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第2讲 导数的应用(一)


第2讲 【2013 年高考会这样考】 导数的应用(一) 1.利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 2.由函数单调性和导数的关系,求参数的范围. 【复习指导】 本讲复习时,应理顺导数与函数的关系,理解导数的意义,体会导数在解决函数 有关问题时的工具性作用, 重点解决利用导数来研究函数的单调性及求函数的单 调区间. 基础梳理 1.导数的几何意义 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)是曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0))处切线 l 的斜率, 切线 l 的方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 2.导数的物理意义 若物体位移随时间变化的关系为 s=f(t), 则 f′(t0)是物体运动在 t=t0 时刻的瞬时 速度. 3.函数的单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0. f′(x)≥0?函数 f(x)在(a,b)上单调递增; f′(x)≤0?函数 f(x)在(a,b)上单调递减. 易误警示 直线与曲线有且只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线;反之直线是曲线的 切线,但直线不一定与曲线有且只有一个公共点. 两个条件 (1)f′(x)>0 在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件. (2)对于可导函数 f(x), f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件. 三个步骤 求函数单调区间的步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)由 f′(x)>0(f′(x)<0)解出相应的 x 的范围. 当 f′(x)>0 时,f(x)在相应的区间上是增函数;当 f′(x)<0 时,f(x)在相应的区 间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调区间. 双基自测 1. (2011· 山东)曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A.-9 C.9 解析 由已知 y′=3x2,则 y′|x=1=3 切线方程为 y-12=3(x-1), 即 y=3x+9. 答案 C 2.(2012· 烟台模拟)函数 f(x)=x2-2ln x 的递减区间是( A.(0,1] C.(-∞,-1),(0,1) 解析 函数的定义域为(0,+∞), ?x+1??x-1? 2 又 f′(x)=2x- x =2 x 由 f′(x)≤0,解得 0<x≤1. 答案 A 3.(2012· 长沙一中月考)若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y =x-2 的最小值为( A.1 2 C. 2 ). B. 2 D. 3 B.[1,+∞) D.[-1,0),(0,1] ). B.-3 D.15 ). 1 1 解析 由已知 y′=2x- x,令 2x-x =1,解得 x=1.曲线 y=x2-ln x 在 x=1 处 的切线方程为 y-1=x-1,即 x-y=0.两直线 x-y=0,x-y-2=0 之间的距离 为 d= 2 = 2. 2 答案 B 4.(人教 A 版教材习题改编)在高台跳水运动中,t s 时运动员相对水面的高度(单 位:m)是 t1(t)=-4.9t2+6.5t+10,高台跳水运动员在 t=1 s 时的瞬时速度为 ________. 答案 -3.3 m/s 5.函数 f(x)=x3-3x2+1 的递增区间是________. 解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 由 f′(x)>0 解得 x<0,或 x>2. 答案 (-∞,0),

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