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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《3.1.1回归分析的基本思想及其初步应用》教案


§3.2 回归分析(2) 一.问题情境 1.情境:下面是一组数据的散点图,若求出相应的线性回归方程,求出的线性回归方程可 以用作预测和估计吗?
10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 系列1
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2.问题:思考、讨论:求得的线性回归方程是否有实际意义. 二.学生活动 对任意给定的样本数据,由计算公式都可以求出相应的线性回归方程,但求得的 线性回归方程未必有实际意义.左图中的散点明显不在一条直线附近,不能进行线性 拟合, 求得的线性回归方程是没有实际意义的; 右图中的散点基本上在一条直线附近, 我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系,但它们线性相关的程度如何,如何 较为精确地刻画线性相关关系呢? 这就是上节课提到的问题①,即模型的合理性问题.为了回答这个问题,我们需 要对变量 x 与 三.建构数学 1.相关系数的计算公式: 对于 x ,y 随机取到的 n 对数据 ( xi , yi ) 计算公式为

y 的线性相关性进行检验(简称相关性检验) .

(i ? 1, 2,3,?, n) , 样本相关系数 r 的

r?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x) ?? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? x y ? nx y
i ?1 i i

n


n i ?1

?

(? xi2 ? n( x)2 )(? yi2 ? n( y ) 2 )
i ?1

n

? 2?
2.相关系数 r 的性质:

(1) | r |? 1 ; (2) | r | 越接近与 1, x , (3) | r | 越接近与 0, x ,

y 的线性相关程度越强; y 的线性相关程度越弱.

可见,一条回归直线有多大的预测功能,和变量间的相关系数密切相关. 3.对相关系数 r 进行显著性检验的步骤: 相关系数 r 的绝对值与 1 接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢?这 需要对相关系数 r 进行显著性检验.对此,在统计上有明确的检验方法,基本步骤是: (1)提出统计假设 H 0 :变量 x ,

y 不具有线性相关关系;

(2)如果以 95% 的把握作出推断,那么可以根据 1 ? 0.95 ? 0.05 与 n ? 2 ( n 是 样本容量)在附录 2 (教材 P111)中查出一个 r 的临界值 r0.05(其中 1 ? 0.95 ? 0.05 称为检验水平) ; (3)计算样本相关系数 r ; (4)作出统计推断:若 | r |? r0.05 ,则否定 H 0 ,表明有 95% 的把握认为变量

y 与x

之间具有线性相关关系;若 | r |? r0.05 ,则没有理由拒绝 H 0 ,即就目前数据而言,没 有充分理由认为变量

y 与 x 之间具有线性相关关系.

说明:1.对相关系数 r 进行显著性检验,一般取检验水平 ?

? 0.05 ,即可靠程度为

95% .
2.这里的 r 指的是线性相关系数, r 的绝对值很小,只是说明线性相关程度低,不一 定不相关,可能是非线性相关的某种关系. 3.这里的 r 是对抽样数据而言的.有时即使 | r |? 1 ,两者也不一定是线性相关的.故 在统计分析时,不能就数据论数据,要结合实际情况进行合理解释. 4.对于上节课的例 1,可按下面的过程进行检验: (1)作统计假设 H 0 : x 与

y 不具有线性相关关系;

(2)由检验水平 0.05 与 n ? 2 (3)根据公式

? 9 在附录 2 中查得 r0.05 ? 0.602 ;

? 2 ? 得相关系数 r ? 0.998 ;

(4)因为

r ? 0.998 ? 0.602 ,即 r ? r0.05 ,所以有 95 ﹪的把握认为 x 与 y 之

间具有线性相关关系,线性回归方程为 ? ? 527.591 ?14.453x 是有意义的. y 四.数学运用 1.例题: 例 1. 下表是随机抽取的 8 对母女的身高数据,试根据这些数据探讨 母亲身高 x / cm 女儿身高

y 与 x 之间的关系.

154 155

157 156

158 159

159 162

160 161

161 164

162 165

163 166

y / cm

解:所给数据的散点图如图所示:由图可以看出,这些点在一条直线附近,





x ? ?1

5? ?

?4

?

1

?, 5

7 ?

? 1

y ? ?155 ? 156 ? ? ? 166? ? 8 ? 161 ,

?x
i ?1 8 i ?1

8

2 i

? 8( x)2 ? ?1542 ? ? ? 1632 ? ? 8 ?159.252 ? 59.5 , ? 8( y)2 ? ?1552 ? ? ? 1662 ? ? 8 ?1612 ? 116 ,

?y

2 i

? x y ? 8x y ?154 ?155 ? ? ? 163 ?166 ? ? 8 ?159.25 ?161 ? 80 ,
i ?1 i i

8

所以 r

?

80 59.5 ? 116
0.05


? 0.963,
n?2?6
,在附录

由检验水平

2

中查得

r0.05 ? 0.7 0 7, 因 为

0 . 9 6? 3

0.707 ,所以可以认为 x 与 y 之间具有较强的线性相关关系. 线性回归模型

? ? y ? a ? bx ? ? 中 a , b 的估计值 a, b 分别为

b?

? x y ? 8x y ?x
i ?1 i ?1 8 i i 2 i

8

?8 x

??

2

? 1.345,

? , a ? y ??b x? 5 3 . 1 9 1 ?



? y 对 x 的线性回归方程为 y ? ?53.191? 1.345x .

例 2.要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响,在高一年级学生 中随机抽取 10 名学生,分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下 表: 学生编号 入学成绩 x 高一期末成绩

1 63 65

2 67 78

3 45 52

4 88 82

5 81 92

6 71 89

7 52 73

8 99 98

9 58 56

10 76 75

y
(1)计算入学成绩 x 与高一期末成绩 (2)如果 x 与

y 的相关系数;

y 之间具有线性相关关系,求线性回归方程;

(3)若某学生入学数学成绩为 80 分,试估计他高一期末数学考试成绩. 解 : (1) 因 为

x?

1 ? ? 6 ? 3 ? ? ?6 10

? ?7



7

6

7

0

y?

1 ? ? 65 ? 78 ? ? ? 75 ? ? 76 , 10

Lxy ? ? ( xi ? x)( yi ? y) ? 1894 , Lxx ? ? ( xi ? x) ? 2474 ,
i ?1

10

10

2

i ?1

Lyy ? ? ( yi ? y )2 ? 2056 .
i ?1

10

因此求得相关系数为 r

?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

10

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

10

10

?
2

Lxy Lxx Lyy

? 0.840 .

结果说明这两组数据的相关程度是比较高的; 小结解决这类问题的解题步骤: (1)作出散点图,直观判断散点是否在一条直线附近; (2)求相关系数 r ; (3)由检验水平和 n ? 2 的值在附录中查出临界值,判断 相关关系;

y 与 x 是否具有较强的线性

? ? (4)计算 a , b ,写出线性回归方程.


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