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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章 2.2.1平面向量基本定理课件


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2.2.1

2.2.1
【学习要求】
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平面向量基本定理

1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.会用平面向量基本定理解简单的几何问题. 3.掌握直线的向量参数方程式,尤其是线段中点的向量表 达式. 4.掌握平面向量基本定理并能应用. 【学法指导】 1.对给定的向量a,实数λ1,λ2存在且唯一.实数λ1,λ2的唯 一性是相对于基底e1,e2而言的.

2.2.1

2. 只有是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底, 所 以基底的选取不唯一. 一旦选定一组基底, 则给定向量沿着
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基底的分解是唯一的. 3. 平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构, 即同一平面 内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表 示为其他两个不共线向量的线性组合. 4.这个定理体现了转化与化归思想,用向量解决几何问题时, 我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化 归,使问题得以解决.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.1

1.平面向量基本定理
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如果e1和e2是一平面内的两个

不平行 的向量,那么该平

面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a=

a1e1+a2e2 .
2.基底 把 不共线 向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底,记为{e1,e2}. a1e1+a2e2 叫做向量a关于基底{e1, e2}的分解式.

填一填·知识要点、记下疑难点
3.直线的向量参数方程式 已知 A、B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外

2.2.1

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一点(如图所示),对直线 l 上 任意 一点 P, → (1- 存在唯一的实数 t 满足向量等式OP= → → t)OA+tOB ,反之,对每一个实数 t,在直线 l 上都有 唯一 → → → (1-t)OA+tOB 的一个点 P 与之对应.向量等式OP= 叫做 直线 l 的向量参数方程式, 其中实数 t 叫做参变数, 简称 参数 . 4.线段中点的向量表达式 1 → → → 在向量等式OP=(1-t)OA+tOB中,若 t= , 则点 P 是 AB 的 2 1 → → → (OA+OB) 中点,且OP= 2 ,这是线段 AB 的中点的向量表 达式.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.2.1

探究点一
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平面向量基本定理的提出

(1)平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量 来表示.如图所示,e1,e2 是两个不共线的向量,试用 e1, → → → → → e2 表示向量AB,CD,EF,GH,HG,a.

通过观察,可得: → → → AB= 2e1+3e2 ,CD= -e1+4e2 ,EF= 4e1-4e2 → → GH= -2e1+5e2 ,HG= 2e1-5e2 ,a= -2e1 .



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2.2.1

(2)平面向量基本定理的内容是什么?什么叫基底?

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平面向量基本定理是指:如果 e1、e2 是同一平面内的两个

不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一 对实数 λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.这里不共线的向量 e1、e2 叫做 表示这一平面内所有向量的一组基底.

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探究点二 平面向量基本定理的证明

2.2.1

(1)证明定理中 λ1,λ2 的存在性. 如图,e1,e2 是平面内两个不共线的向量,
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a 是这一平面内任一向量,a 能否表示成 λ1e1+λ2e2 的形式,请通过作图探究 a 与 e1、e2 之间的关系.
→ → 答 在平面内任取一点 O, 作OA=e1, =e2, OB → OC=a, 过点 C 分别作平行于 OB, 的直线, OA → 交直线 OA 于点 M,交直线 OB 于点 N,有OM → → → → → → =λ1 OA,ON =λ2 OB,∵OC =OM +ON ,∴a =λ1e1+λ2e2,如图所示.

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(2)证明定理中 λ1,λ2 的唯一性.

2.2.1

如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线的向量,a 是和 e1、e2 共面的任一向量,且存在实数 λ1、λ2 使 a=λ1e1+λ2e2,证明 λ1,
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λ2 是唯一确定的.(提示:利用反证法)
答 假设存在另一组实数 λ′1,λ′2 也能使 a=λ′1e1+λ′2e2 成立,则 λ′1e1+λ′2e2=λ1e1+λ2e2.
∴(λ′1-λ1)e1+(λ′2-λ2)e2=0.
∵e1、e2 不共线,∴λ′1-λ1=λ′2-λ2=0, ∴λ′1=λ1,λ′2=λ2.

∴使 a=λ1e1+λ2e2 成立的实数对 λ1,λ2 是唯一的.

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探究点三 直线的向量参数方程的应用

2.2.1

(1)定义:若 P 在直线 AB 上(或 P、A、B 共线),则一定存在 → → 实数 t,使得 OP=(1-t)OA+tOB.
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(2)应用: 利用直线的向量参数方向可证明三点共线, 若点 A、 → → B、P 满足此方程式且OA与OB系数之和为 1,则 A、B、P → → 三点共线.反过来也成立,即若 A、B、P 共线,且OP=mOA → +nOB,则 m+n=1.

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例如,如图,设一直线上三点 A、B、P 满足 → → AP=λPB(λ≠-1),O 是平面上任一点,则 ( A )
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2.2.1

→ → → OA+λOB A.OP= 1+λ → → → OA+λOB B.OP= 1-λ → → → OA-λOB C.OP= 1+λ → → → OA-2λOB D.OP= 1-λ

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[典型例题]

2.2.1

例 1 已知 e1,e2 是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b =-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量 a 和 b 表示 c.
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解 ∵a,b 不共线, ∴可设 c=xa+yb, xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x 则 -2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又∵e1,e2 不共线, ?3x-2y=7, ? ∴? 解得 x=1,y=-2,∴c=a-2b. ?-2x+y=-4. ? 小结 选定基底之后,就要“咬定”基底不放,并围绕它做
中心工作,千方百计用基底表示目标向量.这有时要利用平 面几何知识.要注意将平面几何知识中的性质、结论与向量 知识有机结合,具体问题具体分析解决.

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跟 踪 训练 1 如 图所示 , 在 平 行四 边形

2.2.1

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ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点, → → → → 已知AM=c, =d, AN 试用 c, 表示AB, . d AD → → 解 设AB=a,AD=b, → → → → 1→ 1 则AM=AD+DM=AD+ AB= a+b, 2 2 1 → → → → 1→ AN=AB+BN=AB+2AD=a+2b
2 4 ?1 ? ?2a+b=c ?a=-3c+3d 由①②得? ,解得? ?a+1b=d ?b=4c-2d ? 2 ? 3 3 2 4 → → 4 2 即AB=-3c+3d,AD=3c-3d. ,

① ②

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例 2 如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB =2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点, → → → → 若AB=a,AD=b,试用 a、b 表示DC、BC、 → MN. 解 如图所示,连接 CN,则四边形 ANCD
是平行四边形. → → 1→ 1 则DC=AN= AB= a, 2 2 → → → → 1→ BC=NC-NB=AD-2AB 1 =b-2a,

2.2.1

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→ → → → 1→ MN=CN-CM=-AD- CD 2 → 1? 1 → ? 1 =-AD- ?-2AB?= a-b. 2? ? 4
小结

2.2.1

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用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基

底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时,首先仔细观察 所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理,结合平面向 量基本定理解决.

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跟踪训练 2 如图,已知△ABC 中,D 为 BC → 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若AB=a, → → → → AC=b,用 a、b 表示AD、AE、AF. → → → → 1→ 解 AD=AB+BD=AB+2BC 1 1 1 =a+2(b-a)=2a+2b; → → → → 1→ AE=AB+BE=AB+ BC 3 1 2 1 =a+3(b-a)=3a+3b; → → → → 2→ AF=AB+BF=AB+ BC 3 2 1 2 =a+3(b-a)=3a+3b.

2.2.1

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2.2.1 研一研·问题探究、课堂更高效 → 1→ → 1→ 例 3 如图,在△OAB 中,OC= OA,OD= OB,AD 与 BC 4 2 → → → 交于点 M,设OA=a,OB=b,以 a,b 为基底表示OM.
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→ 解 设OM=ma+nb (m,n∈R), → → → 则AM=OM-OA=(m-1)a+nb, 1 → → → 1 AD=OD-OA= b-a=-a+ b 2 2 m-1 n 因为 A,M,D 三点共线,所以 =1,即 m+2n=1. -1 2

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1? → → → ? 而CM=OM-OC=?m-4?a+nb,
? ?

2.2.1

1 1 → → → CB=OB-OC=b- a=- a+b, 4 4
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1 m- 4 n 因为 C,M,B 三点共线,所以 = ,即 4m+n=1. 1 1 - 4 1 ? ?m+2n=1 ?m=7 ? → 1 3 ? 由 ,解得? ,所以OM=7a+7b. ?4m+n=1 3 ? ?n= ? 7 小结 (1)充分挖掘题目中的有利条件,本题中两次使用三点共
线,注重方程思想的应用; (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础,应根据条件 灵活应用,熟练掌握.

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跟踪训练 3 如图所示, 已知△AOB 中, C 点 → → 是以 A 为中心的点 B 的对称点,OD=2DB, → → DC 和 OA 交于点 E,设OA=a,OB=b. → → (1)用 a 和 b 表示向量OC、DC; → → (2)若OE=λOA,求实数 λ 的值. → 2→ 解 (1)由题意,A 是 BC 的中点,且OD=3OB, → → → 由平行四边形法则,OB+OC=2OA. → → → ∴OC=2OA-OB=2a-b, 2 5 → → → DC=OC-OD=(2a-b)- b=2a- b. 3 3

2.2.1

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研一研·问题探究、课堂更高效

2.2.1

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→ → → → → (2)EC∥DC.又∵EC=OC-OE=(2a-b)-λa 5 → =(2-λ)a-b,DC=2a- b, 3 2-λ 1 4 ∴ = ,∴λ= . 2 5 5 3

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.2.1

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→ → 1. 已知 O、A、B 三点不共线,设OA=a,OB=b,且 P 为靠 → 近 A 点的线段 AB 的一个三等分点,则OP等于 ( B ) 1 2 2 1 A. a+ b B. a+ b 3 3 3 3 1 3 3 1 C. a+ b D. a+ b 4 4 4 4 → 1→ 解析 ∵AP=3AB, → → → → 1→ ∴OP=OA+AP=OA+ AB 3 → 1 → → =OA+ (OB-OA) 3 2→ 1→ 2 1 =3OA+3OB=3a+3b.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.2.1

2.设 e1、e2 是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1 与 e1+e2;②e1-2e2 与 e2-2e1;③e1-2e2 与 4e2-2e1;④e1
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+e2 与 e1-e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序

①②④ 号是________.(写出所有满足条件的序号)
解析 对于③4e2-2e1=-2e1+4e2 =-2(e1-2e2), ∴e1-2e2 与 4e2-2e1 共线,不能作为基底.

练一练·当堂检测、目标达成落实处
→ → → → 3.如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用 1 3 → → a,b 表示AD,则AD=________. 4a+4b → → → → 3→ 解析 AD=AB+BD=AB+4BC → 3 → → =AB+4(AC-AB) 1→ 3→ =4AB+4AC 1 3 =4a+4b.

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2.2.1

→ → 4. 已知 G 为△ABC 的重心,设AB=a,AC=b.试用 a、b 表 → 示向量AG.
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解 连接AG并延长,交BC于点D,则D为BC的中点, → 2→ 2 → → AG=3AD=3(AB+BD) 2 ?→ 1→? = ×?AB+2BC? 3 ? ? 2→ 1→ 2→ 1 → → =3AB+3BC=3AB+3(AC-AB) 1→ 1→ 1 1 = AB+ AC= a+ b. 3 3 3 3

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.2.1

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1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征: ①基底是两个不共线向量; ②基底 的选择是不唯一的. 平面内两向量不共线是这两个向量可以 作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一 向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式, 且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向 量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉 及的向量向基底化归,使问题得以解决.


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