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高中数学 (4.1.2 圆的一般方程)示范教案 新人教A版必修2


张喜林制

4.1.2

圆的一般方程

整体设计 教学分析 教 材 通 过 将 二 元 二 次 方 程 (x+

x +y +Dx+Ey+F=0

2

2

配 方 后 化 为

2 D 2 F 2 2 2 2 2 2 2 2 ) +(y+ ) = D ? E ? 4 F 后只需讨论 D +E -4F>0、D +E -4F=0、D +E -4F<0.与圆的 2 2 4 D E 1 2 2 标准方程比较可知 D +E -4F>0 时,表示以(- ,- )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4F 为半径的 2 2 2 D D E E 2 2 圆;当 D +E -4F=0 时 , 方程只有实数解 x=- ,y=- , 即只表示一个点 (,- ); 当 2 2 2 2

D +E -4F<0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 2 2 从而得出圆的一般方程的特点:(1)x 和 y 的系数相同,不等于 0;(2)没有 x·y 这样的 2 2 2 2 二次项; (3)D +E -4F>0.其中(1)和(2)是二元一次方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆 的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件. 2 2 2 同圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r 含有三个待定系数 a、b、r 一样,圆的一般方程 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0 中也含有三个待定系数 D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个 圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使 用圆的一般方程更好呢?应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐 标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方 程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常 采用圆的一般方程;有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它 可避免解三元二次方程组. 圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长 .我们知道,圆心确定圆 的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容 易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点, 在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化 ,尤其是由圆的 一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线 方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握 这两种方程互化的重要性和必要性. 三维目标 1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定 2 2 2 2 圆的圆心、半径.掌握方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件,通过对方程 x +y +Dx+Ey +F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力. 2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的 方程,同时渗透数形结合、 化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新, 勇于探索,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力. 重点难点 教学重点: 圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程 中的系数 D、E、F. 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用. 课时安排
1/7

2

2

1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.①说出圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程. ② 学 生 练 习 : 将 以 C(a,b) 为 圆 心 ,r 为 半 径 的 圆 的 标 准 方 程 展 开 并 整 理 得 2 2 2 2 2 x +y -2ax-2by+a +b -r =0. 2 2 2 2 2 ③指出:如果 D=-2a,E=-2b,F=a +b -r ,得到方程 x +y +Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表 示成另外一种非标准方程形式. 2 2 ④能不能说方程 x +y +Dx+Ey+F=0 所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师 板书课题:圆的一般方程. 思路 2.问题: 求过三点 A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显 然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法 呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程. 推进新课 新知探究 提出问题 ①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法? ②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢? 2 2 ③给出式子 x +y +Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含 x 和 y 的一次项的式子. 2 2 2 2 2 2 2 ④把式子(x-a) +(y-b) =r 与 x +y +Dx+Ey+F=0 配方后的式子比较,得出 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件. ⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点? 讨论结果:①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距 式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一 般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、?)展开整理而得到的. ②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试! 我们已经学习了圆的标准方程,把标准形 式展开,整理得到,也是从特殊到一般. ③把式子 x +y +Dx+Ey+F=0 配方得(x+
2 2 2 2 2

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F ) +(y+ ) = . 2 2 4

④(x-a) +(y-b) =r 中,r>0 时表示圆,r=0 时表示点(a,b),r<0 时不表示任何图形. 因此式子(x+

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F ) +(y+ ) = . 2 2 4
2 2

D E 1 ,- )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆; 2 2 2 D D E E 2 2 (ⅱ)当 D +E -4F=0 时,方程只有实数解 x=- ,y=- ,即只表示一个点(- ,- ); 2 2 2 2
(ⅰ)当 D +E -4F>0 时,表示以((ⅲ)当 D +E -4F<0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 2 2 综上所述,方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成 2 2 2 2 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0 的形式,但方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的曲线不一定是圆,只有当 D +E -4F> 2 2 2 2 0 时,它表示的曲线才是圆.因此 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D +E -4F>0. 2 2 我们把形如 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的方程称为圆的一般方程. ⑤圆的一般方程形式上的特点:
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2 2

x 和 y 的系数相同,不等于 0.没有 xy 这样的二次项. 圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定 了. 与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则 指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显. 应用示例 思路 1 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径. 2 2 (1)4x +4y -4x+12y+9=0; 2 2 (2)4x +4y -4x+12y+11=0. 解:(1)由 4x +4y -4x+12y+9=0,得 D=-1,E=3,F= 而 D +E -4F=1+9-9=1>0, 所以方程 4x +4y -4x+12y+9=0 表示圆的方程,其圆心坐标为( (2)由 4x +4y -4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

9 , 4 1 3 1 ,- ),半径为 ; 2 2 2

11 2 2 ,D +E -4F=1+9-11=-1<0, 4
2

所以方程 4x +4y -4x+12y+11=0 不表示圆的方程. 2 2 2 2 点评:对于形如 Ax +By +Dx+Ey+F=0 的方程判断其方程是否表示圆,要化为 x +y +Dx+Ey+F=0 2 2 的形式,再利用条件 D +E -4F 与 0 的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断. 变式训练 求下列圆的半径和圆心坐标: 2 2 2 2 (1)x +y -8x+6y=0;(2)x +y +2by=0. 2 2 2 2 2 解:(1)把 x +y -8x+6y=0 配方,得(x-4) +(y+3) =5 ,所以圆心坐标为(4,-3),半径为 5; 2 2 2 2 2 (2)x +y +2by=0 配方,得 x +(y+b) =b ,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|. 例 2 求过三点 O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标. 2 2 解:方法一:设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,由 O、M1、M2 在圆上,则有

? F ? 0. ? ? D ? E ? F ? 2 ? 0, ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0. ?
解得 D=-8,E=6,F=0, 2 2 2 2 2 故所求圆的方程为 x +y -8x+6y=0,即(x-4) +(y+3) =5 .所以圆心坐标为(4,-3),半径为 5.

1 1 5 3 , ),M1M2 的中点 F( , ), 2 2 2 2 1 1 再写出 OM1 的垂直平分线 PE 的直线方程 y- =-(x- ), 2 2
方法二:先求出 OM1 的中点 E( AB ② 联立①②得 ? 的 垂 直 平 分 线 PF 的 直 线 方 程 y-



3 2

=-3(x-

5 2

),

? x ? y ? 1, ? x ? 4, 得? 则点 P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5 为半径. ?3x ? y ? 9, ? y ? ?3.
3/7

方法三:设所求圆的圆心坐标为 P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|, 2 2 2 2 2 2 即 x +y =(x-1) +(y-1) =(x-4) +(y-2) ,解之得 P(4,-3),OP=5 为半径. 2 2 2 方法四:设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =r ,因为 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以 它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于 a、b、r 的方程组,即

?(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?a ? b ? r , ?(4 ? a) 2 ? (2 ? b) 2 ? r 2 . ?
?a ? 4, ? 2 2 2 解此方程组得 ?b ? ?3, 所以所求圆的方程为(x-4) +(y+3) =5 ,圆心坐标为(4,-3),半径为 ? r ? 5. ?
5. 点评: 请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知 条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方 程;如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程. 2 2 例 3 已知点 P(10,0),Q 为圆 x +y =16 上一动点.当 Q 在圆上运动时,求 PQ 的中点 M 的轨迹 方程. 活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几 何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.

图1 解法一:如图 1,作 MN∥OQ 交 x 轴于 N, 则 N 为 OP 的中点,即 N(5,0). 因为|MN|=

1 |OQ|=2(定长). 2
2 2

所以所求点 M 的轨迹方程为(x-5) +y =4. 点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件 ,然后再将条件代 数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难, 这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法 .转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方 程时,首先分析轨迹上的动点 M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设 M(x,y)为所求轨迹上任意一点 Q(x0,y0).

? 10 ? x0 x? , ? ? ? ? x0 ? 2 x ? 10. 2 因为 M 是 PQ 的中点,所以 ? 即? ? y ? 0 ? y0 , ? ? y 0 ? 2 y. ? 2 ?
又因为 Q(x0,y0)在圆 x +y =16 上,所以 x0 +y0 =16.将(*)代入得 2 2 (2x-10) +(2y) =16. 2 2 故所求的轨迹方程为(x-5) +y =4.
4/7
2 2 2 2

(*)

点评:相关点法步骤:①设被动点 M(x,y),主动点 Q(x0,y0). ②求出点 M 与点 Q 坐标间的关系 ?

? ? x ? f1 ( x0 , y 0 ), ? y ? f 2 ( x0 , y 0 ). ?
中 解 出

(Ⅰ)





(Ⅰ)

? ? x0 ? g1 ( x, y ), ? ? ? y 0 ? g 2 ( x, y ).

(Ⅱ) ④将(Ⅱ)代入主动点 Q 的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程. 这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用. 变式训练 2 2 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆(x+1) +y =4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标是(x,y), 点 A 的坐标是(x0,y0). 由于点 B 的坐标是 (4,3) 且 M 是线段 AB 的中点 , 所以 x=

x0 ? 4 y ?3 ,y= 0 . 于是有 2 2

x0=2x-4,y0=2y-3. ① 2 2 2 2 2 2 因为点 A 在圆(x+1) +y =4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程(x+1) +y =4,即(x0+1) +y0 =4.② 把①代入②,得(2x-4+1) +(2y-3) =4,整理,得(x所以点 M 的轨迹是以(
2 2

3 2 3 2 ) +(y- ) =1. 2 2

3 3 , )为圆心,半径长为 1 的圆. 2 2

思路 2 2 2 2 2 例 1 求圆心在直线 l:x+y=0 上,且过两圆 C1:x +y -2x+10y-24=0 和 C2:x +y +2x+2y-8=0 的 交点的圆的方程. 活动:学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法. 由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程. 解:解两圆方程组成的方程组 ?
2

2 2 ? ? x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0, 得两圆交点为(0,2),(-4,0). 2 2 ? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 . ?
2 2

设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =r ,因为两点在所求圆上,且圆心在直线 l 上,所以得方程组

?(?4 ? a) 2 ? b 2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?a ? ( 2 ? b ) ? r , ?a ? b ? 0. ?
解得 a=-3,b=3,r= 10 .故所求圆的方程为(x+3) +(y-3) =10.
2 2

点评:由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设 圆的标准方程. 例 2 已知圆在 x 轴上的截距分别为 1 和 3,在 y 轴上的截距为-1,求该圆的方程. 解法一:利用圆的一般方程. 2 2 设所求的圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 由已知 , 该圆经过点 (1,0),(3,0) 和 (0,-1), 则有
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?1 ? D ? F ? 0, ? 2 2 2 ?3 ? 3D ? F ? 0, ,解之得 D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为 x +y -4x+4y+3=0. ?( ?1) 2 ? E ? F ? 0. ?
解法二:利用圆的标准方程. 由题意该圆经过 P(1,0),Q(3,0),R(-1,0), 2 2 2 设圆的方程为(x-a) +(y-b) =r ,则圆心 C(a,b)在 PQ 的垂直平分线上,故 a=2.
2 2 因为|PC|=|RC|,所以 (a ? 1) ? b ?

a 2 ? (b ? 1) 2 .将 a=2 代入,得 b=-2,所以 C(2,-2).
2 2

而 r=|PC|= 5 ,故所求圆的方程为(x-2) +(y+2) =5. 例 3 试求圆 C:x +y -x+2y=0 关于直线 l:x-y+1=0 对称的曲线 C′的方程. 活动:学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不 变,另外可利用相关点法来求. 解法一:设 P′(x,y)为所求曲线 C′上任意一点,P′关于 l 的对称点为 P(x0,y0),则 P(x0,y0) 在圆 C 上.
2 2











? x ? x0 y ? y 0 ? ? 1 ? 0, ? 2 ? 2 ? ? y ? y 0 ? 1 ? ?1, ? ? x ? x0





? ? x 0 ? y ? 1, ? ? ? y 0 ? x ? 1.

(*) 2 2 因为 P(x0,y0)在圆 C 上,所以 x0 +y0 -x0+2y0=0.将(*)代入 2 2 得(y-1) +(x+1) -(y-1)+2(x+1)=0, 2 2 化简得 x +y +4x-3y+5=0,即为 C′的方程. 解法二:(特殊对称)圆 C 关于直线 l 的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心 C′,即

1 3 ,-1) 关 于 直 线 l:x-y+1=0 的 对 称 点 C′(-2, ), 因 此 所 求 圆 C′ 的 方 程 为 2 2 3 2 5 2 (x+2) +(y- ) = . 2 4
求( 点评:比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单. 知能训练 课本练习 1、2、3. 拓展提升 2 2 问题:已知圆 x +y -x-8y+m=0 与直线 x+2y-6=0 相交于 P、Q 两点,定点 R(1,1),若 PR⊥QR, 求实数 m 的值. 解:设 P(x1,y1)、Q(x2,y2), 由?
2 2 ? ? x ? y ? x ? 8 y ? m ? 0, 2 消去 y 得 5x +4m-60=0. ? ? x ? 2 y ? 6 ? 0.



由题意,方程①有两个不等的实数根,所以 60-4m>0,m<15.

? x1 ? x2 ? 0, ? 由韦达定理 ? 4 ? x1 x 2 ? m ? 12. 5 ?
6/7

因为 PR⊥QR,所以 kPRkQR=-1.所以 即 ② 因为 y1=3-

y1 ? 1 y 2 ? 1 =-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0, ? x1 ? 1 x 2 ? 1
x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.

x1 x x x x x x x 3 ,y2=3 ? 2 ,所以 y1y2=(3- 1 )(3 ? 2 )=9- (x1+x2)+ 1 2 =9+ 1 2 , 2 2 2 4 4 2 2
5 5 4 x1x2+5=0,即 ( m-12)+5=0. 4 4 5

y1+y2=6,代入②得

所以 m=10,适合 m<15.所以实数 m 的值为 10. 课堂小结 2 2 2 2 1.任何一个圆的方程都可以写成 x +y +Dx+Ey+F=0 的形式,但方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的曲 线 不 一 定 是 圆 , 只 有 D +E -4F > 0 时 , 方 程 表 示 圆 心 为 (r=
2 2

D E ,), 半 径 为 2 2

1 2

D 2 ? E 2 ? 4F 的圆.

2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式: 若条件与圆心、 半径有关,则宜用标准 方程;若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程. 3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化 为标准方程的方法. 作业 习题 4.1 A 组 1、6,B 组 1、2、3. 设计感想 这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计 这节课时,力求“过程、结论并重;知识、能力、思想方法并重”. 在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把 直线一般方程探求过程进行回顾、 类比,学生从中领会探求方法; 另一方面,“把标准方程展 开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通 2 2 过类比进行条件的探求——“D +E -4F”与“Δ ”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利 用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新 知识的过程,更是培养学生能力的过程.

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