ,则 P(A) =

1 2 π ×1 阴影面积 2 π = = . 长方形面积 1×2 4 答案 π 4

5.如图, 大正方形的面积是 34, 四个全等直角三角形围成一个小正方形,
1

直角三角形的较短边长为 3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形 内的概率为________. 解析 ∵大正方形的面积是 34, ∴大正方形的边长是 34, 由直角三角形的较短边长为 3, 得四个全等直角三角形的直角边分别是 5 和 3,则小正方形边长为 2,面积为 4,∴小花朵 4 2 落在小正方形内的概率为 P= = . 34 17 答案 2 17

6.如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子,有 180 粒落到阴影 部分,据此估计阴影部分的面积为________. 解析 设阴影部分的面积为 S,由题意知 答案 0.18 5 7.在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为 ,则 m=________. 6 解析 由|x|≤m,得-m≤x≤m. 2m 5 当 m≤2 时,由题意得 = ,解得 m=2.5,矛盾,舍去. 6 6 当 2<m<4 时,由题意得 即 m 的值为 3. 答案 3 8.一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为________. 解析 由已知条件,可知蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行,结合几何概型,可 1 1 得蜜蜂“安全飞行”的概率为 P= 3= . 3 27 答案 1 27
3

S 180 = ,解得 S=0.18. S正方形 1 000

m-(-2) 5
6

= ,解得 m=3. 6

9.在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率是________. 解析 ∵方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n. 如图,由题意知,在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m,n),点 Q 落在阴影部 分的概率即为所求的概率, 易知直线 m=n 恰好将矩形平分, ∴所求的

x2 y2 m n

x2 y2 m n

2

1 概率为 P= . 2 答案 1 2

10.(2016·南通质检)在区间[-π ,π ]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x) =x +2ax-b +π 有零点的概率为________. 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则试验的全部结果构成的区域 为正方形 ABCD 及其内部.要使函数 f(x)=x +2ax-b +π 有零点, 则必 须有 Δ =4a -4(-b +π )≥0,即 a +b ≥π ,其表示的区域为图中阴 影部分.故所求概率 P= 答案 3 4
2 2 2 2 2 2 2 2

S阴影 3π 2 3 = = . S正方形 4π 2 4

x-2y+2≥0, ? ? 11.(2016·宿迁测试)设不等式组?x≤4, 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一 ? ?y≥-2
个点,则此点到直线 y+2=0 的距离不小于 2 的概率是________. 解析 作出平面区域 D,可知平面区域 D 是以 A(4,3),B(4,-2),C(-6,-2)为顶点 的三角形区域,当点在△AED 区域内时,点到直线 y+2=0 的距离不小于 2. 1 ×6×3 S△AED 2 9 所以 P= = = . S△ABC 1 25 ×10×5 2

答案

9 25

12.(2015·苏州调研)在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M, 则满足∠AMB>90°的概率 为________. 解析 如图,以 AB 为直径作圆,则圆在正方形 ABCD 内的区域为半圆,其 1 π 2 面积 S= ×π ×1 = , 满足条件∠AMB>90°的点 M 在半圆内, 故所求概 2 2

3

π 2 π S阴影 率 P= = = . S正方形ABCD 22 8 答案 π 8

13.(2016·南京质检)已知函数 f(x)=kx+1,其中实数 k 随机选自区间[-2,1]. ? x∈[0,1],f(x)≥0 的概率是________. 解析 由 ? x ∈ [0 , 1] , f(x)≥0 得 ?
? ?f(0)≥0, ?f(1)≥0, ?

解 得 - 1≤k≤1 , 所 以 所 求 概 率 为

1-(-1) 2 = . 1-(-2) 3 答案 2 3
2

14.(2015·南京调研)已知函数 f(x)=x +bx+c, 其中 0≤b≤4, 0≤c≤4.记函数 f(x)满足 条件?
?f(2)≤12, ? ?f(-2)≤4 ?

为事件 A,则事件 A 发生的概率为________.

解析

4+2b+c≤12, 2b+c-8≤0, ? ? ?4-2b+c≤4, ?2b-c≥0, 由题意,得? 即? 0≤b≤4, 0≤b≤4, ? ? ?0≤c≤4, ?0≤c≤4

1 表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为 8,所以概率为 . 2

答案

1 2

4



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