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高中数学人教B版必修四第一单元:1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)


1.3.2 学习目标 余弦函数、正切函数的图象与性质(一) 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质, 会求余弦函数的 周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系. 知识点一 余弦函数的图象 思考 如何快速作出余弦函数的图象? 梳理 余弦函数 y=cos x 的图象叫做余弦曲线. 知识点二 余弦函数的性质 思考 1 观察余弦曲线,余弦函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分 别为多少? 思考 2 当自变量 x 分别取何值时,余弦函数 y=cos x 取得最大值 1 和最小值-1?余弦函数 的周期性如何? 思考 3 观察余弦曲线,余弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?如何将 这些单调区间进行整合? 梳理 正弦函数、余弦函数的图象、性质对比 函数 y=sin x y=cos x 图象 定义域 值域 奇偶性 周期性 最小正周期:______ 最小正周期:______ 在__________________ 上单调递增; 在____________________上单调递增; 单调性 在____________________上单调递减 在________________时,ymax=1;在 ____________时,ymin=-1 在________________上单调递减 在 ________________ 时, ymax = 1 ;在 ____________时,ymin=-1 最值 知识点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性 思考 1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性,你有什么发现? 思考 2 上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质?如何从理论上加以验证? 梳理 正弦函数 y=sin x(x∈R)和余弦函数 y=cos x(x∈R)的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲 线.它们的图象如图所示: 研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论: (1)正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为(kπ,0)(k∈Z),且正弦曲线是轴对称 π 图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ+ (k∈Z). 2 π ? (2)余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是? ?kπ+2,0?(k∈Z);余弦曲线是轴对 称图形,其所有的对称轴方程是 x=kπ(k∈Z). 类型一 求余弦函数的单调区间 π x? 例 1 求函数 y=3cos? ?3-2?的单调递增区间. 反思与感悟 确定函数 y=Acos(ωx+φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将 ωx+φ 看 作一个整体,利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若 x 的系数为负,通 常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域. 1 ?π x ? 跟踪训练 1 求函数 y=log cos? - ?)的单调递增区间. 2 ?3 2? 类型二 余弦函数的值域或最值 π 2π? 例 2 求函数 y=3cos2x-4cos x+1,x∈? ?3, 3 ?的值域. 反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型: (1)将三角函数式化为 y=Acos(ωx+φ)+k 的形式,结合有界性求最值. (2)将三角函数式化为关于 cos x(或 sin x)的二次函数的形式, 利用二次函数的性质和有界性求 最值. π? ? π? 跟踪训练 2 已知函数 y=acos? ?2x+3?+3,x∈?0,2?的最大值为 4,求实数 a 的值. 类型三 余弦函数的对称性 2π? 例 3 已知函数 y=2cos?


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