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高中数学《1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用》评估训练 新人教A版选修1-2


1.2

独立性检验的基本思想及其初步应用

双基达标 ? 1.下面是一个 2×2 列联表:

限时20分钟?

y1 x1 x2
总计 则表中 a、b 处的值分别为

y2
21 25 46

总计 73 33

a
8

b

( A.94、96 B.52、50 C.52、60 D.54、52 解析 ∵a+21=73,∴a=52.又 b=a+8=52+8=60. 答案 C 2.下列关于等高条形图的叙述正确的是 ( A.从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系 B.从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小 C.从等高条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系 D.以上说法都不对

).

).

解析 在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系,故 A 错.在等高条形图中仅 能够找出频率,无法找出频数,故 B 错. 答案 C 3.关于分类变量 x 与 y 的随机变量 K 的观测值 k,下列说法正确的是 ( A.k 的值越大,“X 和 Y 有关系”可信程度越小 B.k 的值越小,“X 和 Y 有关系”可信程度越小 C.k 的值越接近于 0,“X 和 Y 无关”程度越小 D.k 的值越大,“X 和 Y 无关”程度越大 解析 k 的值越大,X 和 Y 有关系的可能性就越大,也就意味着 X 与 Y 无关系的可能性 就越小. 答案 B 4.若由一个 2×2 列联表中的数据计算得 k=4.013,那么在犯错误的概率不超过________ 的前提下认为两个变量之间有关系.
1
2

).

解析 因随机变量 K 的观测值 k=4.013>3.841,因此,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为两个变量之间有关系. 答案 0.05 5.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 名学生,得到如下 2×2 列联表: 理科 男 女
2 2

2

文科 10 20

13 7

已 知 P(K ≥3.841)≈0.05 , P(K ≥5.024)≈0.025. 根 据 表 中 数 据 , 得 到 k = 50×? 13×20-10×7? 23×27×20×30 ________. 解析 k≈4.844>3.841,故判断出错的概率为 0.05. 答案 0.05 6.高中流行这样一句话“文科就怕数学不好,理科就怕英语不好”.下表是一次针对高三 文科学生的调查所得的数据,试问:文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗? 总成绩好 数学成绩好 数学成绩不好 总计 解
2 2

≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为

总成绩不 好 12 24 36

总计 490 423 913

478 399 877

依题意,计算随机变量 K 的观测值: 913×? 478×24-399×12? 490×423×877×36
2

k=

≈6.233>5.024.

所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,认为“文科学生总成绩不好与数学成绩不 好有关系”. 综合提高 ? 限时25分钟?

7.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量的调查,数据如表 认为作业量大 男生 女生 总计 18 8 26 认为作业量不大 9 15 24 总计 27 23 50

则推断“学生的性别与认为作业量大有关”,这种推断犯错误的概率不超过 ( ).

2

A.0.01

B.0.005 C.0.025 D.0.001
2

50×? 18×15-8×9? 解析 k= 26×24×27×23
2

≈5.059>5.024.

∵P(K ≥5.024)=0.025,∴犯错误的概率不超过 0.025. 答案 C 8. 利用独立性检验来考察两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时, 通过查阅下表来确定“X 与 Y 有关系”的可信程度.如果 k≥5.024,那么就有把握认为“X 与 Y 有关系”的百分比为 ( ). 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706

P(K2≥k0) k0

0.50 0.455

0.40 0.708

P(K2≥k0) k0

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

A.25% B.75% C.2.5% D.97.5% 解析 k=5.024 对应的 0.025 是“X 和 Y 有关系”不合理的程度,因此两个分类变量有 关系的可信程度约为 97.5%. 答案 D 9.某卫生机构对 366 人进行健康体检,有阳性家族史者糖尿病发病的有 16 例,不发病的有 93 例,有阴性家族史者糖尿病发病的有 17 例,不发病的有 240 例,认为糖尿病患者与 遗传有关系的概率为________. 解析 列出 2×2 列联表:

发病 阳性家族史 阴性家族史 总计 所以随机变量 K 的观测值为 366×? 16×240-17×93? k= 109×257×33×333
2 2

不发病 93 240 333

总计 109 257 366

16 17 33

≈6.067>5.024,

所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,认为糖尿病患者与遗传有关. 答案 0.975 10.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另外 500
3

名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H0:“这种血清不能起到预防感冒 的作用”,利用 2×2 列联表计算得 k≈3.918,经查对临界值表知 P(K ≥3.841)≈0.05. 对此,四名同学作出了以下的判断:
2

p:有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”; q:若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95%的可能性得感冒; r:这种血清预防感冒的有效率为 95%; s:这种血清预防感冒的有效率为 5%.
则下列结论中,正确结论的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上). ①p∧綈 q;②綈 p∧q;③(綈 p∧綈 q)∧(r∨s); ④(p∨綈 r)∧(綈 q∨s). 解析 根据题中叙述可知 p 真, 假, 因为 95%是两者有关系的概率, q 不是患病的概率,

r 为真,s 为假,故①④为真.
答案 ①④ 11.高二(1)班班主任对全班 50 名学生进行了有关作业量多少的调查,得到如下列联表:

认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总 计 18 8 26

认为作业不多 9 15 24

总计 27 23 50

认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系”的概率有多大? 解 由表中数据计算 K 的观测值为 50×? 18×15-8×9? 27×23×26×24
2 2

k=

≈5.059>5.024.

所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业多有 关”,其有关的概率为 0.975. 12.(创新拓展)第 16 届亚运会于 2010 年 11 月 12 日至 27 日在中国广州进行,为了搞好接 待工作,组委会招幕了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分 别有 10 人和 6 人喜爱运动,其余人不喜爱运动. (1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 喜爱运动 男 女 总计 10 6 不喜爱运动 总计 16 14 30

(2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与喜

4

爱运动有关? 解 (1) 喜爱运动 男 女 总计 10 6 16 不喜爱运动 6 8 14 总计 16 14 30

(2)假设:是否喜爱运动与性别无关,由已知数据可求得:

k=
?

30×? 10×8-6×6? 10+6? ? 6+8? ? 10+6? ?

2

6+8?

≈1.157 5<2.706,

因此,在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关.

5


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