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二倍角公式




级:高 一

辅导科目:数 学 学科教师:

学员姓名:

T (简单的三角恒等变
授课类型

T(三角恒等变换在 三角函数中的应用) ★★★

T(三角恒等变换在 三角函数中的应用(历 年高考真题)) ★★★

换)
星级 授课日期及时段

★★★
2014-5-

教学内容

T-简单的三角恒等变换

一、二倍角公式: sin 2a ? 2 sin a cos a
cos2a ? cos2 a ? sin 2 a ? 1 ? 2 sin 2 a ? 2 cos2 a ? 1
tan 2a ? 2 tan a 1 ? tan 2 a

从二倍角的余弦公式里面可得出 1 ? cos 2a 降幂公式: cos 2 a ? , 2

sin 2 a ?

1 ? cos 2a 2

1

半角公式(可由降幂公式推导出) :

sin

a 1 ? cos a a 1 ? cos a sin a 1 ? cos a a 1 ? cosa ?? , cos ? ? , tan ? ? ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos a 1 ? cos a sin a

? ? ? 1 ? ? ? 3 - <?<0 , cos( ? ? ) ? , 例 1、 (2011 浙江理)若 0<?< , , 则 cos(? ? ) ? cos( ? ) ? 2 2 4 3 2 4 2 3 ( ) 3 3 5 3 6 (A) (B) ? (C) (D) ? 3 3 9 9

T-三角恒等变换在三角函数中的应用

知识点概括:异名函数化为同名函数及降幂来求函数的单调区间、最值、周期等 引入辅助角: a sin x ? b cos x 可化为 a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ,这里辅助角 ? 所在的象限由 a , b 的符号 确定, ? 角的值由 tan ? ?
b a ? b2
2

b a 确定。 ( y ? a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ?) , 其中 cos ? ? , a a 2 ? b2

sin ? ?

1 例 1、化简 sin 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? cos 2 ? ? cos 2? cos 2? 。 2

2

? 例 2、已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ), x ? R .
2

(I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 的的最大值和最小值; (III)若 f (? ) ? ,求 sin 2? 的值.
3 4

巩固练习:
sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 1、求函数 f ( x) ? 的最小正周期,最大值和最小值。 2 ? sin 2 x

3

x x x 2、(2012 陕西)已知函数 f ( x) ? 2sin cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最值; π? ? (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3? ?

T-三角恒等变换在三角函数中的应用(历年高考真题)
f ( x) ? sin 2 (2 x ? ) 4 的最小正周期是 1、(浙江卷 12)函数

?

1 2、 (.2013 年上海高考数学试题)若 cos x cos y ? sin x sin y ? ,则 cos ? 2x ? 2 y ? ? ________. 3

4

? ? ? 3、 (2008 安徽文、理)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 ? ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [ ? , ] 上的值域 12 2

4、 (2013 年高考湖南)已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。 (1) 求 f (
2? ) 错误!未找到引用源。的值; 3
5

(2) 求使错误!未找到引用源。 f ( x) ?

1 成立的 x 的取值集合 4

5、 (2013 年高考山东卷(文) )设函数 f ( x) ?

3 ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) ,且 y ? f ( x) 2

的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值 (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? ,
3? ] 上的最大值和最小值 2

?
4

,

b. 6、 (2013 年高考陕西卷)已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a·

1 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期.
? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ? ? 0, 2 ? 上的最大值和最小值. ? ?

?

6

1 f x) ? (2 cos 2 x ? 1) sin 2 x ? cos 4 x . 7、 (2013年高考北京卷(文) )已知函数 ( 2
f x) (I)求 ( 的最小正周期及最大值;

? 2 (II)若 ? ? ( , ? ) ,且 ( ,求 ? 的值. f ?) ? 2 2

x x x 8、(2008 陕西理)已知函数 f ( x) ? 2sin cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最值; π? ? (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3? ?

7

? ? ? 9、 (2008 安徽文、理)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 ? ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [ ? , ] 上的值域 12 2

8

9


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