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2013贵阳二模贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试二文科数学试题答案


贵州省贵阳市 2013 年高三适应性监测考试(二)

贵阳市 2013 年高三适应性监测考试(二)

文科数学参考答案与评分建议
2013 年 5 月 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 A 5 D 6 B 7 B 8 C 9 B 10 A 11 B 12 C

二、填空题 (13) ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 三、解答题 (17)解: (I)设公差为 d ,则有 ? (14) 0 或 2 (15)

1 2

(16)

5 ? (或150o ) 6

? 2a1 ? 4d ? 14 ?2a1 ? 4d ? 14 ,即 ? ??????2 分 ?7 a1 ? 21d ? 70 ?a1 ? 3d ? 3

解得 ?

? a1 ? 1 ?d ? 3

????????????????????????4 分

所以 an ? 3n ? 2 .???????????????????????6 分

n 3n2 ? n (II) Sn ? [1 ? (3n ? 2)] ? 2 2
所以 bn ?

????????????8 分

3n2 ? n ? 48 48 48 ? 3n ? ? 1≥ 2 3n ? ? 1 ? 23 n n n
48 ,即 n ? 4 时取等号, n

??????10 分

当且仅当 3n ?

故数列 {bn } 的最小项是第 4 项,该项的值为 23 .?????????12 分

(18)方法一: (I)证明:取 DC 中点 S ,连接 AS , GS , GA ∵ G 是 DF 的中点, GS // FC , AS // CM ∴面 GSA // 面 FMC ,而 GA ? 平面 GSA , ∴ GA // 平面 FMC ?????????6 分

F

E

G
D
A M B

C

方法二: (Ⅰ)证明:取 FC 中点 N ,连接 GN , MN ∵ G 是 DF 中点

1 CD 2 1 又∵ AM ∥ CD 且 AM ? CD 2 ∴ AM ∥ GN 且 AM ? GN ∴ AMNG 是平行四边形 ∴ AG ∥ MN 又∵ MN ? 平面 FCM ∴ AG ∥平面 FMC ?????????6 分
∴ GF ∥ CD 且 GN ? (II)设三棱柱 ADF ? BCE 的体积为 V ,多面体 F ? ADM 与多面体 DMFEBC 的体积分别 是 V1 , V2 , AM ? x . 由题意得,

1 1 V ? ( DA ? DF ) ? AB ? ( a ? a) ? 2a ? a 3 , 2 2 1 1 1 V1 =VM ? ADF ? ( DA ? DF ) ? x ? a 2 x , 3 2 6 1 V2 =V ? V1 ? a 3 ? a 2 x . ????????????????9 分 6
因为 V2 ? 3V1 所以 a ?
3

1 2 1 3 a x ? 3 ? a 2 x ,解得 x ? a . 6 6 2
????????????????12 分

3 a AM 所以 ? ? ? 2 ? 3. BM 2a ? 3 a 2
(19)解:

(Ⅰ) 第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 , 所以高为 率直方图如下:

0.3 ? 0.06 . 频 5

??????2 分

第一组的人数为

120 200 ? 200 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 n ? ? 1000 .??4 分 0.6 0.2

由 题 可 知 , 第 二 组 的 频 率 为 0.3 , 所 以 第 二 组 的 人 数 为 1000 ? 0.3 ? 300 , 所 以

p?

195 ? 0.65 . 300

3 5 1 ? 1 第 四 组 的 频 率 为 0 . 0 ? ? 0 . ,5所 以 第 四 组 的 人 数 为 1 0 0 0 0 . ? 5 1 5 0 以 ,所 a ? 150 ? 0.4 ? 60 . ??????????????????6 分 (Ⅱ)因为 [40, 45) 岁年龄段的“低碳族”与 [45,50) 岁年龄段的“低碳族”的比值为 60 : 30 ? 2 :1 ,所以采用分层抽样法抽取 6 人, [40, 45) 岁中有 4 人, [45,50) 岁中有 2

人. ??????????????????8 分 设 [40, 45) 岁中的 4 人为 a 、 b 、 c 、 d , [45,50) 岁中的 2 人为 m 、 n ,则选取 2 人作为 领队的有 ( a, b) 、 ( a, c) 、 ( a , d ) 、 ( a , m ) 、 ( a, n) 、 (b, c) 、 (b, d ) 、 (b, m ) 、 (b, n) 、 (c, d ) 、 (c, m ) 、c, n) 、d , m) 、d , n) 、 m, n) , 15 种; ( ( ( ( 共 其中恰有 1 人年龄在 [40, 45) 岁的有 ( a , m ) 、 ( a, n) 、 (b, m ) 、 (b, n) 、 (c, m ) 、 (c, n) 、 (d , m) 、 ( d , n) , 共 8 种. ??????????????????10 分 所 以 选 取 的 2 名 领 队 中 恰 有 1 人 年 龄 在 [40, 45) 岁 的 概 率 为

P?

8 . 15

????????????????????????12 分

(20)解: (Ⅰ)依题意:

3 ?1 a2

∴a ?

3.

??????????????2 分

由e ?
2

c 6 ,得 c ? 2 . ? a 3
2 2

??????????????????4 分

∴ b ? a ? c ? 1. ???????????????????????5 分

∴所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 .??????????????????6 分 3

(Ⅱ)设 M , N 坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得:

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k m x 3(m2 ? 1) ? 0 ?
∴ ? ? 36k 2 m 2 ? 12(3k 2 ? 1)(m2 ? 1) ? 0 (*) ????????????8 分

x1 ? x 2 ? ?

6km 3k 2 ? 1 6km ?2 3k 2 ? 1

要令 P(1, n) 为 M , N 中点,则 x1 ? x2 ? 2 ,∴ ?

?k ? 0

∴m ? ?

3k 2 ? 1 3k

代入(*)得,

(3k 2 ? 1) (3k 2 ? 1) 36k ? ? 12(3k 2 ? 1)[ ? 1] ? 0 9k 2 9k 2
2

2

2

??????????10 分

(3k 2 ? 1) ? 3 ?

(3k 2 ? 1) 2 ? 9k 2 ?0 9k 2

(3k 2 ? 1) ?

9k 4 ? 3k 2 ? 1 ?0 3k 2

9k 4 ? 3k 2 9k 4 ? 3k 2 ? 1 ? ?0 3k 2 3k 2
6k 2 ? 1 ? 0
∴k ?

6 6 或k ? ? . 6 6 6 6 )?( , ? ?) .??????????????12 分 6 6
2 2 , f ' ? x ? ? 2 ? 2 , f ' ?1? ? 4 ,切点坐标为 ?1,0? , x x
??????????? 4 分

∴ k 的取值范围是 (??, ? (21)解:

(Ⅰ) m ? 2 时, f ? x ? ? 2 x ?

? 切线方程为 y ? 4 x ? 4

(Ⅱ) m ? 1 时,令 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?
2

1 ? 2 ln x , x

1 2 ? x ? 1? h '( x) ? 1 ? 2 ? ? ≥ 0 ,? h?x ? 在 ?0,??? 上为增函数. ??6 分 x x x2
又 h?e ? ? h? ? ? ?( ? e ? 2) ? 0 ,

?1? ?e?

1 e

2

? y ? h?x ? 在 ?0,??? 内有且仅有一个零点 ? 在 ?0,??? 内 f ( x) ? g ( x) 有且仅有一个实数根. ???????8 分
(或说明 h(1) ? 0 也可以) (Ⅲ) mx ?

m ? 2 ln x ? 2 恒成立, 即 m x 2 ? 1 ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立, x 2 x ? 2 x ln x 2 又 x ? 1 ? 0 ,则当 x ? ?1, e? 时, m ? 恒成立,???10 分 x2 ?1 2 x ? 2 x ln x 令 G ?x ? ? ,只需 m 小于 G ?x ? 的最小值, x2 ?1

?

?

G' ?x ? ?

? 2( x 2 ln x ? ln x ? 2)

?x

2

?1

?

2



Q 1 ? x ≤ e ,? ln x ? 0 ,? 当 x ? ?1, e? 时 G' ?x ? ? 0 ,

? G?x ? 在 ?1, e? 上单调递减,? G?x ? 在 ?1, e? 的最小值为 G ?e ? ?
则 m 的取值范围是 ? ? ?,

4e , e ?1
2

? ?

4e ? ?. e ?1?
2

?????????? 12 分

(22)证明: (Ⅰ)如图,连接 OC, Q OA ? OB, CA ? CB,?OC ? AB

Q OC 是圆的半径, ? AB 是圆的切线.

?????????3 分

(Ⅱ) ED 是直径,??ECD ? 90?,??E ? ?EDC ? 90? 又 ?BCD ? ?OCD ? 90?, ?OCD ? ?ODC,??BCD ? ?E, 又?CBD ? ?EBC ,

? ?BCD ∽ ?BEC ,?

BC BD ? ? BC 2 ? BD ? BE , BE BC

?????????5 分

CD 1 ? , EC 2 BD CD 1 ?BCD : ?BEC , ? ? BC EC 2 tan ?CED ?
2

?????????????????7 分
2

设 BD ? x, 则BC ? 2 x, Q BC ? BD ? BE ?(2x) ? x( x ? 6) ? BD ? 2 ????9 分

? OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5 .?????????????????10 分
2 (23)解: (Ⅰ)圆 O : ? ? cos ? ? sin ? ,即 ? ? ? cos? ? ? sin ?

圆 O 的直角坐标方程为: x ? y ? x ? y ,即 x ? y ? x ? y ? 0
2 2 2 2

???3 分

直线 l : ? sin(? ?

?
4

)?

2 ,即 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 2
????5 分 ????8 分

则直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0

? x2 ? y2 ? x ? y ? 0 ?x ? 0 (Ⅱ)由 ? 得? ?x ? y ?1 ? 0 ?y ?1
故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 (1,

?
2

)

????10 分

x ≤ 2, ??3, ? (24)解: (Ⅰ) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ≥ 5. ?
当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. 所以 ?3 ≤ f ( x) ≤ 3. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 当 x ≤ 2时, f ( x) ≥ x2 ? 8x ? 15 的解集为空集; 当 2 ? x ? 5时, f ( x) ≥ x2 ? 8x ?15的解集为 x | 5 ? 3 ≤ x ? 5} ; { 当 x ≥ 5时, f ( x) ≥ x2 ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ≤ x ≤ 6} . { 综上,不等式 f ( x) ≥ x2 ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ? 3 ≤ x ≤ 6}. { ????10 分 ??????5 分


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