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2013高考数学二轮复习专题演练4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质


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2013 高考数学二轮复习专题演练

4.2
一、选择题

解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
( )

1.(2010· 安徽)双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 A.? 2 ? 2 ? ,0? B.? 5 ? 2 ? ,0? C.? 6 ? 2 ? ,0? D.( 3,0)

x2 y2 解析:∵原方程可化为 - =1,a2=1, 1 1 2 1 3 b2= ,c2=a2+b2= , 2 2 ∴右焦点为? 答案:C x2 y2 2.(2010· 天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个 a b 焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 x2 y2 A. - =1 36 108 x2 y2 C. - =1 108 36 x2 y2 B. - =1 9 27 x2 y2 D. - =1 27 9 ( ) 6 ? . ? 2 ,0?

b 解析:∵渐近线方程是 y= 3x,∴ = 3.① a ∵双曲线的一个焦点在 y2=24x 的准线上, ∴c=6.② 又 c2=a2+b2,③ 由①②③知,a2=9,b2=27, x2 y2 此双曲线方程为 - =1. 9 27 答案:B

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4.(2010· 辽宁)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l, A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|= A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 ( )

解析:解法一:AF 直线方程为: y=- 3(x-2), 当 x=-2 时,y=4 3,∴A(-2,4 3). 当 y=4 3时代入 y2=8x 中,x=6, ∴P(6,4 3), ∴|PF|=|PA|=6-(-2)=8.故选 B.

解法二:∵PA⊥l,∴PA∥x 轴. 又∵∠AFO=60° ,∴∠FAP=60° , 又由抛物线定义知 PA=PF, ∴△PAF 为等边三角形. 又在 Rt△AFF′中,FF′=4,
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∴FA=8,∴PA=8.故选 B. 答案:B 5.高 8 m 和 4 m 的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距 10 m,则地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点的轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ( )

解析:如图 1,假设 AB、CD 分别为高 4 m、8 m 的旗杆,P 点为地面上观察两旗杆 BA DC 顶端仰角相等的点,由于∠BPA=∠DPC,则 Rt△ABP∽Rt△CDP, = ,从而 PA PC PC=2PA.在平面 APC 上,以 AC 为 x 轴,AC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系(图 2),则 A(-5,0),C(5,0),设 P(x,y),得 ?x-5?2+y2=2 ?x+5?2+y2 50 化简得 x2+y2+ x+25=0,显然,P 点的轨迹为圆. 3

答案:A 二、填空题

1 解析:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则 c<b?c2<b2=a2-c2?e2< ,又 2 e∈(0,1),所以 e∈?0,

?

2? . 2?

答案:?0,

?

2? 2?

7.(2010· 浙江)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在 抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. p p 解析:F?2,0?,则 B?4,1?, ? ? ? ? p ∴2p× =1,解得 p= 2. 4 ∴B? 2 2 3 2 2 ? ,因此 B 到该抛物线的准线的距离为 + = . 4 2 4 ? 4 ,1?

3 2 答案: 4 x2 y2 x2 y2 8.(2010· 北京)已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点与椭圆 + =1 的焦点相同, a b 25 9
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那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________. x2 y2 解析:∵椭圆 + =1 的焦点为(± 4,0),∴双曲线的焦点坐标为(± 4,0), 25 9 c ∴c=4, =2,c2=a2+b2, a ∴a=2,b2=12, x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1, 4 12 b ∴渐近线方程为 y=± x=± 3x, a 即 3x± y=0. 答案:(± 4,0) 3x± y=0

a2 3c 3c 3c2 即 xD= ,由椭圆的第二定义得|FD|=e? c - 2 ?=a- .又由|BF|=2|FD|,得 a= ? ? 2 2a 3c2 2a- ,整理得 a2=3c2, a 1 3 即 e2= ,解得 e= . 3 3 答案: 3 3

三、解答题 4 2 10.已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 5和 5, 3 3 过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程. x2 y2 y2 x2 解:解法一:设椭圆的标准方程是 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0),两个焦点 a b a b x2 y2 分别为 F1、F2,则由题意,知 2a=|PF1|+|PF2|=2 5,∴a= 5.在方程 2+ 2=1 a b
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b2 y2 x2 b2 b2 2 中,令 x=± c,得|y|= .在方程 2+ 2=1 中,令 y=± c,得|x|= .依题意知 = 5, a a b a a 3 10 x2 3y2 y2 3x2 ∴b2= .即椭圆的方程为 + =1 或 + =1. 3 5 10 5 10 解法二:设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2, 则|PF1|= 4 5 2 5 ,|PF2|= . 3 3

由椭圆的定义,知 2a=|PF1|+|PF2|=2 5,即 a= 5. 由|PF1|>|PF2|知,PF2 垂直于长轴. 故在 Rt△PF2F1 中,4c2=|PF1|2-|PF2|2= 5 10 ∴c2= ,于是 b2=a2-c2= . 3 3 x2 3y2 又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上,也可以在 y 轴上,故所求的椭圆方程为 + 5 10 3x2 y2 =1 或 + =1. 10 5 11.(2010· 湖北)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A、B 的任一直线, →→ 都有FA· <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. FB 解:(1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足 ?x-1?2+y2-x=1(x>0), 化简得 y2=4x(x>0). (2)设过点 M(m,0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).
?x=ty+m, ? 设 l 的方程为 x=ty+m,由? 2 得 ? ?y =4x

60 , 9

y2-4ty-4m=0,
? ?y1+y2=4t, Δ=16(t2+m)>0,于是? ?y1y2=-4m. ?



→ → 又FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2), →→ FA· <0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0. FB ②

2 2 y1 y2 y2 y2 y2 ?y1y2?2 1 2 1 又 x= ,于是不等式②等价于 · +y1y2-? 4 + 4 ?+1<0? +y1y2- [(y1+ ? ? 4 4 4 16 4

y2)2-2y1y2]+1<0, 由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2,

③ ④

对任意实数 t,4t2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2-6m+1<0,
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即 3-2 2<m<3+2 2. 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直 →→ 线,都有FA· <0,且 m 的取值范围是(3-2 2,3+2 2). FB y2 x2 5 12.(2009· 陕西,21)已知双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),离心率 e= ,顶点 a b 2 2 5 到渐近线的距离为 . 5 (1)求双曲线 C 的方程; (2)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两 → → 条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若AP=λPB,λ∈

?1,2?,求△AOB 面积的取值范围. ?3 ?
2 5 解:解法一:(1)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到渐近线 ax-by=0 的距离为 , 5 ∴ ab 2 5 ab 2 5 2 2= 5 ,即 c = 5 . a +b ab 2 5 = , c 5

? 由? c 5 = , a 2 ?c =a +b
2 2

?a=2, ? 得?b=1, ?c= 5, ?

2

y2 ∴双曲线 C 的方程为 -x2=1. 4 (2)由(1)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=± 2x. 设 A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0. → → → ?m-λn,2?m+λn??, 由AP=λPB=λPB得 P 点的坐标为? 1+λ ? ? 1+λ ? y2 将 P 点坐标代入 -x2=1, 4 ?1+λ?2 化简得 mn= , 4λ π 设∠AOB=2θ,∵tan?2-θ?=2, ? ? 1 4 ∴tan θ= ,sin 2θ= . 2 5 又|OA|= 5m,|OB|= 5n, 1 ∴S△AOB= |OA|· sin 2θ |OB|· 2

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1 1 =2mn= ?λ+λ ?+1. ? 2? 1 1 1 记 S(λ)= ?λ+λ?+1,λ∈?3,2?, ? ? ? 2? 1 1 则 S′(λ)= ?1-λ2?. ? 2? 由 S′(λ)=0 得 λ=1,又 S(1)=2, 1 8 9 S?3?= ,S(2)= , ? ? 3 4 1 8 ∴当 λ=1 时,△AOB 的面积取得最小值 2,当 λ= 时,△AOB 的面积取得最大值 .∴△ 3 3 8 AOB 面积的取值范围是?2,3?. ? ? 解法二:(1)同解法一. (2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m, 由题意知|k|<2,m>0.
? ?y=kx+m, 由? ? ?y=2x

m 2m 得 A 点的坐标为?2-k,2-k?, ? ?
?y=kx+m ? ? -m , 2m ?. 由? ,得 B 点的坐标为? ? ?2+k 2+k? ? ?y=-2x

→ → 由AP=λPB得 P 点的坐标为

? m ? 1 - λ ?, 2m ? 1 + λ ??, ?1+λ?2-k 2+k? 1+λ?2-k 2+k?? ? ?
y2 2 4m2 ?1+λ? 将 P 点坐标代入 -x =1 得 = . 4 λ 4-k2
2

设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m). m m 1 1 1 1 1 4m2 S△AOB=S△AOQ+S△BOQ= |OQ|· A|+ |OQ|· B|= m· A-xB)= m?2-k+2+k?= · 2 |x |x (x 2 2 2 2 ? ? 2 4-k 1 1 = ?λ+λ?+1. ? 2? 以下同解法一.

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