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两角和与差的正切公式


复习回顾
已经学了两角和与两角差的正弦、余弦公 式,今天继续推导两角和与两角差的正切

公式

1

探索新知一
用任意角的 ? , ? 正切表示 tan(? ? ? )及 tan(? ? ? ) 的公式的推导:

sin ? 由 tan ? ? , cos ?

tan(? ? ? ) ?

sin(? + ? ) cos(? + ? )

sin? cos? + cos? sin? ? cos? cos? - sin? sin?

分子分母同时除以cos ? cos ? 当cos ? cos ? ? 0时,
tan? + tan? tan(? + ? )= 1- tan? tan?

记:T(? + ? )

探索新知二



tan(?-? ) ? ?

tan? - tan? tan(? - ? )= 1+ tan? tan?
注意:

记T(? - ? )

1、必须在定义域范围内使用上述公式。

即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存 在就不能使用这个公式。 2、注意公式的结构,尤其是符号。
弦1 切2

方法一:

tan ?? ? ? ?
sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

探求新知

cos ? cos ?

分子分母同 除以

方法二:

tan ?? ? ? ?
? tan[? ? (?? )]

探求新知

tan ? ? tan(? ? ) ? 1 ? tan ? tan(? ? ) tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

归纳对比

正切、余切和、差角公式

tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

类型一 公式应用

1 ? ? 例1 已知tan? ? 2, tan ? ? ? , 其中0 ? ? ? ,0 ? ? ? 3 2 2 (1)求 tan( ? ? ? ); (2)求? ? ?的值

1 解 (1)因为tan? ? 2, tan ? ? ? 3 1 2? tan? ? tan ? 3 ?7 所以 tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2 3

1 2? tan? ? tan ? 3 ?1 (2)因为 tan( ? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2 3 ? ? 又因为0 ? ? ? ,0 ? ? ? 2 2 ? 3? 所以 ? ? ? ? ? 2 2 ? 3? 5? 在 与 之间, 只有 的正切值等于1 2 2 4 5? 所以? ? ? ? 4

类型二

公式的变形应用

例 2:求下列各式的值: 1+tan75° (1) ; 1-tan75° (2)tan17° +tan28° +tan17° tan28° ; (3)tan70° -tan10° - 3tan70° tan10° .

tan45° + tan75° 解:(1)解法 1:原式= 1- tan45° tan75° = tan(45° + 75° )= tan120° =- 3. tan45° + tan30° 解法 2: ∵tan75° = tan(45° + 30° )= 1- tan45° tan30° 3 1+ 3 3+ 3 12+ 6 3 = = = = 2+ 3, 6 3 3- 3 1- 3 1+ tan75° 1+ ?2+ 3? 3+ 3 ∴ = = =- 3. 1- tan75° 1- ?2+ 3? - 1- 3

tan17° + tan28° (2)∵tan(17° + 28° )= , 1- tan17° tan28° ∴tan17° + tan28° = tan(17° + 28° )(1- tan17° tan28° ) = 1- tan17° tan28° . ∴tan17° + tan28° + tan17° tan28° = 1. tan70° - tan10° (3)∵tan60° = tan(70° - 10° )= , 1+ tan70° tan10° ∴tan70° - tan10° = 3+ 3tan10° tan70° . ∴tan70° - tan10° - 3tan10° tan70° = 3.

规律技巧:本题从公式逆向变换思想出发,灵活地运用了 正切和角公式的变形式 tanα+tanβ=tan(α+β)· (1-tanαtanβ). 由此可解决一类求值问题: tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ=tan(α+β). 例如 tan17° +tan43° + 3tan17° · tan43° = 3.

3 探究、已知 cosα-2cosβ=-2, 1 sinα-2sinβ=3,求 cos(α-β)的值.

? 规律技巧:两式平方相加的方法,是解决具有 本题特征的题目的有效途径.

类型三

1 例 3:已知 α、β∈(0,π),且 tan(α-β)= , 2

1 tanβ=- ,求 tan(2α-β)的值,及此时 2α-β 的值. 7

分析:变化角 α =(α -β )+β ,2α -β =(α -β )+α , 这样由已知可求得tanα 的值,再进一步求 tan(2α -β )的值,确定角时要注意范围.

1 1 解:∵ tan(α- β)= , tanβ=- , 2 7 1 ? 1? + ?- ? 2 tan?α- β?+ tanβ 1 ? 7? ∴ tanα= tan[(α- β)+ β]= = = <1. ? ? 3 1 1 1- tan?α- β?tanβ 1- ×?- ? 2 ? 7? π π ∵ α∈ (0, π),∴ 0<α< , 0<2α< . 4 2 1 ? ? ?, 0 , π 又 tanβ=- <0, β∈ ? ? ? 7 π ∴ <β<π,∴- π<2α- β<0. 2

又 tan(2α-β)=tan[(α- β)+ α] 1 1 + tan?α- β?+tanα 2 3 = = = 1, 1 1 1- tan?α- β?tanα 1- × 2 3 3π ∴ 2α-β=- . 4

规律技巧:求角“三步曲”:定范围,求函数值,确 定角.尤其是范围问题,宁肯小一点,勿过大,过大会增 解.

小结:

角的变换是使用两角和与差的三角公式求值中常见的
方法,要掌握一些角的变换技巧,

学会把要求的角用已知的一个或两个角表示出来
如α=(α+β)-β,

α+2β=(α+β)+β,
2α=(α+β)+(α-β)等.

例 4、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为 始边作两个锐角 α,β,它们的终边分别与单位圆交于 A、 2 2 5 B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为 、 . 10 5 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 α+2β 的值.

2 2 5 解:由条件得 cosα= , cosβ= . 10 5 7 2 ∵ α, β 为锐角,∴ sinα= 1- cos α= , 10
2

5 sinβ= 1- cos β= . 5
2

1 因此 tanα= 7, tanβ= . 2 tanα+ tanβ (1)tan(α+ β)= = =- 3. 1 1- tanα· tanβ 1- 7× 2 1 7+ 2

(2)∵ tan( α+ 2β)= tan[(α+ β)+ β] tan?α+ β?+ tanβ = = 1- tan?α+ β?tanβ 又∵ α, β 为锐角, 3π 3π ∴ 0<α+ 2β< ,∴ α+ 2β= . 2 4 1 - 3+ 2

=- 1. 1 1- ?- 3?× 2

1 5 例 5、已知 tanα=- ,cosβ= ,α、β∈(0,π). 3 5 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求函数 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.
1 5 解:(1)tanα=- , cosβ= , β∈ (0, π), 3 5 2 5 ∴ sinβ= ,∴ tanβ= 2. 5 1 - +2 tanα+ tanβ 3 ∴ tan(α+ β)= = = 1. ? ? 1 1- tanαtanβ 1- ?- ?×2 ? 3?

1 (2)∵ tanα=- , α∈ (0, π), 3 1 3 ∴ sinα= , cosα=- . 10 10 ∴ f(x)= 2(sinx cosα- cosx sinα)+ cosx cosβ- sinxsinβ 3 1 5 2 5 =- sinx- cosx+ cosx- sinx 5 5 5 5 =- 5sinx.

∴f(x)的最大值为 5

小结
1
、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、推导及应用;

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? cos ? cos ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ

tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角 函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用公式.


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