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含参一元二次不等式的解法


复习回顾
判别式?=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 ax2+bx+c>0的解集 ax2+bx+c<0的解集 ax2+bx+c ≥ 0的解集 ax2+bx+c ≤ 0的解集

一元二次不等式的解法(a>0)

?>0
y x1 x2 x

??0
y x

?<0
y x

有两个相异的实根 有两个相等实根 没有实根 b x1 ? x2 ? ? x1,x2. (设x1<x2 )
2a

{x|x>x2或x<x1} {x|x1<x<x2}

b {x|x≠ ? } 2a
?
R

R ?
R ?

?x x ? x 或x ? x ?
2 1

?x x

1

? x ? x2 ?

b {x|x= ? } 2a

例题讲解
2 例1 解关于 x 的不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0? 分析: 因为 a ? 0 且 ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系 数的正负.

解: ? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0 ∴(1)当 a ? 0 时,原不等式变形为: ?x ? 2??x ? 3? ? 0 ∴当 a ? 0 时,原不等式解集为: ?x | x ? 2或x ? 3? ∴当 a ? 0 时,原不等式解集为:

∴(2)当 a ? 0 时,原不等式变形为: ?x ? 2??x ? 3? ? 0

?x | 2 ? x ? 3?

例题讲解
例2 解关于 x 的不等式: x 2 ? 5ax ? 6a 2 ?0 分析 : 此不等式 ? ? ?? 5a?2 ? 24a2 ? a2 ? 0 又不等式即为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 故只需比较两根 2 a 与 3a 的大小.

?x 解: 原不等式可化为: ? 2a ?( x ? 3a) ? 0
相应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为 x1 ? 2a, x2 ? 3a ∴(1)当 2a ? 3a 即 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x | x ? 2a或x ? 3a? (2)当 2a ? 3a 即 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?

? (3)当2a ? 3a,即a ? 0时,原不等式解集为x | x ? 0?

例题讲解
例3:解关于

x 的不等式: 2x
2

2

? kx ? k ? 0

分析:由于 x 的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号. 解:? ? ? k 2 ? 8k
(1)当 (2)当

原不等式解集为 ? k 2 ? 8k ? 0 即 ?8 ? k ? 0 时,
k 2 ? 8k ? 0 时得 k ? 0 或 k ? ?8

2 ∴(a)当 k ? 0 时,原不等式即为 2 x ? 0 ∴当 k ? 0 时,原不等式解集为 ? x x ? 0?

∴(b)当 k ? ?8时,原不等式即为 2 x 2 ? 8x ? 8 ? 0 当 k ? ?8 时,原不等式解集为 ? x x ? 2?
k 2 ? 8k ? 0 即 k ? 0 或 k ? ?8 时, (3)当

原不等式解集为

? ?k ? k 2 ? 8k ?k ? k 2 ? 8k ? ? ? ?x? ?x ? 4 4 ? ? ? ?

综上所述, (1)当 k ? ?8 时,不等式解集为
? ?k ? k 2 ? 8k ?k ? k 2 ? 8k ? ? ? x ?x? ? ? 4 4 ? ? ? ?

(2)当 k ? ?8 时,不等式解集为 ? x x ? 2? (3)当 ?8 ? k ? 0 时,不等式解集为
?

(4)当 k ? 0 时,不等式解集为 ? x x ? 0? (5)当 k ? 0 时,不等式解集为
? ?k ? k 2 ? 8k ?k ? k 2 ? 8k ? ? ? ?x? ?x ? 4 4 ? ? ? ?

综合训练
练习:解关于

x

的不等式:ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

解: (一)当 a ? 0 时, 原不等式即为 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1. (二)当 a ? 0 时, 原不等式变形为: (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 1 其解的情况应由对应的两根 与1的大小关系决定,故有: a 1 x ? 或x ? 1 (1)当 a ? 0 时,原不等式的解为: a (2)当
(a)当 (b)当 (c)当

a ? 0 时,有:
1 ?1 a 1 ?1 a
1 ?1 a

即 a ?1

1 时,原不等式的解为: a ? x ? 1

即 a ? 1 时,原不等式的解为: ?
1 1 即 0 ? a ? 1 时,原不等式的解为: ? x ? a

综上所述, (1)当 a ? 0 时,原不等式的解集为 (2)当 a ? 0 时,原不等式的解集为
? 1 ? x x ? 或x ? 1? ? a ? ?

? x x ? 1?
? 1? ?x 1 ? x ? ? a? ?

(3)当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 (4)当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ? (5)当 a ? 1 时,原不等式的解集为

? 1 ? ? x ? 1? ?x ? a ?

方法总结

? 若二次项系数含参;先讨论二次项系数的 三种情况 ? 再讨论根的存在的三种情况 ? 最后是根的大小的三种情况 注:由于实际问题的需要,可能只需讨论上 面的一类问题,但我们思维上必须要考虑 周全。

思考题
2 解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0.

思考

课堂小结
只是判断时要注意这里是字 母能否进行,要不要分类讨论
一、按二次项系数是否含参数分类: 当二次项系数含参数时,按 x 2 项的系数 号 分类,即分 二、按判别式 三种情况

a

的符

a ? 0, a ? 0, a ? 0

?

三种情况. 的符号分类,即分 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0
2

三、按对应方程 ax
分类,即分

? bx ? c ? 0

的根 x1 , x 2 的大小

x1 ? x 2 , x1 ? x 2 , x1 ? x 2 三种情况.
解法一样

该分类讨论就分类讨论!

作 业

1.解关于 x 的不等式

1 x ? (a ? ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a
2

mx2 ? 2(m ? 1) x ? 4 ? 0 2.解关于 x 的不等式:
3.关于一元二次方程的根的分布问题: 关于 x 的方程 x 2 ? (a 2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一根比 1 大, 另一根比 1 小,则( ) ( A) ? 1 ? a ? 1; ( B)a ? ?1 或 a ? 1 (C ) ? 2 ? a ? 1 ( D)a ? ?2 或 a ? 1

C


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