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第8.5节(小结)


第五节 小结
在掌握了分离变数法、傅里叶级数法、冲量定理法和非齐次
边界条件的处理方法之后,就可以求解一般的有界问题:泛 定方程和边界条件全是非齐次的,同时初始条件为非零值。 下面以一般的一维有界振动和二维有界稳定温度分布问题为 例,说明含时间问题(波动和输运问题)和不含时间问题 (稳定场问题)不同的求解步骤和最有效解法。 (一)一般的有界波动和输运问题 有界弦的一般振动定解问题如下: utt ? a 2u xx ? f ( x, t )

1

u | x ?0 ? ? (t ), u | x ?l ? ? (t ) u |t ?0 ? ? ( x), ut |t ?0 ? ? (t )

弦既受外力作用,又有初始位移 和初始速度,且弦的两个端点按
已知规律随时间变化,方程和边

utt ? a 2u xx ? f ( x, t ) u | x ?0 ? ? (t ), u | x ?l ? ? (t ) u |t ?0 ? ? ( x), ut |t ?0 ? ? (t )

2

界条件都是非齐次的,初始条件也是非零值。但方程、边界 和初始条件都是线性的,适用叠加原理,可采用下述步骤: (1)边界条件化为齐次 取v(x,t)满足非齐次边界条件:

1 v( x, t ) ? [? (t ) ? ? (t )] x ? ? (t ) l 令 u( x, t ) ? v( x, t ) ? w( x, t ) 代入定解问题可得w的定解问题 wtt ? a 2 wxx ? f ( x, t ) ? vtt ? g ( x, t )
w | x ?0 ? 0, w | x ?l ? 0 w |t ?0 ? ? ( x) ? v |t ?0 ? ? ( x), wt |t ?0 ? ? (t ) ? vt |t ?0 ? ? ( x)

3 则边界条件化为齐次的,可用傅里叶级数法直接求解。 但可利用叠加原理,化成两个定解问题,分别用分离变数法

和冲量定理法直接求解: (2)利用叠加原理化成两个简单的定解问题 令 w( x, t ) ? w1 ( x, t ) ? w11 ( x, t ) 其中分别满足定解问题

w1tt ? a 2 w1 xx ? 0 w1 | x ?0 ? 0, w1 | x ?l ? 0 w1 |t ?0 ? ? ( x), w1t |t ?0 ? ? (t )

w11tt ? a 2 w11 xx ? g ( x, t ) w11 | x ?0 ? 0, w11 | x ?l ? 0 w11 |t ?0 ? 0, w11t |t ?0 ? 0

W1的定解问题为齐次方程,齐次边界条件,分离变数求解 W11的定解问题只有方程为非齐次,边界和初始条件都是齐 次的,可用冲量定理法求解。

对于一般的一维有界输运问题 ut ? a 2u xx ? f ( x, t )

4

u | x ?0 ? ? (t ), u | x ?l ? ? (t ) u |t ?0 ? ? ( x)

步骤完全相同,利用叠加原理把边界化为齐次,二维三维同此! (二)一般的有界稳定场问题 以二维矩形域稳定温度分布为例,定解问题如下:

u xx ? u yy ? f ( x, y ) u | x ?0 ? ? ( y ), u | x ? a ? ? ( y ) u | y ?0 ? ? ( x), u | y ?b ? ? ( x)
稳定分布与时间t无关,且是非齐次方程,特解法仍然适用

(1)特解法,将非齐次方程问题化为齐次方程问题 取非齐次方程的一个特解v(x,y),有 vxx ? v yy ? f ( x, y)
令 u( x, y) ? v( x, y) ? w( x, y) 其中 w( x, y) 满足定解问题 wxx ? wyy ? 0

5

w | x ?0 ? ? ( y ) ? v(0, y ), w | x ? a ? ? ( y ) ? v(a, y ) w | y ?0 ? ? ( x) ? v( x,0), w | y ?b ? ? ( x) ? v( x, b)
此方程化为齐次方程,可求解。 (2)用叠加原理,化成两个可直接求解的定解问题 令 w( x, t ) ? w1 ( x, t ) ? w11 ( x, t ) 且 w1 ( x, t ),w11 ( x, t ) 分别满足以下定解问题

w1 ( x, t )

?w1xx ? w1 yy ? 0 ? 1 w |x ?0 ? 0, w1 |x ?a ? 0 ? ? 1 w | y ?0 ? ? ( x) ? v( x,0), w1 | y ?b ? ? ( x) ? v( x, b) ? ?w11 xx ? w11 yy ? 0 ? 11 11 ?w | x ?0 ? ? ( y) ? v(0, y), w |x ?a ? ? ( y) ? v(a, y) ? 11 w | y ?0 ? 0, w11 | y ?b ? 0 ?

6

w11 ( x, t )

为齐次方程和一组非齐次边界条件,可分离变数或者傅里叶
级数法直接求解。 以上都是定义在有界区域的定解问题,可用分离变数法求解, 但不是所有的有界的线性定解问题都能用分离变数法求解,如 以下的例子:

utt ? a 2 xuxx ? 0 utt ? a 2txuxx ? 0 utt ? a 2 ( x ? t )u xx ? 0

(1) ( 2) (3)

7

(1)(2)可以分离变数求解,但(3)不可以!不存在

分离变数形式的解 u( x, t ) ? X ( x)T (t )

88?


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