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广东省广州市执信中学09-10学年高二上学期期末考试(数学文)


广东省广州市执信中学 09-10 学年高二上学期期末 文科数学 必修 1-5、选修 1-2 试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ( A. {x | x ? ?1} B. {x | x ? 2} C. {x | 0 ? x ? 2} ) C. ab ? a )
2



D. {x | ?1 ? x ? 2}

2.若 a ? b ? 0 ,则下列结论正确的是( A. a ? b
2 2

B.

1 1 ? a b

D. ( ) ? ( )
a

1 2

1 2

b

3.已知命题 p : ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ,则( A. ?p : ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 C. ?p : ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

B. ?p : ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 D. ?p : ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

4.设 a,b 为两条直线, ? 为平面,下列四个命题中,正确的命题是( ) A.若 a ? ?,b ? ? ,则 a ? b B.若 a ∥?,b ? ? ,则 a ∥ b C.若 a ? ?,b ? a ,则 b ? ? D.若 a,b 与 ? 所成的角相等,则 a ∥ b 5.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布 直方图(如右图) .为了分析居民的收入与年龄、 学历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再 用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [2500,3000) (元)月收入段应抽出( ) 人. A.18 B.20 C.22 D.25 6.如右框图所示给出的程序,则程序结束时输出 结果 S 为( A.12 ) B.10 C.8 D.6
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

第5题 开始 K=1

7.函数 y ? sin( x ? A. x ?

?
2

) 的图像的一条对称轴是(



S ?0
k ≤3


?

2 3? C. x ? 2

B. x ? ? D. x ? ?

?
2


S ? S ? 2k

输出 S 结束

k ? k ?1

8.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的
-1-

中心,M、N 分别是棱 DD1、D1C1 的中点,则直线 OM( A.垂直于 AC,且垂直于 MN B.垂直于 AC,但不垂直于 MN C.垂直于 MN,但不垂直于 AC D.与 AC、MN 都不垂直 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。



9.以点(2,-1)为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是_______________________。 10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上排列小石子研究数,如下图表示的数称为三角 形数,前 3 个三角形数是 1,3,6,第五个三角形数是 (用 n 表示,其中 n ? N ? ) 。 ,第 n 个三角形数是 。

? x ? y ≥ 0, ? 11.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, z ? 2 x ? y 的最大值为 则 ?0 ≤ x ≤ 3, ? 1 2 cos x ? sin x ? 12.已知 tan x ? ,则 。 2 cos x ? sin x



13.甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这 4 个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为 。 14.设 △ ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的椭圆的离心率
?





三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a ? ( 3 cos x, sin x),b ? ( s ixn 3 c o x) , 函 数 , s

f ( x) ? a ? a ? a ? b .
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)已知 f ( ) ? 3 ,且 ? ? (0, ? ) ,求 ? 的值.

?

2

-2-

16.(本小题满分 14 分)先后随机投掷 2 枚正方体骰子, ( a, b) 表示事件:第 1 枚骰子出现的 点数是 a ,第 2 枚骰子出现的点数是 b 。 (Ⅰ)列出所有可能出现的基本事件; (Ⅱ)求点 P (a, b) 在直线 y ? x ? 1 上的概率; (Ⅲ)求方程 x ? ax ? b ? 0 有两相等实根的概率。
2

17. (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,

?ABC ? 60? , OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点,P 为 CD 的中点。
(Ⅰ)求证: CD ? 平面 MAP; (Ⅱ)求证: MP // 平面 OBC; (Ⅲ)求三棱锥 M-PAD 的体积。
O

M

A

D P

B

C

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? x ? ax ? 1,其中 a 为实数.
3 2

(Ⅰ) a ? 2 时,求 f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)已知不等式 f ?( x) ? 0 对任意实数 x ? (0,1) 都成立,求实数 a 的取值范围。

-3-

19.(本小题满分 14 分)等比数列{ an }的前 n 项和 S n ? 2 n ? t (t ? R) ,等差数列{ b n }的首 项为 t , b4 ? a4 。 (Ⅰ)求 t 的值以及{ an }和{ b n }的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?

? 1 ? 1000 的最小正整数 n 是多少? ? 的前 n 项和为 Tn ,问满足 Tn > ? 2009 ? bnbn ?1 ?

20. (本小题满分 14 分)已知点 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) 和直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,P 为直线 l 上一 点。 (Ⅰ)求 | PF | ? | PF2 | 的最小值,及此时 P 的坐标; (Ⅱ)当 P 满足(Ⅰ)时,求以 F1 , F2 1 为焦点且经过点 P 的椭圆 C 的方程,并判断直线 l 与椭圆 C 的位置关系; (Ⅲ)若椭圆 D:

x2 y2 ? ? 1 与直线 l 相切,求证:点 ( a, b) 在定椭圆上。 a2 b2

广东省广州市执信中学 09-10 学年高二上学期期末 文科数学 必修 1-5、选修 1-2 答案
一、选择题: 1.A.2. C.3.D. 4.A. 5. D.6. A.7. B. 8. A. 二、填空题:
-4-

9. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 ; 10. 15 2
1 ; 13.



n2 ? n ; (第 1 空 2 分,第 2 空 3 分) 2
14.

11. 9 .

12.

1 ; 2

3 ?1 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3cos2 x ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ??2 分

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ??4 分
π ) ? 2 .??6 分 6 2? ? ? .????8 分 ? 函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? 2
= 2sin(2 x ? (Ⅱ)由 f ? ∴ sin(? ?

π ?? ? ? ? 3 ,得 2sin(? ? 6 ) ? 2 ? 3 . ?2?
???? 10 分

π 1 )? . 6 2

? ? ? ? 0, π ? ,∴ ? ?
∴? ?

?

? ? 7π ? ?? , ? ???? 11 分 6 ?6 6 ?
2π .????? 12 分 3

?
6

?

5? 6

∴? ?

16.解: (Ⅰ)所有的基本事件有 36 个(列举略) ;??5 分 (Ⅱ)记“点 P (a, b) 在直线 y ? x ? 1 上”为事件 A,事件 A 有 5 个基本事件: (2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5) , , , ,

? P( A) ?

5 ??10 分 36
2 2

(Ⅲ)记“方程 x ? ax ? b ? 0 有实根”为事件 B,方程 x ? ax ? b ? 0 有相等实根等价于

a 2 ? 4b ? 0 ,即 a 2 ? 4b ,事件 B 有以下 2 个基本事件: (2,1)(4,4) ,
1 ??14 分 18 17. (Ⅰ)证:? OA ? 平面 ABCD ? OA ? CD ? P( B) ?

O

? 四边形 ABCD 这菱形且 ?ABC ? 60?
? ?ACD 为正三角形,? AP ? CD 又 OA ? AP ? A ?CD ? 平面 MAP;???? 5 分
(Ⅱ)证:设 N 为线段 OB 的中点,连结 MN、CN,
P M N A D

-5-

B

C

1 AB ,? MN // CP 且 MN ? CP , 2 ? 四边形 MNCP 为平行四边形,? MP//CN ? MP // 平面 OBC;????10 分
则 MN // AB ,且 MN ? (Ⅲ)解:? OA ? CD ? 2 ? AP ? 3, PD ? 1, MA ? 1 ,

1 1 3 ???? 14 分 ?VM ?PAD ? ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 2 6
18.解: (Ⅰ) a ? 2 时, f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 1 , f (1) ? ?1 ???? 2 分

f ?( x) ? 3x 2 ? 2x ? 2 ,???? 5 分 f ?(1) ? ?1 ???? 6 分
? f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? 1 ? ?( x ? 1) 即 x ? y ? 0 ???? 8 分
(Ⅱ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? a ? 0 对任意实数 x ? (0,1) 都成立 即 a ? 3x ? 2 x 对任意实数 x ? (0,1) 都成立
2

2 设 g ( x) ? 3x ? 2 x , x ? (0,1) ,开口向上,对称轴是 x ?

1 3

1 1 ? g ( ) ? g ( x) ? g (1) ,? ? ? g ( x ) ? 1 3 3
? a ? 1 即 a 的取值范围是 [1,??) 。???? 12 分
19.解: (Ⅰ)? S n ? 2 n ? t (t ? R) ,? a1 ? S1 ? 2 ? t , a2 ? S 2 ? S1 ? 2, a3 ? S3 ? S 2 ? 4
2 ? { an }是等比数列,? a2 ? a1 ? a3 ,? 4 ? (2 ? t ) ? 4 ,?t ? ?1 ???? 4 分

?a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,? an ? 2n?1 ???? 6 分
设等差数列{ b n }的公差为 d ,? b1 ? t ? ?1 , b4 ? a4 ? 8 ,

?d ?
(Ⅱ)

8 ?1 ? 3 , bn ? ?1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 4 ???? 8 分 3

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ???? 10 分 bn bn?1 (3n ? 4)(3n ? 1) 3 3n ? 4 3n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? b1b2 b2 b3 bn bn ?1 (?1) ? 2 2 ? 5 5 ? 8 (3n ? 4)(3n ? 1)

? Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(?1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 3 2 2 5 5 8 3n ? 4 3n ? 1 1 1 ? ? (1 ? ) 3 3n ? 1
-6-

???? 12 分

1000 1 3000 1 991 ? ? ? ,?1 ? ? n ? N ? ? 3n ? 1 ? 0 2009 3n ? 1 2009 3n ? 1 2009 2009 1000 ? 3n ? 1 ? ,n ? 991 991 1000 的最小正整数 n 是 2???? 14 分 ? 满足 Tn > ? 2009
由 Tn > ?

20.解: (Ⅰ)设 F1 (?1,0) 关于直线 l 对称的点为 F1 ( x 0 , y 0 ) ,则

?

y0 ? 11 ? ? ?2 ? ? x0 ? ? 5 ? x0 ? 1 解得 ? ???? 2 分 ? 12 x0 ? 1 ? ? y0 ? ? 2 ? y0 ? 4 ? 0 5 ? ?

11 12 ? ? | PF1 | ? | PF2 |?| PF1 | ? | PF2 |?| F1 F2 |? (? ? 1) 2 ? ( ) 2 ? 4 ???? 4 分 5 5
3 3 , l ? : y ? ? ( x ? 1) 即 3x ? 4 y ? 3 ? 0 F2 F1 2 1 4 4 ? x ? ?1 ?3x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 3 由? 解得 ? ? x ? 2y ? 4 ? 0 ?y ? 2 ? kF F? ? ? 3 ? | PF1 | ? | PF2 | 的最小值为 4,及此时 P 的坐标是 (?1, ) ???? 6 分 2
(Ⅱ)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 2a ? 4, a ? 2 , c ? 1 a2 b2

?b ? a ? c ? 3
2 2 2

x2 y2 ? 1 ???? 8 分 ? 椭圆方程为 ? 4 3
得 4 y 2 ? 12y ? 9 ? 0 即 (2 y ? 3) 2 ? 0

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 联立 ? x 2 y2 ? ?1 ? 4 3 ?

方程组有且只有一解 (?1, ) ,直线 l 与椭圆 C 相切。???? 10 分 (作如下说明也可给满分: 在 l 上任取异于 P 的点 P ? , 则由 (Ⅰ) 可知 | P?F1 | ? | P?F2 |?| PF | ? | PF2 |? 2a , 所以 P ? 在 1 椭圆外,即直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点,所以直线 l 与椭圆 C 相切。 )

3 2

-7-

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? (Ⅲ)联立 ? x 2 y2 ? 2 ?1 ? a2 b ?
椭圆 D:

得 (4b 2 ? a 2 ) y 2 ? 16b 2 y ? 16b 2 ? a 2 b 2 ? 0 ???? 12 分

x2 y2 ? ? 1 与直线 l 相切 a2 b2

? ? ? (16b 2 ) 2 ? 4(4b 2 ? a 2 )(16b 2 ? a 2b 2 ) ? 0
a2 b2 ?16 ? 4b ? a ? 0 即 ? ?1 16 4
2 2

? 点 (a, b) 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上???? 14 分 16 4

-8-


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