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高中数学 §3.4基本不等式第3课时教案 新人教A版必修5


高中数学 §3.4 基本不等式第 3 课时教案 新人教 A 版必修 5
备课人 课题 §3.4 基本不等式 ab ? 授课时间

课标要求

a?b (第 3 课时) 2 a?b 进一步掌握基本不等式 ab ? 2
知识目标 会应用此不等式求某些函数的最值 掌握基本不等式 ab ?

教 学 目 标

技能目标 情感态度价值观

a?b 2

引发学生学习和使用数学知识的兴趣

重点 难点

a?b 的应用 2 a?b 利用基本不等式 ab ? 求最大值、最小值 2
基本不等式 ab ? 问题与情境及教师活动 学生活动

1.课题导入
1 . 基 本 不 等 式 : 如 果 a,b 是 正 数 , 那 么

教 学 过 程 及 方 法

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2 a?b 2.用基本不等式 ab ? 求最大(小)值的步骤。 2
2.讲授新课
1)利用基本不等式证明不等式

24 ? 6m ? 24 。 m 24 [思维切入]因为 m>0,所以可把 和 6m 分别看作基本不等式中 m
例 1 已知 m>0,求证 的 a 和 b, 直接利用基本不等式。 [证明]因为 m>0,,由基本不等式得

24 24 ? 6m ? 2 ? ? 6m ? 2 24 ? 6 ? 2 ?12 ? 24 m m 24 当且仅当 = 6m ,即 m=2 时,取等号。 m 24 ? 6m =144 为定值 规律技巧总结 注意:m>0 这一前提条件和 m
的前提条件。

1

河北武中·宏达教育集团教师课时教案 问题与情境及教师活动 例 2 求证:

学生活动

4 ?a ? 7. a ?3

[思维切入] 由于不等式左边含有字母 a,右边无字母,直接使用基本不 等式,无法约掉字母 a,而左边 后,在用基本不等式即可得证. [ 证

4 4 ?a ? ? (a ? 3) ? 3 .这样变形 a ?3 a ?3
明 ]

4 4 4 ?3? ? (a ? 3) ? 3 ? 2 ? a ? 3) ? 3 ? 2 4 ? 3 ? 7 ( a ?3 a ?3 a ?3 4 当且仅当 =a-3 即 a=5 时,等号成立. a?3
教 学 过 程 及 方 法 [思维拓展 2] 求证 (a ? b )(c ? d ) ? (ac ? bd )
2 2 2 2 2

规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.

随堂练习 1
[ 思 维 拓 展 1] 已 知 a,b,c,d 都 是 正 数 , 求 证

(ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd .

2)利用不等式求最值

9 的最小值; x 9 (2)若 x<0,求 f ( x ) ? 4 x ? 的最大值. x 9 [思维切入]本题(1)x>0 和 4x ? =36 两个前提条件;(2)中 x<0,可以用 x
例 3 (1) 若 x>0,求 f ( x ) ? 4 x ? -x>0 来转化. 解?1) 因为 x>0 由基本不等式得

9 3 9 9 ? 2 4 x ? ? 2 36 ? 12 ,当且仅当 4x ? 即 x= 时, x 2 x x 9 f ( x ) ? 4 x ? 取最小值 12. x

f ( x) ? 4 x ?

(2)因为

x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:

9 9 9 ? f ( x) ? ?(4 x ? ) ? (?4 x) ? (? ) ? 2 (?4 x) ? (? ) ? 2 36 ? 12 , x x x 所以 f ( x) ? 12 .
2 河北武中·宏达教育集团教师课时教案
2

问题与情境及教师活动 当且仅当 ?4x ? ?

学生活动

9 3 9 即 x=- 时, f ( x ) ? 4 x ? 取得最大-12 x 2 x

规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数, 则添负号变正.

随堂练习 2
教 学 过 程 及 方 法 3.练习(1) .证明: a ? b ? 2 ? 2a ? 2b
2 2

[思维拓展 1] 求 f ( x) ? 4 x ?

9 (x>5)的最小值. x ?5

[思维拓展 2] 若 x>0,y>0,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值. x y

(2) .若 x ? ?1 ,则 x 为何值时 x ?

1 有最小值,最小值为几? x ?1

4.课时小结
用基本不等式 ab ?

a?b 证明不等式和求函数的最大、最小值。 2

教 学 小 结 课 后 反 思 3

3


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