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2013版高中数学全程学习方略配套课件:1.2.2解三角形的实际应用举例——高度、角度问题(人教A版必修5)


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【思考】

【点拨】

测量高度问题
【名师指津】解决测量高度问题的步骤:

【特别提醒】在解题中,要综合运用立体几何与平面几何

知识,注意方程思想的运用.

【例1】如图,测量河对岸的塔高AB时,
可以选与塔底B在同一水平面内的两个 测点C和D.现测得∠BCD=α ,∠BDC=β , CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ , 求塔高AB. 【审题指导】先利用三角形内角和定理求出∠CBD的度数, 再利用正弦定理求出BC的长,然后在Rt△ABC中求出AB,即 塔高.

【规范解答】在△BCD中,∠BCD=α,∠BDC=β, ∴∠CBD=180°-(α+β),
? BC s BC s ? ,即 ? . sin ? sin [180? ? ? ? ? ? ?] sin ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? s. sin(? ? ?)

? BC ?

在△ABC中,由于∠ABC=90°,
AB ? ? tan ?, BC ? AB ? BC?tan ? ? sin ??tan ? ? s. sin(? ? ?)

测量角度问题 【名师指津】解决测量角度问题的注意点:

(1)注意作图的准确性,通过积累、归纳,学会根据题目已知
的方向角、方位角、仰角、俯角等已知量顺利地作出图形. (2)注意数学思想方法的应用: ①化归与转化思想,即将实际问题抽象概括,转化为解三角形 的问题;

②方程思想,即在三角形中应用正、余弦定理列方程(组)
求解; ③函数思想,题目中涉及最值问题的往往需要考虑构建函数 解析式求最值. 【特别提醒】当一些题目的图形是空间立体图形时,除要作 好图外,还要发挥空间想象能力.

【例2】某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇 在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°,距离A为10海 里的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9海里/小 时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前 去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间. 【审题指导】解答本题的关键是设出相遇点,根据题意画出图形, 标出有关数据并恰当选择有关定理解三角形.

【规范解答】设舰艇与渔船在B点相遇. 如图,则AC=10海里,∠ACB=120°.设所需时间为t小时, 则AB=21t海里,CB=9t海里,

在△ABC中,根据余弦定理,得AB2=AC2+
BC2-2AC·BCcos120°,

即(21t)2=102+81t2+2×10×9t× ,
整理得,36t2-9t-10=0, 解得 t ? 2 或t ? ? 5 (舍去).
3 12

1 2

所以舰艇需要 2 小时靠近渔船.
3

此时AB=14海里,CB=6海里, 由正弦定理,得
6?
CB AB ? , sin ?CAB sin120?

? sin ?CAB ?

∴∠CAB≈21.8°,21.8°+45°=66.8°, ∴舰艇的航向是北偏东约66.8°.

3 2 ? 3 3, 14 14

【例】在海岛A上有一座海拔 1 km的山峰,山顶设有一个观 察站P.有一艘轮船按一固定方 向做匀速直线航行,上午11:00时,测得此船在岛北偏东15°,

俯角为30°的B处,到11:10时,又测得该船在岛北偏西45°,
俯角为60°的C处. (1)求船的航行速度; (2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离.

【审题指导】解决此题,可根据题目中的已知角,在△ABC中, 求出BC的长度,从而求出船的航行速度;作AD⊥BC于点D,船从 B到C行驶过程中与观察站P的最短距离为PD. 【规范解答】(1)如图所示,在Rt△PAB中,∠PBA=30°, ∴ AB ?
1 ? 3, tan 30?

同理,Rt△PCA中,
AC ? 1 3 ? . tan 60? 3

在△ACB中,∠CAB=15°+45°=60°,

∴由余弦定理得
BC ? ( 3) 2 ? ( 3 2 3 21 ) ? 2? 3 ? cos60? ? , 3 3 3

∴ BC ? 1 ? 6 ? 21 ? 2 21 (km/h),
6 3

∴船的航行速度为 2 21 km/h.

(2)方法一:作AD⊥BC于点D,∴当船行驶到点D时,AD最小,从 而PD最小. 此时,
AD ? AB?AC? sin 60? ? BC 3? 3 3 ? 3 2 ? 3 7, 14 21 3

3 259 ? PD ? 1 ? ( 7) 2 ? . 14 14

∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 259 km.
14

方法二:由(1)知在△ACB中,由正弦定理
3 3 ? AC BC 2 ? 21 . ? , ? sin ?ABC ? 3 sin ?ABC sin 60? 14 21 3

作AD⊥BC于点D,∴当船行驶到点D时,AD最小,从而PD最小.

此时, AD ? ABsin ?ABC ? 3 ? 21 ? 3 7,
∴ PD= 1 ? ( 3 7) 2 ? 259 .
14 14
14 14

∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为

259 km. 14

【典例】(12分)某兴趣小组测
量电视塔AE的高度H(单位:m), 如示意图,垂直放置的标杆BC的 高度h=4 m,仰角∠ABE=α , ∠ADE=β .该小组已测得一组α ,β 的值,算出了tanα =1.24, tanβ =1.20,请据此算出H的值. 【审题指导】根据题中的直角三角形,利用正切三角函数的定

义求解即可.

【规范解答】 H ? tan ? ? AD ? H ,

AD tan ? 同理: AB ? H ,BD ? h . …………………………4分 tan ? tan ? AD-AB=DB,故得 H ? H ? h , ………………… 6分 tan ? tan ? tan ? 解得: H ? h tan ? ? 4 ?1.24 ? 124. ………………10分 tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

………………2分

因此,算出的电视塔的高度H是124 m.………………12分

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.从A处望B处的仰角为α ,从B处望A处的俯角为β ,则α ,

β 的关系是(
(A)α >β


(B)α =β

(C)α +β =90°

(D)α +β =180°

【解析】选B.作出示意图知α=β.

2.如图所示,为测一树的高度, 在地面上选取A,B两点,从A、 B两点分别测得树尖的仰角为 30°,45°,且A,B两点间的距 离为60 m,则树的高度为( (A) (30 ? 30 3) m (C) (15 ? 30 3) m ) (B) (30 ? 15 3) m (D) (15 ? 15 3) m

【解析】选A.设树的高度为h,由题意可知 BP ? 2h, 在 △ABP中,由正弦定理得, BP ?
sin A AB , sin ?APB

2h 60 ? ? ,? h ? 30 ? 30 3 m. sin 30? sin ? 45? ? 30? ?

?

?

3.如图所示,海平面上的甲船 位于中心O的南偏西30°,与O 相距10海里的C处,现甲船以 30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20

海里的B处的乙船,甲船需要_______小时到达B处.

【解析】在△OBC中,由余弦定理,得
CB2=CO2+OB2-2CO·OBcos120°

=100+400+200=700,
∴CB= 10 7 (海里), 因此甲船到达B处需要的时间为 10 7 ? 7 (小时). 答案: 7
3
30 3

4.一艘轮船由海平面上的A地出发向南偏西40°的方向行驶40 海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地,则A、C两地相距______海里. 【解析】画出示意图可知△ABC为等边三角形,所以A、C两地相 距40海里.

答案:40

5.如图所示,港口A北偏东30°方向的点C处有一观测站, 港口正东方向的B处有一轮船,测得BC为31海里. 该轮船从 B处沿正西方向航行20海里后到达D处,测得CD为21海里.

问此时轮船离港口A还有多少海里?

【解析】由已知得∠CAD=60°,在△BCD中,由余弦定理
BD2 ? CD2 ? BC2 1 得 cos ?BDC ? ?? , 2 ? BD ? CD 7 故 sin ?BDC ? 1 ? cos 2 ?BDC ? 4 3 , 7

从而sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)
5 3 . 14 AD CD 在△ACD中,由正弦定理得 ? , sin ?ACD sin 60? 于是 AD ? CD ? sin ?ACD ? 15 (海里), sin 60?

=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°=

即此时轮船离港口A还有15海里.


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