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武汉大学大一上学期高数期末考试题


高数期末考试 一、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
已知 cos x cos x 是 f ( x ) 的一个原函数 , 则? f ( x ) ? dx ? x x .

13. 求 微 分 方 程 xy? ? 2 y ? x ln x 满 足
解.

y(1) ? ?

1 9的

四、 解答题(本大题 10 分) 14. 已知上半平面内一曲线 y ? y( x) ( x ? 0) ,过点 (0,1) , 且曲线上任一点 M ( x0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲 线与 x 轴、 y 轴、直线 x ? x0 所围成面积的 2 倍与该点纵 坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题 10 分)

1.

2.

n??

lim
1 2

?
n
2

(cos 2

?
n

? cos 2

2? n ?1 ? ? ? cos 2 ?) ? n n
.

3. . 二、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)
1? x 设? ( x ) ? ,? ( x ) ? 3 ? 33 x,则当x ? 1时(   ) 1? x 4. . (A) ? ( x)与? ( x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小;
(B) ? ( x)与? ( x) 是等价无穷小; (C)? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小; 是比 ? ( x) 高阶的无穷小. (D)? ( x)

1 - 2

?

x arcsin x ? 1 1 ? x2

dx ?

15. 过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线,该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围成平面图形 D.
求 D 的面积 A; 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所 (2) 得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) (1)

16. 设函数 f ( x ) 在 ? 0,1? 上连续且单调递减,证明对任意的
q ? [0, 1] , 0

? f ( x ) d x ? q ? f ( x )dx
0

q

1

.

? 17. 设函数 f ( x ) 在 ?0, ? ? 上 连 续 , 且 0 ?
0

?

f ( x) d x ? 0


?

f ( x ) cos x dx ? 0

5.
设f ( x ) ? cos x( x ? sin x ), 则在x ? 0处有( . (A) f ?(0) ? 2 (B) f ?(0) ? 1 (C) f ?(0) ? 0 (D) f ( x ) 不可导.

.证明:在 ?0, ? ? 内至少存在两个

  ) 不 同 的 点 ? 1 , ? 2 , 使 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0. ( 提 示 : 设

F ( x) ?

?
0

x

f ( x )dx


6. 若

F ( x) ? ? (2t ? x) f (t )dt
0

x

, 其中 f ( x ) 在区间上 (?1,1)

二阶可导且 f ?( x ) ? 0 ,则( ). (A)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极大值; (B)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极小值; (C) 函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值,但点 (0, F (0)) 为曲线 y ? F ( x) 的拐点; (D) 函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值,点 (0, F (0)) 也不是曲 线 y ? F ( x) 的拐点。

7.

设f ( x )是连续函数,且 f ( x ) ? x ? 2? f (t )dt , 则 f ( x ) ? (
0

1

)

x2 (A) 2

x2 ?2 (B) 2 (C) x ? 1

(D) x ? 2 .

8. 三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) x? y 9. 设 函 数 y ? y( x ) 由 方 程 e ? sin( xy ) ? 1 确 定 , 求
y?( x ) 以及 y?(0) .
1 ? x7 求? dx. x (1 ? x 7 ) 10. ? xe ? x,  x ? 0 1 ? 设f ( x ) ? ?  求 ? f ( x )dx . ?3 2 ? 2x ? x , 0 ? x ? 1 ? 11.
0 12. 设 函 数 f (x ) 连 续 , , 且 f ( x) lim ?A x ?0 x , A 为 常 数 . 求 g?( x ) 并 讨 论 g?( x ) 在

g ( x ) ? ? f ( xt )dt

1

x ? 0 处的连续性.

解答
一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) ? 1 cos x 2  ( ) ?c e6 2 . 5. . 6. 2 x .7.

C1 ?

2 1 , C2 ? 3 3 y? 2 ?x 1 2x e ? e 3 3

故所求曲线方程为: 五、解答题(本大题 10 分)

?
3 8. . 三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) 9. 解:方程两边求导 ?( e x ? y ( 1? y? ? c oxy ( xy) ? y ? ) 0 ) s
e ? y cos( xy ) e x ? y ? x cos( xy ) x ? 0, y ? 0 , y?(0) ? ?1 y ?( x ) ? ?
7 7 x6 10. 解: u ? x    dx ? du 1 (1 ? u) 1 1 2 原式 ? ? du ? ? ( ? )du 7 u(1 ? u) 7 u u?1 1 ? (ln | u | ?2ln | u ? 1 |) ? c 7 1 2 ? ln | x 7 | ? ln | 1 ? x 7 | ? C 7 7

15. 解: (1)根据题意,先设切点为 ( x 0 , ln x 0 ) ,切线方程: 1 y ? ln x 0 ? ( x ? x0 ) x0 由于切线过原点,解出 x 0 ? e ,从而切线方程为:
A ? ? (e y ? ey)dy ?
1

y?

1 x e

x? y

0 则平面图形面积 (2)三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1,则 1 V1 ? ? e 2 3 曲线 y ? ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一 周所得旋转体体积为 V2

1 e ?1 2

V 2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy
0

1

D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积
2

11. 解: ??3
0

1

f ( x )dx ? ? xe dx ? ?
?x ?3

0

1

0

2 x ? x dx

? ? xd (?e ? x ) ? ?
?3
0

1

0

1 ? ( x ? 1)2 dx
0 2

6 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 12 分) 16. 证 明

V ? V1 ? V2 ?

?

(5e 2 ? 12e ? 3)



? ? ? xe ? x ? e ? x ? ? ? ? cos 2 ? d?   x ? 1 ? sin ? ) (令 ? ? ?3 ?

?
0

q

f ( x) d x ? q ? f ( x)dx
0
q q 1

1

4 12. 解:由 f (0) ? 0 ,知 g(0) ? 0 。

?

?

? 2e 3 ? 1

? ? f ( x) d x ? q ( ? f ( x) d x ? ? f ( x )dx)
0 q 0 1 q

g ( x ) ? ? f ( xt )dt ?
0
x

1

xt ? u

?
0

x

f ( u )du x
(x ? 0 )

? (1 ? q ) ? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx
0 q

?1?[0, q ]?2 ?[ q ,1]

?

q(1 ? q) f (?1 ) ? q(1 ? q) f (?2 )
1

f (?1 ) ? f (?2 )

?

0

g ?( x ) ?

xf ( x ) ? ? f ( u)du x
x 0 0 2

故有:
( x ? 0)

? f ( x ) d x ? q ? f ( x )dx
0 0

q

证毕。

g?(0) ? lim
x ?0

? f (u)du
x
2

17.
f ( x) A ? lim ? x ?0 2 x 2
x 0 2

F ( x) ?

lim g ?( x ) ? lim
x ?0 x ?0

xf ( x ) ? ? f ( u)du x

? A?

A A ? 2 2 , g?( x ) 在

x ? 0 处连续。
dy 2 ? y ? ln x 13. 解: dx x

证:构造辅助函数: 。其满足在 ?( x ) ? f ( x ) , 且 [0, ? ] 上 连 续 , 在 (0, ? ) 上 可 导 。 F F (0) ? F (? ) ? 0 由 题 设 , 有
0

? f (t )dt

x

,0? x??

0?

? f ( x ) cos xdx ? ? cos xdF( x ) ? F ( x ) cos x | ? ? sin x ? F ( x )dx
0 0 0 0

?

?

?

?

y?e

?

? x dx

2

(? e

? x dx

2



ln xdx ? C )

1 1 ? x ln x ? x ? Cx ?2 3 9 1 1 1 y( 1 ) ? C ? 0 y ? x ln x ? x ? , 3 9 9 , 四、 解答题(本大题 10 分)
14. 解:由已知且 , 将此方程关于 x 求导得 y ?? ? 2 y ? y ?
0

? F ( x ) sin xdx ? 0 有0 ,由积分中值定理,存在 ? ? (0, ? ) ,使 F (? ) sin? ? 0 即 F (? ) ? 0
综 上 可 知 F (0) ? F (? ) ? F (? ) ? 0, ? ? (0, ? ) . 在 区 间 [0, ? ] , [? , ? ] 上分别应用罗尔定理,知存在

?

y? ? 2 ? y d x ? y

x

? 1 ? (0, ? ) 和 ? 2 ? (? , ? ) , 使 F ?(? 1 ) ? 0 及 F ?(? 2 ) ? 0 , 即 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0 .

2 特征方程: r ? r ? 2 ? 0 解出特征根: r1 ? ?1, r2 ? 2. ?x 2x 其通解为 y ? C 1 e ? C 2 e

代 入 初 始 条 件 y(0) ? y ?(0) ? 1 , 得


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