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2.1空间点、直线、平面之间的位置关系


新课标高中数学-必修二导学案
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 作用:可用来证明点、直线在平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 作用:①可用来确定一个平面;②证明点线共面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 作用:①可用来确定两个平面的交线;②判断或证明多点共线;③判断或证明多线共点. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 作用:判断空间两条直线平行的依据. 2.空间直线的位置关系
?平行 ?共面直线? ? ?相交 (1)位置关系的分类:? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角: ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). π 0, ? . ②范围:? ? 2? (3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 3.空间直线与平面,平面与平面之间的位置关系 图形语言 相交 直线与平面 平行 在平面内 平行 平面与平面 相交 考点一 平面的基本性质及应用 例 1.(1)下列命题: ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.其中正确命题的个数是(
1

符号语言 a∩α=A a∥α a?α α∥β

公共点 1个 0个 无数个 0个

α∩β=l

无数个

)

新课标高中数学-必修二导学案
(2).如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( )

(3).如图,已知:E,F,G,H 分别是正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 AB,BC,CC1,C1D1 的中点, 证明:EF,HG,DC 三线共点.

考点二 空间两直线的位置关系 例 2. (1)已知直线 a 和平面 α,β,α∩β=l,a?α,a?β,且 a 在 α,β 内的射影分别为直线 b 和 c,则直线 b 和 c 的位置关系是( A.相交或平行 C.平行或异面 (2).下列说法正确的是( ) B.若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面 D.若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 异面 ) B.相交或异面 D.相交、平行或异面

A.若 a?α,b?β,则 a 与 b 是异面直线 C.若 a,b 不同在平面 α 内,则 a 与 b 异面 (3).若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( A.α 内的所有直线与 l 异面 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 考点三 异面直线所成的角 )

B.α 内不存在与 l 平行的直线 D.α 内的直线与 l 都相交

例 3.如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中, AA1=2AB,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为( 1 A. 5 2 B. 5 3 C. 5 ) 4 D. 5

变式:如图所示,点 A 是平面 BCD 外一点,AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点,且 EF= 2,则异面直线 AD 和 BC 所成的角为________.

例 4.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点, 则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的余弦值为________.

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新课标高中数学-必修二导学案
【巩固训练】 1.对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 α,使得( A.a?α,b?α C.a⊥α,b⊥α B.a?α,b∥α D.a?α,b⊥α )

2.如图,ABCDA1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于 点 M,则下列结论正确的是( A.A,M,O 三点共线 C.A,M,C,O 不共面 ) B.A,M,O,A1 不共面 D.B,B1,O,M 共面 )

3.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2 是两条侧面对角线,则在正方体中,l1 与 l2( A.互相平行 π C.异面且夹角为 3 B.异面且互相垂直 π D.相交且夹角为 3 )

4.若空间三条直线 a,b,c 满足 a⊥b,b∥c,则直线 a 与 c( A.一定平行 C.一定是异面直线 B.一定相交 D.一定垂直

5.对于任意的直线 l 与平面 α,在平面 α 内必有直线 m,使 m 与 l( A.平行 C.垂直 B.相交 D.互为异面直线

)

6.已知异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且 α∩β=c,那么直线 c 一定( A.与 a,b 都相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 )

)

7.若 P 是两条异面直线 l,m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交

B.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面

8.如图,正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直,且 AC=BC=2, ∠ACB=90° ,F,G 分别是线段 AE,BC 的中点,则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为( A. )

3 6 3 3

B. ? D. ?

3 6 3 3
)

C.

9.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90° , 点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是( A.45° C.90° 10.过正方体 ABCD B.60° D.120° A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角 ) C.3 条 D.4 条

都相等,这样的直线 l 可以作( A.1 条 B.2 条

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11.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 12.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原正方体中互为异面的对数为________对.

13.如图所示,正方体的棱长为 1,B′C∩BC′=O,则 AO 与 A′C′所成角的 度数为________. 14.设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题: ①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直线; ③若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交; ④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是________. 15.如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,

(1)求 A1C1 与 B1C 所成角的大小; (2)若 E,F 分别为 AB,AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小.

16.A 是△BCD 所在平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点, (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角.

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