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高考数学复习知识点分类指导3.


高考数学知识点分类指导 3
四、三角函数

1 3 ? sin10 sin 80
结果是

的值是______(答:4) ;(5)已知 tan110

0

? a ,求 tan 500 的值(用

a 表示)甲求得的结果是

a? 3 ,乙求得的 1 ? 3a

? 1、 ? 的终边与 6

的终边关于直线

y ? x 对称,则 ? =_____。 (答: 2k? ?

?
3

, k ?Z )

1 ? a2 2a

,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______(答:甲、乙都对)

若 ? 是第二象限角,则 (答:2 cm )
2

? 2

是第_____象限角(答:一、三) ;已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。

7. 三角函数的化简、计算、证明

2、三角函数的定义: (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ?

? cos ? 的值为__。 (答: ?

7 ) ; (2)设 ? 是第三、四象限角, 13

sin ? ?

2m ? 3 3 ,则 m 的取值范围是_______(答: (-1, ) ) ; 4?m 2

2 ? 1 ? 3 , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: ) ; (2)已知 ? , ? 为锐角, 5 4 4 4 22 3 3 4 3 sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为______(答: y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5 5 sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 (2)三角函数名互化(切割化弦), (1)求值 sin50 (1 ? 3 tan10 ) (答:1) ; (2)已知 1 ? cos 2? 3 1 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 8
(1)巧变角: (1)已知 tan(?

? ?) ?

(3)公式变形使用设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 边) (4)三角函数次数的降升函数 3. 三角函数线( 1 )若 ?

3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ?

3 ,则此三角形是____三角形(答:等 4

f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ?

?
8

? ? ? 0 ,则 sin? , cos? , tan? 的大小关系为_____( 答: tan? ? sin? ? cos?

); (2 )若 ? 为锐角,则

[ k? ?

?
12

,k? ?

5? ]( k ? Z ) ) 12

5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________(答: 2

? ,sin ? , tan ? 的大小关系为_______ (答:sin ? ? ? ? tan ? ) ; ( 3) 函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域是_______
(答: (2k? ?

?
3

, 2 k? ?

m?3 4 ? 2m ? 5 ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____(答: ? ) 4. 同角三角函数的基本关系式: (1 )已知 sin ? ? , cos ? ? ; (2 )已知 m?5 m?5 2 12 tan ? sin ? ? 3 cos ? 5 13 2 ? ?1 ,则 =____; sin ? ? sin ? cos? ? 2 =___(答: ? ; ) ; (3)已知 f (cosx) ? cos3x ,则 tan ? ? 1 sin ? ? cos ? 3 5
。 f (sin 30? ) 的值为______(答:-1)

2? ](k ? Z ) ) 3

sin ? ? tan ? (5)式子结构的转化(1) tan ? (cos ? ? sin ? ) ? cot ? ? csc ?

(答: sin ? ) ; (2)求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin
2

?
2

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2
; ( 3)

2

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
化简:

2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4
(6)常值变换主要指“1”的变换已知 tan ?

?

?

1 2

(答:

1 cos 2 x ) 2
? 2 ,求 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 3cos2 ? (答:
__(答: ?

3 ). 5

5. 三角函数诱导公式(1 ) cos

9? 7? ? tan(? ) ? sin 21? 4 6

的值为________(答:

4 2 3 ? ) ; (2)已知 sin( 540 ? ? ) ? ? ,则 ? 5 2 3

(7)“知一求二” (1)若

sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ?

t 2 ?1 ),特别提醒:这里 t ?[? 2, 2] ; (2)若 2

cos(? ? 270? ) ? ______,若 ? 为第二象限角,则

4 3 [sin( 180? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 (答: ? ; ? ) ? ________。 ? 5 100 tan( 180 ? ? )

? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 (答:?
2

4? 7 3

) ; 8、 辅助角公式中辅助角的确定: (1) 若方程 sin x ?

3 cos x ? c
3 ); 2

6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:

(1) 下列各式中, 值为 C) ; (2)命题 P: tan(

1 2

的是

A、sin15

cos 15

B、cos

2

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5 1 ? tan 2 22.5

D、

1 ? cos 30 2

有实数解, 则 c 的取值范围是___________. (答: [-2,2]) ; (2 ) 当函数 (答: (3)如果

y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答:?
(答:-2); (4)求值:

f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? =

A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的

A、充要条件

B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、

3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________(答:32) 2 sin 20? cos 20?
2

既不充分也不必要条件(答:C) ; (3)已知 sin( ?

? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ?
-1-

3 7 ,那么 cos 2 ? 的值为____(答: ) ; (4) 5 25

9、正弦函数

y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质:

(1)若函数

? 3 y ? a ? b sin(3x ? ) 的最大值为 2 6
? ?

,最小值为 ?

1 1 ,则 a ? __, b ? _(答: a ? , b ? 1 或 b ? ?1 ) ; (2)函数 2 2
,则

(5)研究函数

y ? A sin(? x ? ? )
Z )) ) ; (2

性 质 的 方 法 :( 1 ) 函 数

y ? s i n? 2 (

? x 3

?

的) 递 减 区 间 是 ______ ( 答 :

f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [ ?

, ] )的值域是____(答:[-1, 2]) ; (3)若 2? ? ? ? ? 2 2

y ? cos ? ? 6 sin ?

的最大值

[ k ??

f ( x) ? 2 cos x sin( x ? ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 的最小值是_____,此时 x 3 ? 1 1 (k ? Z ) ) ? 的变化范围(答: [0, ] ) = __________ (答: 2 ; k? ? ; ( 5 )己知 sin? cos ? ? ,求 t ? sin ? co s ; ( 6 )若 12 2 2
和最小值分别是____ 、_____(答:7;-5) ; (4)函数 。 sin ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ,求 y ? sin ? ? sin ? 的最大、最小值(答: ymax ? 1 , ymin ? 2 2 ? 2 )
2 2 2 2

?

5 ? ? ,k ?? ] (? k 12 12

3 3? x ? ]( k ? Z ) ) ; y ? log 1 cos( ? ) 的递减区间是_______(答: [ 6k? ? ? , 6k? ? 4 4 3 4 2

(3)设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? ? ? ? ? ? ) 2 2 的图象关于直线 x ?

1 2? 对称,它的周期是 ? ,则 A 、 f ( x )的图象过点 (0, ) 2 3
5? ,0) 12
D、

B、

f ( x) 在区间 [

5? 2? , ] 上是减函数 12 3

C、

( 3 ) 周 期 性 :

(1) 若

f ( x) ? sin

?x
3

, 则

f ( 1? ) f (2 ? )f

? (3)? f
设函数

(= 2 ___ 0 0( 3答 )

: 0 ); (2) 函 数

f ( x)的图象的一个对称中心 是(

f ( x) 的最大值是

A(答:C) ; (4)对于函数

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 给出下列结论: 3? ?
? 3
个单位得到;④图像向

?2 s i xn f ( x)? c 4 o sx

c xo ?s i 4 nx 的最小正周期为____(答: ? ) ;(3)

f ( x) ? 2 sin(

?
2

x?

?
5

) ,若对任意 x ? R 都有

①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线 x 左平移

?

?
12

成轴对称;③图象可由函数

y ? 2sin 2 x 的图像向左平移

f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 | x1 ? x2 | 的最小值为____(答:2)
(4) 奇偶性与对称性: (1) 函数

? 5? ? 3 ; ( 2) 已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1 y ? sin ? ? 2x ? 的奇偶性是______(答:偶函数) ( a,b ? 2 ?

为常数) ,且

f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______ (答:- 5 ) ; ( 3 )函数 y ? 2 cosx(sin x ? cosx) 的图象的对称中心和对称轴分别是

? 个单位,即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。其中正确结论是_______(答:②④) ; (5)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象 12 ? 与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的距离为 ,那么此函数的周期是_______(答: ? ) 3 ? ? 1 ? y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x ? cos x 的周期为 ,而 y ?| 2sin(3 x ? ) ? |, y ?| 2sin(3 x ? ) ? 2 | , 6 2 6 2
y ?| tan x | 的周期不变;
?ABC
中,若 sin
2

k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z )) __________、____________(答:( ; (4)已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 2 8 2 8
为偶函数,求 ? 的值。 (答: ? (5)单调性: 16、形如

? k? ?

?

6

( k ? Z ))

A cos2 B ? cos2 A sin2 B ? sin2 C ,判断 ?ABC

的形状(答:直角三角形) 。 A、 有一个解 B、有两个解

(1) ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 C 、无解

, a ? 6 , b ?4
1 2

,那么满足条件的 ?ABC

y ? A sin(? x ? ? ) 的函数:

D 、不能确定(答: C ) ; ( 2 )在 ?ABC 中, A > B 是 sin A ?

sin B 成立的 _____ 条件(答:充要) ; ( 3 )在 ?ABC 中,

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , | ? |?
15 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) ) ; 2 3
(1)函数

?
2

( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 , 则 log2 sin C= _____ ( 答 : ?
) 的图象如图所示,则
2 3 Y 2? 9 X

) ; (4) 在

?ABC 中 , a , b , c分 别 是 角

A、B、C 所对的边,若

f ( x)

= _____ ( 答 :

( a ? b ? c )(sin A ? sin ? Bsin C )? 3 a sin B ,则 ?C

=____(答: 60 ) ; (5 )在 ?ABC 中,若其面积 S

?

a2 ? b2 ? c 2 4 3

,则

y ? 2 s i n (x 2?

?
4

? ) 的 1图象经过怎样的变换才能得到

-2

y ? sin x

的图象?(答:

y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 向上平移 1 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再向左平移 个单位得 y ? 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原 4 4 8 1 x ? 来的 2 倍得 y ? 2sin x 的图象,最后将纵坐标缩小到原来的 即得 y ? sin x 的图象) ;(2) 要得到函数 y ? cos( ? ) 的图象,只需 2 2 4 x ? 7? 把函数 y ? sin 的图象向___平移____个单位(答:左; ) ; (3)将函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图 2 2 3
像关于原点对称, 这样的向量是否唯一?若唯一, 求出 a ; 若不唯一, 求出模最小的向量 (答: 存在但不唯一, 模最小的向量 a ? ( ? (4)若函数

?

?

?

23题 图

?C =____ (答:30

) ; ( 6) 在 ?ABC 中,A ? 60

2 39 , b ? 1, 这个三角形的面积为 3 , 则 ?ABC 外接圆的直径是_______ (答: ) ; 3
1 B?C ? 3, cos A ? , 则 cos 2 = 3 2 ?
,b
2

(7)在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, a

? c 2 的最大值为

(答:

(8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 (答: 0 ? C

?

1 9 ; 3 2

) ;

6

) ; ( 9 )设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ?C ) . 的值______ (答:

? 75

,且

?

6

, ?1) ) ;

?AOB, ?BOC, ?COA 的面积满足关系式 S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ? A (答: 45
19.求角的方法 (1 ) 若? , ? 中 ,

f ? x ? ? cos x ? sin x ? x ? ? 0, 2? ?? 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的交点,则 k 的取值范围是

a n ? 、tan ? 是方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根, ? (0, ? ) , 且t 则求 ? ? ?

3 s iA n?

4 c Bo ?s

6B , 4 ? s i n A ?, 3则 c o? sC

=1 _______ ( 答 : 的值(答:

(答: [1,

2) )

sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ?
-2-

2? 3

? 3

3? 4

) ; (2)?ABC 且

);( 3 ) 若

0 ? ? ? ? ? ? ? 2?

).


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