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高中数学复习 正弦定理与余弦定理人教版必修5


能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形 的边角转化;掌握三角形形状的判断,三角形 内三角函数的求值及三角恒等式的证明.

1.判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边与边的关系,或角的关系 入手,充分利用正弦定理与余弦定理进行转化,即化 边为角或化角为边,边角统一. 三角形形状的判断依据: (1)等腰三角形:a=b 或 A=B; (2)直角三角形:b2+c2=a2 或 A=90° ; (3)钝角三角形:a2>b2+c2,A>90° ; (4)锐角三角形:若 a 为最大边,且满足 a2<b2+ c2 或 A 为最大角,且 A<90° .

2.在△ABC 中常用的一些基本关系式 (1)A+B+C=①________; (2)sin(B + C) = ② ________ , cos(B + C) = ③ ________, tan(B+C)=④________; ⑤________; B+C (3)sin 2 =

B+C (4)cos 2 =⑥________; (5)tanA+tanB+tanC=⑦____________.

【要点指南】①π;②sinA;③-cosA;④-tanA;⑤ A A cos 2 ;⑥sin 2 ;⑦tanAtanBtanC

π 1 1.(2011· 北京卷)在△ABC 中.若 b=5,∠B=4,sinA=3, 5 2 则 a= 3 .

5 1 5 2 a b 【解析】由正弦定理得sinA=sinB?a= π×3= 3 . sin4

2.(2011· 福建卷)若△ABC 的面积为 3, BC=2, C=60° , 则边 AB 的长度等于 2 .

1 1 3 【解析】由 S△ABC=2BC· sinC=2×2×AC× 2 = 3? AC· AC=2, 所以△ABC 为等边三角形,则 AB=2.

3.在△ABC 中,若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a, 则 cosB=( 2 A. 4 1 C.4 ) 2 B. 3 3 D.4

【解析】因为 a、b、c 成等比数列,所以 b2=ac. 又 c=2a,所以 b2=2a2, a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 所以 cosB= 2ac = =4. 2 4a

4.在△ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b,且 A=30° , a=2 2,b=4,那么满足条件的△ABC( A.有一个解 C.无解 B.有两个解 D.不确定 )

bsinA 4sin30° 2 a b 【解析】由sinA=sinB得 sinB= a = = 2 ,因 2 2 为 b>a,所以 B>A,故有两解,故选 B. 易错点:易以为只有一解,忘记考虑 B>A.

5.若△ABC 的三个内角满足 sinA∶sinB∶sinC= 5∶11∶13,则 cosC=( 23 A.110 73 C.130 )

23 B.-110 73 D.-130

【解析】由正弦定理和已知得,a∶b∶c =5∶11∶13, a=5k, 设 b=11k, c=13k, k>0, a2+b2-c2 根 据 余 弦 定 理 cosC = = 2ab 25k2+121k2-169k2 23 =-110,故选 B. 2 2×5×11k

一 用正、余弦定理判定三角形形状

【例 1】在△ABC 中,A、B、C 所对的边长分别为 a、 b、 且满足(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, c, 试判断△ABC 的形状.

【解析】方法 1:化成角的关系求解. 由条件可得, a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=-b2[sin(A+B)+sin(A- B)]. 利用和差角公式展开,得 a2cosAsinB=b2sinAcosB, 由正弦定理,上式化为 sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB.

因为 sinAsinB≠0,所以 sinAcosA=sinBcosB, 即 sin2A=sin2B,因为 A、B 为三角形的内角, π 所以 A=B,或 A+B=2, 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

方法 2:化为边的关系求解. 由条件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 可得(a2+b2)(acosB-bcosA)=(a2-b2)c

a2+c2-b2 b2+c2-a2 ?(a2+b2)( - )=(a2-b2)c 2c 2c ?(a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2 ?a2+b2=c2 或 a=b. 故△ABC 的形状为直角三角形或等腰三角形.

【点评】 依据已知条件中的边角关系判断三角形形 状时,主要有如下两条途径: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系, 通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三 角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角 函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系, 从而判断三角形的形状.此时要注意应用 A+B+C=π 这个结论.

素材1

在△ABC 中,已知 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, a cosB 若b=cosA,试确定△ABC 的形状.

a cosB 【解析】由b=cosA,得 acosA=bcosB, b2+c2-a2 a2+c2-b2 所以 a· 2bc =b· 2ac , 所以 a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以 c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),

所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 所以 a=b 或 a2+b2=c2, 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.



用正、余弦定理解斜三角形

【例 2】在△ABC 中, (1)若 b= 2,c=1,B=45° ,求 a 及 C 的值; (2)若 A=60° ,a=7,b=5,求边 c.

【分析】 (1)可直接使用正弦定理求解,注意解的个数 的判断,也可利用余弦定理求解. (2)题目条件是已知两边及一边的对角, 这种情况一般用 正弦定理解, 但本题不求 B, 并且求出 sinB 后发现 B 非特殊 角,故用正弦定理不是最佳选择,而应直接用余弦定理列出 关于 c 的方程求解.

2 1 b c 【解析】(1)由正弦定理知sinB=sinC,所以sin45° sinC, = 1 所以 sinC=2. 由于 b>c,所以 B>C,而 B=45° ,所以 C=30° .

从而 A=180° -B-C=105° , 2 a 再由正弦定理可得sin105° sin45° = , 6+ 2 所以 a=2sin105° =2sin(60° +45° )= 2 .

(2)由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 所以 49=25+c2-2×5×c×cos60° , 即 c2-5c-24=0,解得 c=8(c=-3 舍去).

【点评】(1)三角形有三角三边六元素,只要知道三 元素(至少有一边)就可求出其余元素. (2)已知两边和一边的对角解三角形时,可有两解、 一解、无解三种情况,应根据已知条件判断解的情况, 主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断. (3)应熟练掌握余弦定理及其推论,解三角形时,有 时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定 理更方便.

素材2

在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c, π 已知 c=2,C=3. (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.

【解析】(1)由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4. 又因为△ABC 的面积等于 3, 1 所以2absinC= 3,得 ab=4.
?a2+b2-ab=4 联立方程组? ,解得 a=2,b=2. ?ab=4

(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即 sinBcosA=2sinAcosA. π π 4 3 2 3 当 cosA=0 时,A=2,B=6,a= 3 ,b= 3 . 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA.

?a2+b2-ab=4 由正弦定理得 b=2a,联立方程组? , ?b=2a

2 3 4 3 解得 a= 3 ,b= 3 . 1 2 3 所以△ABC 的面积 S=2absinC= 3 .

三 用正、余弦定理求解综合问题
【例 3】(2011· 安徽卷)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3,b= 2,1+2cos(B+C) =0,求边 BC 上的高.

【分析】如下图

欲求h Rt△? ? ? 简 ACD 求出sinC 斜△ABC 求出sinB 定理 需知sinA ? 已知





正弦



【解析】由 1+2cos(B+C)=0 和 B+C=π-A, 1 3 得 1-2cosA=0,cosA=2,sinA= 2 . bsinA 2 再由正弦定理,得 sinB= a = 2 .

π 由 b<a 知 B<A,所以 B 不是最大角,B<2, 2 从而 cosB= 1-sin B= 2 .
2

2 3 1 由上述结果知 sinC=sin(A+B)= 2 ( 2 +2). 3+1 设边 BC 上的高为 h,则有 h=bsinC= 2 .

【点评】(1)正、余弦定理往往在一道题中交叉使用, 以达到“知三求三”的目的; (2)正、 余弦定理关键是实现边角互化, 注意因题而异, 巧妙选择,简化运算; (3)在平面几何中应画出草图,理清思路,重点研究直 角三角形,条件较集中的三角形,寻找突破口.

素材3

3 在△ABC 中,AC=2,BC=1,cosC=4. (1)求 AB 的值; (2)求 sin(2A+C)的值.

【解析】(1)由余弦定理,知 AB2 =AC2 +BC2 - 2AC· BCcosC 3 =4+1-2×2×1×4=2,所以 AB= 2. 3 7 2 (2)由 cosC=4且 0<C<π, sinC= 1-cos C= 4 . 得 AB BC 由正弦定理,知sinC=sinA, BCsinC 14 解得 sinA= AB = 8 ,

5 2 所以 cosA= 8 ,由倍角公式,知 5 7 9 2 sin2A=2sinA· cosA= 16 ,且 cos2A=1-2sin A=16, 3 7 故 sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC= 8 .

备选例题

如图,已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,M、N 分 别是边 AB、AC 上的点,线段 MN 经过△ABC 的重心 G. π 2π 设∠MGA=α(3≤α≤ 3 ). (1)试将△AGM、△AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表 示为 α 的函数; 1 1 (2)求 y=S2+S2的最大值与最小值. 1 2

【解析】(1)因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的重心, 2 3 3 π 所以 AG=3× 2 = 3 ,∠MAG=6, GM GA 由正弦定理 π= π, sin6 sin?π-α-6? 得 GM= π. 6sin?α+6? 3

1 sinα 则 S1=2GM· sinα= GA· π. 12sin?α+6? 3 GN GA 又 π= π ,得 GN= π, sin6 sin?α-6? 6sin?α-6? 1 则 S2=2GN· sin(π-α)= GA· π. 12sin?α-6? sinα

1 1 144 π π 2 2 (2)y=S2+S2=sin2α· (α+6)+sin (α-6)] [sin 1 2 1 =72(3+tan2α). π 2π 因为3≤α≤ 3 ,

π 2π 所以,当 α=3或 α= 3 时,y 取得最大值 ymax=240; π 当 α=2时,y 取得最小值 ymin=216.

【点评】 本题第(1)问主要考查解三角形,涉及正 弦定理的应用; 第(2)问考查三角恒等变形以及三角函数 1 在给定区间上的最值问题,化简为 y=72(3+tan2α)加以 解决.

1.解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理 以及三角变换,解题时角度的选取是关键.并关注 角的取值范围.如已知两边及其中一边的对角解三 角形,要注意解的情况. 2.利用正、余弦定理可以进行边角互化,有利于 判断三角形的形状. 3.解决三角形中的问题,要从统一着手,或统一 成角的关系,或统一成边的关系,要视情况灵活处 理.在解三角形时,要注意解题的完整性,谨防失 根.


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