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高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数、解三角形(单元总结与测试)


2012 版高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数、解三 角形
单元总结与测试
【章节知识网络】

【章节强化训练】
一、选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分) 1、 sin163 sin 223 ? sin 253 sn313 等于 (
0 0 0 0

)

A、 ? 答案:B

1 2

B、

1 2

C、 ?

3 2

D、

3 2

2、设角?的终边过点 P(-4a,3a) (a≠0),则 2sin?+cos?的值是( A、 答案: C 3、 f ( x) ? 2sin
2

) D、与?值有关

2 5

B、 ?

2 5

C、 或 ?

2 5

2 5

x ? sin x ? 1 的最小正周期 是( 2

)

第 1 页 共 11 页

A、

? 2

B、?

C、2?

D、4?

答案: B 4、若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? 1 的图象与直线 y ? ?3 的相邻的两个交点之间的距离为?, 则ω 的一个可能的值为( A、2 答案:A 5、下列函数中,图象的一部分如右图所示的是(D) (A) y ? sin ? x ? B、 )

1 2

C、

1 3

D、3

? ?

??
? 6?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

(C) y ? cos ? 4 x ? 答案:D

? ?

??
? 3?

(D) y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

6. 将函数 y=f(x)sinx 的图象向右平移 T=

? 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得到函 4
) D. 2sinx

数 y ? 1 ? 2sin 2 x 的图象,则 f(x)可以是( A. cos x 答案:B 7、在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( A. B. 2cosx C. sinx



1: 2 : 3

B.

3: 2 :1

C.

1 : 3 : 2 D.

2 : 3 :1

答案:C

A?
解析:

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

, a : b : c ? sin A : sin B : sin C ?

1 3 2 : : ? 1: 3 : 2 2 2 2
C )

8、已知 ? 为正实数,函数 f ( x) ? 2sin ? x 在区间 [ ?

A.
答案:C

2 4 0 ?? ? 7

B .

0 ? ?

? 2C

, ] 上递增,那么( 3 4 3 3 . ? ? 0 ? D ?. ? 2 2

? ?

9、在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( A.

)

900

B.

600

C.

1350

D.

1500

第 2 页 共 11 页

答案:B 解析: (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc,(b ? c)2 ? a 2 ? 3bc,

b2 ? c 2 ? a 2? 3bc , c oA s?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? A,? 2bc 2

60 0


10、在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 不能确定 答案:D 解析: lg D. 等腰三角形

sin A sin A ? lg 2, ? 2,sin A ? 2 cos B sin C cos B sin C cos B sin C

sin( B ? C ) ? 2cos B sin C,sin B cos C ? cos B sin C ? 0,
sin( B ? C ) ? 0, B ? C ,等腰三角形
11、在△ABC 中,若 tan A. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 答案:D

A? B a ?b ? ,则△ABC 的形状是( 2 a?b
B. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形



A? B A? B sin A ? B a ? b sin A ? sin B 2 2 , 解析: tan ? ? ? 2 a ? b sin A ? sin B 2sin A ? B cos A ? B 2 2 A? B tan A? B 2 , tan A ? B ? 0 ,或 tan A ? B ? 1 tan ? A? B 2 2 2 tan 2 ? 所以 A ? B 或 A ? B ? 2 13 12、在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ? ,则最大角的余弦是( 14 1 1 1 1 A. ? B. ? C. ? D. ? 5 6 7 8 2cos
答案:C



解析: c ? a ? b ? 2ab cos C ? 9, c ? 3 , B 为最大角, cos B ? ?
2 2 2

1 7

二、填空题(本大题共 4 个小题,第小题 4 分,共 16 分)

第 3 页 共 11 页

13、已知 sin ? ? 答案:-2

2 5 ? , ? ? ? ? ,则 tan ? ? 2 5

14、若 f ( x) ? a sin( x ?

?

) ? b sin( x ? )(ab ? 0) 是偶函数,则有序实数对( a , b )可以是 4 4

?

(注:只要填满足 a ? b ? 0 的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可) 答案: a=1,b=-1 15、若在△ABC 中, ?A ? 600 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则 答案:

a?b?c =_______ sin A ? sin B ? sin C

2 39 3

1 1 3 S?ABC ? bc sin A ? c ? ? 3, c ? 4, a 2 ? 13, a ? 13 2 2 2 解析:
a?b?c a 13 2 39 ? ? ? sin A ? sin B ? sin C sin A 3 3 2
16、在△ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cosC, 则 tan B ? tanC ? _________ 答案: 2 解析: tan B ? tan C ?

sin B sin C ? cos B cos C sin B cos C ? cos B ? sin C sin( B ? C ) 2sin A ? ? ? 1 cos B cos C sin A sin A 2

三、解答题
17、 (本大题满分 11 分)已知 a、b、c 是△ABC 中角 A、B、C 的对边,S 是△ABC 的面积, 若 a=4,b=5, S ? 5 3 ,求 c 的长度。 解答:∵ S ?

1 ab sin C 2

∴ sin C ?
2

3 ,于是∠C=60?或 120?, 2
2 2

又∵ c ? a ? b ? 2ab cos C , 当∠C=60?时, c ? a ? b ? ab ? 21,∴ c ? 21
2 2 2

第 4 页 共 11 页

当∠C=120?时, c ? a ? b ? ab ? 61,∴ c ? 61
2 2 2

∴ c ? 21或c ? 61 。 18、 (本大题满分 14 分)有三个生活小区,分别位于 A, B, C 三点处,且 AB ? AC ? 20 7 ,

BC ? 40 3 . 今计划合建一个变电站,为同时方便三个小区,准备建在 BC 的垂直平分线
上的 P 点处,建立坐标系如图,且 ?ABO ?

2 ?. 7

(Ⅰ) 若希望变电站 P 到三个小区的距离和最小, 点 P 应位于何处? (Ⅱ) 若希望点 P 到三个小区的最远距离为最小, 点 P 应位于何处?













Rt ?AOB



,

AB ? 20 7,0B ? 20 3

,



| OA |? (20 7) 2 ? (20 3) 2 ? 40 ……1 分
(Ⅰ)方法一、设 ?PBO ? ? ( 0 ? ? ? 点 P 到 A, B, C 的距离之和为

2 ? ), 7

y ? 2?

20 3 2 ? sin ? …5 分 ? 40 ? 20 3 tan ? ? 40 ? 20 3 ? cos ? cos ?

? 2sin ? ? 1 1 2 ,令 y? ? 0 即 sin ? ? ,又 0 ? ? ? ? ,从而 ? ? 2 6 cos ? 2 7 ? ? 2? 当 0 ? ? ? 时, y? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y? ? 0 . 6 6 7 ? 2 ? sin ? ∴当 ? ? 时, y ? 40 ? 20 3 ? 取得最小值 6 cos ?
y? ? 20 3 ?
此时 OP ? 20 3 tan

?
6

? 20 3 ?

3 ? 20 ,即点 P 为 OA 的中点. 3
第 5 页 共 11 页

……8 分

方法二 、设点 P(0, b)(0 ? b ? 40) ,则 P 到 A, B, C 的距离之和为

f (b) ? 40 ? b ? 2 b2 ? 1200(0 ? b ? 40) ,求导得 f ?(b) ?
由 f ?(b) ? 0 即 2b ? b2 ?1200 ,解得 b ? 20 当 0 ? b ? 20 时, f ?(b) ? 0 ;当 20 ? b ? 40 时, f ?(b) ? 0 ∴当 b ? 20 时, f (b) 取得最小值,此时点 P 为 OA 的中点.

2b b ? 1200
2

? 1 ……5 分

……8 分

(Ⅱ)设点 P(0, b)(0 ? b ? 40) ,则 | PA |? 40 ? b , | PB |?| PC |? b2 ? 1200 点 P 到 A, B, C 三点的最远距离为 g (b) ①若 | PA |?| PB | 即 40 ? b ? b2 ? 1200 ? 0 ? b ? 5 ,则 g (b) ? 40 ? b ; ②若 | PA |?| PB | 即 40 ? b ? b2 ?1200 ? 5 ? b ? 40 ,则 g (b) ? b2 ? 1200 ; ∴ g (b) ? ?

? ?40 ? b
2 ? ? b ? 1200

(0 ? b ? 5) (5 ? b ? 40)

……11 分

当 0 ? b ? 5 时, g (b) ? 40 ? b 在 [0,5] 上是减函数,∴ g (b)min ? g (5) ? 35 当 5 ? b ? 40 时, g (b) ? b2 ? 1200 在 (5, 40] 上是增函数,∴ g (b) ? g (5) ? 35 ∴当 b ? 5 时, g (b)min ? 35 ,这时点 P 在 OA 上距 O 点 5km . 分 19、(本大题满分 12 分)如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 2 0 海里 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救。 甲船立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30?, 相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援?(角度 精确到 1? 参考数据:sin41?= ……14

3 ) 7

第 6 页 共 11 页

解答:连接 BC,由余弦定理得:

BC2=202+102-2×20×10cos120?=700, ∴ BC ? 10 7 ∵

sin ?ACB sin120? ? 20 10 7 3 ? 0.6547 7

∴ sin ?ACB ? ∵ ?ACB ? 90
?

∴ ?ACB ? 41

?

∴乙船应朝北偏东 71?方向沿直线前往 B 处救援。 20、 (本 大题满分 11 分)已知函数 f (x)= 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? a (a∈R), (1)若 x∈R,求 f (x)的单调递增区间.
? (2)若 x∈ ? 0, ? 时,f (x)的最大值为 4,求 a 的值. ? ? 2? ?

解答:(1)f (x)= 3 sin 2 x ? cos 2 x ? a ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? a ? 1

? 6

? ? ? ? ? ? 2x ? ? 2k? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? (k∈Z) 2 6 2 3 6 ? ? ∴f (x)的单调递增区间为[ k? ? ? x ? k? ? (k∈Z). 3 6 ? ? ? 7? ? ? ? (2)若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ ,则当 2 x ? ? ,即 x= 时,f (x)取得最大值.∴ 2 6 6 6 6 2 6
解不等式 2k? ?

a +3=4,a=1.

第 7 页 共 11 页

21 、 ( ( 本 大 题 满 分 12 分 ) ) 已 知 函 数 f (x)=a+bsinx+ccosx(x ∈ R) 的 图 象 经 过 点
? ? A(0,1),B ? ? ,1? ,且 b>0,又 f (x)的最大值为 2 2 -1. ?2 ?

(1)求函数 f (x)的解析式; (2)由函数 y=f (x)的图象经过平移是否能得到一个奇函数 y=g(x)的图象?若能,请写出平 移过程;若不能,请说明理由. 解答:由已知:y=1-sin x+asinx+2=-(sinx-
2

a 2 a2 )+ ? 3 +3. 2 4
2

当 0<

a2 a2 a ?a a? ?3 ? ≤1 即 0<a≤2 时,最大值 g(a)=- ? ? ? ? +3; 4 4 2 ?2 2?



a >1 即 a>2 时,令 sinx=1 得最大值 g(a)=a+2; 2

由 g(a)=5 可得

a2 a2 +3 =5 或 a+2=5,从 +3=5 4 4

? a=± 2 2与a ? ?0,2?矛盾,从 a+2=5 ? a=3>2 故 a=3 即为所求.

22. (本大题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

? 2

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求 3

函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应 的函数是偶函数。 解法一: (I)由 cos 即 cos(

?
?
4

cos ? ? sin

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?

2

,?? ?

?

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

4

)

2?

T ? ? 2 3

, 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4

?

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

第 8 页 共 11 页

?? ? g ( x)? s i? n 3 x ? ( m? ) ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
即m ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? 解法二: (I)同解法一

? 12

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

)

2?

T ? ? 2 3

?

,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ?

? ?

??
4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立
亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3 x) sin(3m ? ) 4 4 ? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3 x sin(3m ? ) 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

?

?

?

? cos(3m ? ) ? 0 4
故 3m ?

?

4

) ? 0 对 x ? R 恒成立。

?

?m ?

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

从而,最小正实数 m ?

? 12

【思想与方法解读】

帮助“中等生”决胜高考
第 9 页 共 11 页

——教师在教学中应该注意“中等生”在班级中的重要性 高三数学,不同于高一高二阶段,随着知识内容的进展,由单纯新授课变为复习课,由 单元知识的测验转化到全面知识的考查,在整个的高三复习中, “描红”式学习成为一部分 同学提高数学成绩的瓶颈,描红,是初学者的惯招。通常是一张薄纸蒙于帖上,亦“笔”亦 趋。有些同学,每节课,都认为学懂了,作业也会做,可隔一段时间,变忘得一干二净。这 些学生,虽然他们的智力不差、其他科成绩或技能也比较好, 但在复习的过程中,由于种 种原因,导致了他们“描红”式的数学学习,学习的成绩和品质落后于其他学习者,这里把 他们叫做“中等生” 。平时重视抓“两头” ,他们常被忽视,学习应该是可上可下的,很有潜 力,帮他们一把非常必要。 “中等生”为何走不出“描红”的困境呢?经过考察和反思,这些学生的学习,是被动 的接受现成的知识,模仿老师讲授的解题方法,自己真动脑筋的少,笔记课上记得多,课后 看得少,对问题的本质思考、回味得少。他们老在“描红” ,亦步亦趋、师云亦云地读书、 解题,欠缺思维的积极性与求异性,没有从模仿 学习过渡到“领悟”层次,导致较长时间 学不得法,陷入困境,并恶性循环。有时,他们认为的懂,未必就是老师要求的懂,也就是, “描红”者达不到书法的“精、气、神” 。那么,如何帮助中等生尽快摆脱数学复习“描红” 的困境呢? 一、从更新自己的教育观念开始 一是改变对中等生的看法, 从根本上重视他们, 要让他们感觉得到老师对他们的关注与 关心。经常与中等生谈心,关注他们的学习、思想,关注他们的需要。高潮鼓起他们学习的 勇气, 找他们交谈,坚持下去,努力努力再努力, 才能赢得最后的胜利,轻言放弃总是太早; 对学习困难的学生,我们要有一种执着,对他们的教育很难一次奏效,不是一次谈话,就能 提高他们的学习热情,我们要有一种韧性和毅力,拒绝放弃,就是要有坚持的精神。 二是改变角色地位,把学习的主动权给学生。把课堂上的时间留给学生,强制自己在一 节课的教学时间里,有至少 40%的时间让学生“动”起来;学生“动”的面能在 90%左右; 力争让 80%以上的学生能掌握 80%以上的本节课所复习的内容。让学生在理性思考的层面 学习。 三是让学生“动”起来。在课堂教学中,鼓励学生“上课积极思考、积极答问,答案可 以突破老师和课本的思路” 。学生学习的主动性得到了激发,课堂也就更有活力、有生机。 要改变中等生“描红”式的学习,一定要最大限度地让课堂“活”起来,让学生“动” 起 来,让学生自己主动构建。
第 10 页 共 11 页

二、从中等生的数学学习习惯抓起 优秀的数学学习方法,不只是取决于数学学习行为,更是取决于数学学习习惯。亚里士 多德曾经说过 “我们每一个人都是由自己一再重复的行为所铸造的。 因而优秀不是一种行为, 而是一种习惯。 ”一个耳熟能详的“龟兔赛跑”的寓言故事中,天生脚快的兔子,做了乌龟 的手下败将。 乌龟取胜的法宝是什么呢?伊索的描述是 “一往直前, 毫不停歇” 的优秀习惯。 这个故事告诉我们:一两个哪怕是顶尖的优秀行为终究敌不过优秀的行为习惯。 在数学教学中,我们发现, “中等生”学习成绩落后的原因,在于很早就落后在学习习 惯上。所以要从学习习惯抓起,激兴趣、讲方法、谈要求,从要求到习惯。比如在书写上的 规定与要求,如何养成超前学习的习惯,思考 的习惯,课堂上跟着老师的思路思考与质疑 的习惯,研究错误与纠错的习惯,复习与小结的习惯,自测的习惯,笔记的习惯等等。在练 习中要求学生必须动笔,一个结论的推出,必须步步有根据,一丝不苟,亲自验算。对学生 来说,良好的习惯(学习、生活等)是一个人成人、成功的基础。对教学班而言,积久的习 惯,全班的习惯就形成了一种学科的学习文化, 互相影响。 三、改革评价方式,激发学习热情 单从分数来评价学习, 必然影响中等生的学习积极性。 如何用好评价这个杠杆呢?看分 数不惟分数,用分数帮助学生认识自己的现状,确立奋斗的目标;在课堂上对中等生的问题 思想作出及时的评价,有时用 放大镜给予鼓励和肯定,有时一个点头一个微笑,有时则当 头棒喝;时常对中等生作出一些发展性、进步性评价,来激发他们的学习热情。 总之,帮助“中等生”走出“描红”的困境,帮助“中等生”决胜高考,立足于“课堂 革命” ,积极培养富有创新精神的人才,这是我们每一个数学教师的职责和使命,我们必须 为之而长期努力。

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