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【优化方案】2016高中数学 2.1、2.2两角差的余弦函数、2.2两角和与差的正弦、余弦函数 训练案知能提升


【优化方案】 2016 高中数学 第二章 三角恒等变形 2.1、 2.2 两角差 的余弦函数、2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 训练案知能提升 新 人教 A 版必修 4
[A.基础达标] 1.下面各式,不正确的是( ) π π π π 3 π ? ? A.sin? + ?=sin cos + cos 4 3 2 4 ?4 3? 7π π π 2 π B.cos =cos cos - sin 12 4 3 2 3 π π 6 ? π? C.cos?- ?=cos cos + 4 3 4 ? 12? π π π D.cos =cos -cos 12 3 4 π π π ?π π ? 解析:选 D.cos =cos? - ?≠cos -cos ,故 D 不正确. 3 4 12 3 4 ? ? 2.化简 cos(x+y)sin y-sin(x+y)cos y 等于( ) A.sin(x+2y) B.-sin(x+2y) C.sin x D.-sin x 解析:选 D.cos(x+y)sin y-sin(x+y)cos y=sin[y-(x+y)]=-sin x. 1 3 3. cos α + sin α 可化为( ) 2 2 ?π ? ?π ? A.sin? -α ? B.sin? -α ? ?6 ? ?3 ? π π ? ? ? ? C.sin? +α ? D.sin? +α ? ?6 ? ?3 ? 1 3 π π 解析:选 C. cos α + sin α =sin cos α +cos sin α 2 2 6 6 ?π ? =sin? +α ?. ?6 ? sin(α +β ) m tan β 4.如果 = ,那么 等于( ) sin(α -β ) n tan α m-n m+n A. B. m+n m-n n-m n+m C. D. n+m n-m sin(α +β ) sin α cos β +cos α sin β m 解析:选 A. = = , sin(α -β ) sin α cos β -cos α sin β n 所以 nsin α cos β +ncos α sin β =msin α cos β -mcos α sin β , 所以(m-n)sin α cos β =(m+n)cos α sin β , cos α sin β m-n tan β m-n 所以 = ,即 = . sin α cos β m+n tan α m+n 5.在△ABC 中,如果 sin A=2sin Ccos B,那么这个三角形是(

)
1

A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.不确定 解析:选 C.在△ABC 中,sin A=sin[π -(B+C)]=sin(B+C).因为 sin A=2sin Ccos B,所以 sin(B+C)=2sin Ccos B,即 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Ccos B,所以 sin Bcos C-cos Bsin C=0,即 sin(B-C)=0. 又-180°<B-C<180°, 所以 B-C=0,即 B=C,所以△ABC 是等腰三角形. 6.已知 3sin x- 3cos x=2 3sin(x+φ ),φ ∈(-π ,π )则 φ 的值是________. 1 ? 3 ? 解析:因为 3sin x- 3cos x=2 3? sin x- cos x? 2 ?2 ? π ? ? =2 3sin?x- ?, 6? ? 又因为 3sin x- 3cos x=2 3sin(x+φ )且 φ ∈(-π ,π ), π 所以 φ =- . 6 π 答案:- 6 7.函数 f(x)=sin(x+φ )-2sin φ cos x 的最大值为________. 解析:因为 f(x)=sin(x+φ )-2sin φ cos x=cos φ sin x-sin φ cos x=sin(x- φ ), 又-1≤sin(x-φ )≤1,所以 f(x)的最大值为 1. 答案:1 1 1 8.若 cos α -cos β = ,sin α -sin β =- ,则 cos(α -β )=________. 2 3 1 解析:由已知得 cos α -cos β = ,① 2 1 sin α -sin β =- .② 3 2 2 ① +② 得 1 1 2 2 (cos α -cos β ) +(sin α -sin β ) = + , 4 9 13 即 2-2cos α cos β -2sin α sin β = , 36 1 ? 13? 59 所以 cos α cos β +sin α sin β = ×?2- ?= , 2 ? 36? 72 59 所以 cos(α -β )= . 72 59 答案: 72 4 16 9.已知 α 、β 为锐角,且 cos α = ,cos(α +β )=- ,求 cos β 的值. 5 65 π π 解:因为 0<α < ,0<β < ,所以 0<α +β <π . 2 2 16 63 由 cos(α +β )=- ,得 sin (α +β )= . 65 65 4 又因为 cos α = , 5 3 所以 sin α = . 5
2

所以 cos β =cos [(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin (α +β )sin α 16 4 63 3 5 =- × + × = . 65 5 65 5 13 ?1 π ? 10.已知函数 f(x)=2sin? x- ?,x∈R. 6? ?3 ?5π ? (1)求 f? ?的值; ? 4 ? π ? 10 6 ? π? ? (2)设 α ,β ∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的值. 2? 2 ? 13 5 ? ? 5 π 1 5 π π π ? ? ? ? 解:(1)f? ?=2sin? × - ?=2sin 6? 4 ? 4 ? ?3 4 2 = 2. 2 π? ? (2)f?3α + ?=2sin 2? ? =2×

?1?3α +π ?-π ?=2sin α =10,所以 sin α = 5 . ? ?3? 2? 6? 13 13 ? ? ? 1 π π ? ? ? ? f(3β +2π )=2sin ? (3β +2π )- ?=2sin ?β + ? 6? 2? ?3 ?
6 3 =2cos β = ,所以 cos β = . 5 5 π 12 ? ? 2 因为 α ,β ∈?0, ?,所以 cos α = 1-sin α = , 2? 13 ? 4 2 sin β = 1-cos β = , 5 所以 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β 12 3 5 4 16 = × - × = . 13 5 13 5 65 [B.能力提升] 1+sin β ? π? ? π? 1.设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = ,则( ) 2? 2? cos β ? ? π π A.3α -β = B.2α -β = 2 2 π π C.3α +β = D.2α +β = 2 2 1+sin β sin α 1+sin β 解析:选 B.由 tan α = 得 = , cos β cos α cos β 即 sin α cos β =cos α +cos α sin β , ?π ? 所以 sin(α -β )=cos α =sin? -α ?. ?2 ? π π ? ? ? ? 因为 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?, 2? 2? ? ? ? π π? π ? π? 所以 α -β ∈?- , ?, -α ∈?0, ?, 2? ? 2 2? 2 ? π ?π ? 所以由 sin(α -β )=sin? -α ?,得 α -β = -α , 2 ?2 ? π 所以 2α -β = . 2 1 3 π π π π ?π ? ?π ? 2.若 sin? -α ?=- ,sin? +β ?= ,其中 <α < , <β < ,则角 α +β 2 4 2 4 2 ?4 ? ?4 ? 2
3

的值为( π A. 6 π C. 3

)

5π B. 6 2 D. π 3 π π π π 解析:选 B.因为 <α < ,所以- < -α <0, 4 2 4 4 π π π π 3π 因为 <β < ,所以 < +β < , 4 2 2 4 4

?π -α ?= 3,cos?π +β ?=-1. ? 2 ?4 ? 2 ?4 ? ? ? π π ?? ? ? ?? 则 cos(α +β )=cos?? +β ?-? -α ?? ?? 4 ? ?4 ?? π π π ? ? ? ? ? ? ?π ? =cos? +β ?cos? -α ?+sin? +β ?sin? -α ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? 3 3 ? 1? 3 ? 1? =?- ?× + ×?- ?=- . 2 ? 2? 2 ? 2? 2
由已知可得 cos? π 5π 因为 <α +β <π ,所以 α +β = . 2 6

?a b? ?a b? ?的式子叫做行列式,其运算法则为? ? = ad - bc , 若 行 列 式 ?c d? ?c d? cos x? ?sin x ? π ?=1,则 x=________. π ?sin ? 2 cos 6 6 ? ? cos x? ?sin x ?a b? ? ?= 解析:因为? ?=ad-bc,? π π ? ?c d? sin cos 6 6 ? ? π π π π π 5π ? π? 1 sin xcos -cos xsin =sin?x- ?= ,所以 x- = +2kπ 或 x- = +2k 6 6 6 2 6 6 6 6 ? ?
3.形如? π π ,k∈Z,所以 x= +2kπ 或 x=(2k+1)π ,k∈Z. 3 π 答案: +2kπ 或(2k+1)π ,k∈Z 3 4.设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =________. 2 ?1 ? 解析:f(x)=sin x-2cos x= 5? sin x- cos x?, 5 5 ? ? 1 2 设 =cos α , =sin α , 5 5 则 f(x)= 5(sin xcos α -cos xsin α )= 5sin(x-α ). 因为 x∈R,所以 x-α ∈R,所以 f(x)max= 5. 又因为 x=θ 时,f(x)取得最大值, 所以 f(θ )=sin θ -2cos θ = 5. 2 2 又 sin θ +cos θ =1, 1 sin θ = , 5 2 5 所以 即 cos θ =- . 5 2 cos θ =- , 5

? ? ? ? ?

4

2 5 答案:- 5

? π? ?5π ? 3 2. 5.已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= 3 ? ? ? 12 ? 2 (1)求 A 的值; ? π? ?π ? (2)若 f(θ )-f(-θ )= 3,θ ∈?0, ?,求 f? -θ ?. 2? ? ?6 ? ?5π ?=Asin?5π +π ?=Asin3π = 2A=3 2,所以 A=3. ? ? 12 3 ? 4 2 2 ? 12 ? ? ? π π ? ? ? ? (2)f(θ )-f(-θ )=3sin?θ + ?-3sin?-θ + ? 3? 3? ? ? π π? ?? =3??sin θ cos +cos θ sin ? 3 3? ?? π π ? ? +cos θ sin ? -?-sin θ cos ?? 3 3 ?? ?
解:(1)f? =6sin θ cos 所以 sin θ = π =3sin θ = 3, 3 3 ? π? .又因为 θ ∈?0, ?, 2? 3 ?
2

6 ? 3?2 ? =3, ?3? π? ?π ? ?π ?π ? 所以 f? -θ ?=3sin? -θ + ?=3sin ? -θ ? 3? ?6 ? ?6 ?2 ? 所以 cos θ = 1-sin θ = 1-? =3cos θ = 6.

? ? π? ? 6.(选做题)已知向量 a=?sin?x+ ?,1?,b=(4,4cos x- 3). 6? ? ? ? ? 4π ? (1)若 a⊥b,求 sin?x+ ?的值; 3 ? ? π? ? π? ? (2)设 f(x)=a·b,若 α ∈?0, ?,f?α - ?=2 3,求 cos α 的值. 2? 6? ? ? 解:(1)因为 a⊥b?a·b=0, ? π? 则 a·b=4sin?x+ ?+4cos x- 3 6? ?
=2 3sin x+6cos x- 3 ? π? =4 3sin?x+ ?- 3=0, 3? ? π ? ? 1 所以 sin?x+ ?= , 3? 4 ? 4 π? 1 ? ? π? 所以 sin?x+ ?=-sin?x+ ?=- . 3 ? 3? 4 ? ? ? π? (2)由(1)知 f(x)=4 3sin?x+ ?- 3, 3? ? π? π? 3 ? ? 所以由 f?α - ?=2 3得 sin?α + ?= , 6? 6? 4 ? ? π ? π 2π ? ? π? 又 α ∈?0, ?,所以α + ∈? , ?, 2 3 ? 6 ?6 ? ?

5

又因为

2 3 3 π ?π π ? < < ,所以 α + ∈? , ?, 2 4 2 6 ?6 3?

π? 7 ? 所以 cos?α + ?= , 6 ? ? 4 π? π? ?? 所以 cos α =cos??α + ?- ? 6? 6? ?? π π? π π ? ? ? =cos?α + ?cos +sin?α + ?sin 6? 6? 6 6 ? ? = 7 3 3 1 3+ 21 × + × = . 4 2 4 2 8

6


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