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2015届高考调研文科课时作业26


课时作业(二十六)
1. (2014· 北京西城期末)已知△ABC 中, a=1, b= 2, B=45° , 则 A 等于( A.150° C.60° 答案 解析 D 1 2 1 由正弦定理,得sinA=sin45° ,得 sinA=2. B.90° D.30° )

又 a<b,∴A<B=45° .∴A=30° ,故选 D. 2.(2012· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=( 7 A.25 7 C.± 25 答案 解析 A 因为 8b=5c, 则由 C=2B, 得 sinC=sin2B=2sinBcosB, 由正弦定理, ) 7 B.-25 24 D.25

sinC c 4 4 7 得 cosB=2sinB=2b=5,所以 cosC=cos2B=2cos2B-1=2×(5)2-1=25,故选 A. 3.(2011· 四川)在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范 围是( ) π B.[6,π) π D.[3,π)

π A.(0,6] π C.(0,3] 答案 解析
2

C 由正弦定理角化边,得 a2≤b2+c2-bc.
2 2

b2+c2-a2 1 ∴b +c -a ≥bc.∴cosA= 2bc ≥2. π ∴0<A≤3. 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120° ,c

= 2a,则( A.a>b B.a<b C.a=b

)

D.a 与 b 的大小关系不能确定 答案 解析 A 据题意由余弦定理可得 a2+b2-2abcos120° =c2=( 2a)2,化简整理

得 a2=b2+ab,变形得 a2-b2=(a+b)(a-b)=ab>0,故有 a-b>0,即 a>b. 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc, sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° C.120° 答案 解析 A ∵sinC=2 3sinB, ) B.60° D.150°

∴由正弦定理,得 c=2 3b,代入 a2-b2= 3bc,得 a2=7b2. ∴cosA= b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 3 = = 2 2bc 2. 4 3b

π 又∵0<A<π,∴A=6. 6.(2012· 湖南)在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等 于( ) 3 A. 2 C. 3+ 6 2 B 由余弦定理, 得( 7)2=22+AB2-2×2ABcos60° , 即 AB2-2AB-3=0, 3 3 B. 2 D. 3+ 39 4

答案 解析

3 3 得 AB=3,故 BC 边上的高是 ABsin60° = 2 .选 B. 7.(2012· 陕西)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2 +b2=2c2,则 cosC 的最小值为( )

3 A. 2 1 C.2 答案 解析 C

2 B. 2 1 D.-2

1 由余弦定理,得 a2+b2-c2=2abcosC,又 c2=2(a2+b2),得 2abcosC

a2+b2 2ab 1 1 =2(a2+b2),即 cosC= 4ab ≥4ab=2.所以选 C. 8.在△ABC 中,cos2B>cos2A 是 a>b 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 解析 C 由 cos2B>cos2A,得 sin2A>sin2B. )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a b ∵sinA>0,sinB>0,∴sinA>sinB.∴2R>2R,∴a>b. 又上述过程可逆,故选 C. 4 9.在△ABC 中,三内角 A、B、C 分别对三边 a、b、c,tanC= ,c=8,则 3 △ABC 外接圆半径 R 为________. 答案 解析 5 本题考查解三角形.由题可知应用正弦定理,

4 4 由 tanC=3,得 sinC=5. c 8 则 2R=sinC=4=10,故外接圆半径为 5. 5 10.在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30° ,则△ABC 的面积为________. 答案 3 3 4或2

解析

如图所示,由正弦定理,得

c· sinB 3 sinC= b = 2 ,而 c>b, ∴C=60° 或 C=120° . ∴A=90° 或 A=30° . 1 3 3 ∴S△ABC=2bcsinA= 2 或 4 . 11.

(2011· 天津)如图所示, 在△ABC 中, D 是边 AC 上的点, 且 AB=AD,2AB= 3 BD,BC=2BD,则 sinC 的值为________. 答案 解析 6 6 3 2 2 设 BD=1,则 AB=AD= 2 ,BC=2.在△ABD 中,解得 sinA= 3 ,

AB BC 6 在△ABC 中,由正弦定理sinC=sinA,得 sinC= 6 ,故选 D. 12.(2013· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b +c=2a,3sinA=5sinB,则角 C=________. 答案 解析 2 3π 5 7 由 3sinA=5sinB 及正弦定理,得 3a=5b,故 a=3b,c=3b.

a2+b2-c2 1 2 所以 cosC= 2ab =-2,即 C=3π. 13.(2012· 福建)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角 的余弦值为________. 答案 解析 2 -4 依题意得,△ABC 的三边长分别为 a, 2a,2a(a>0),则最大边 2a 所 a2+? 2a?2-?2a?2 2 =- 4 . 2a· 2a

对的角的余弦值为

14.对于△ABC,有如下命题:①若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形;

②若 sinA=cosB, 则△ABC 为直角三角形; ③若 sin2A+sin2B+cos2C<1, 则△ABC 为钝角三角形.其中正确命题的序号是________.(把你认为所有正确的都填上) 答案 解析 ③ ①sin2A=sin2B,

π ∴A=B?△ABC 是等腰三角形,或 2A+2B=π?A+B=2,即△ABC 是直 角三角形.故①不对. π π ②sinA=cosB,∴A-B=2或 A+B=2. ∴△ABC 不一定是直角三角形. ③sin2A+sin2B<1-cos2C=sin2C, ∴a2+b2<c2. ∴△ABC 为钝角三角形. 15.(2013· 山东)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a 7 +c=6,b=2,cosB=9. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 答案 解析 (1)a=c=3 10 2 (2) 27

(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,

得 b2=(a+c)2-2ac(1+cosB). 7 又 b=2,a+c=6,cosB=9, 所以 ac=9,解得 a=3,c=3. 4 2 (2)在△ABC 中,sinB= 1-cos2B= 9 , asinB 2 2 由正弦定理,得 sinA= b = 3 . 1 因为 a=c,所以 A 为锐角,所以 cosA= 1-sin2A=3. 10 2 因此 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= 27 .

16.(2012· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且 有 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 答案 解析 π 7 (1)3 (2) 2 (1)方法一:由题设知,2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,

1 因为 sinB≠0,所以 cosA=2. π 由于 0<A<π,故 A=3. b2+c2-a2 a2+b2-c2 b2+c2-a2 方法二:由题设可知,2b· 2bc =a· 2ab +c· 2bc ,于是 b2 +c2-a2=bc,所以 cosA= π 由于 0<A<π,故 A=3. → → → 2 = ( AB+AC )2 = 1 ( AB → 2 + AC → 2 + 2 AB →· → ) = 1 (1 + 4 + (2) 方法一:因为 AD AC 2 4 4 π 7 2×1×2×cos3)=4, 7 7 → 所以|AD|= 2 ,从而 AD= 2 . 1 方法二:因为 a2=b2+c2-2bccosA=4+1-2×2×1×2=3, π 所以 a2+c2=b2,B=2. 3 因为 BD= 2 ,AB=1,所以 AD= 17.(2013· 课标全国Ⅰ) 3 7 1+4= 2 . b2+c2-a2 1 2bc =2.

如图所示,在△ABC 中,∠ABC=90° ,AB= 3,BC=1,P 为△ABC 内一 点,∠BPC=90° .

1 (1)若 PB=2,求 PA; (2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA. 答案 解析 7 (1) 2 3 (2) 4

(1)由已知得∠PBC=60° ,所以∠PBA=30° .

1 1 7 7 在△PBA 中,由余弦定理,得 PA2=3+4-2× 3×2cos30° =4,故 PA= 2 . (2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sinα. 3 在△PBA 中,由正弦定理,得sin150° = sinα . sin?30° -α?

3 3 化简得 3cosα=4sinα,所以 tanα= 4 ,即 tan∠PBA= 4 .


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