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辽宁省沈阳市铁路实验中学2015届高三上学期期初数学试卷(理科)


辽宁省沈阳市铁路实验中学 2015 届高三上学期期初数学试卷 (理科)
一、选择题(每小题 5 分) 1. (5 分)设全集 I={x|﹣3<x<3,x∈Z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∪(?IB) 等于() A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2} 2. (5 分)设 i 为虚数单位,则复数 A.﹣4﹣3i B.﹣4+3i
*

的共轭复数为() C.4+3i D.4﹣3i

3. (5 分)数列{an}满足 an+an+1= (n∈N ) ,a2=1,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21 为() A. B. C. 6 D.10

4. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B. 命题“?x∈R,x +x+2<0”的否定是“?x∈R,x +x+2≥0” 2 2 C. 命题“若 x=y,则 x =y ”的逆否命题是假命题 D.已知 m、n∈N,命题“若 m+n 是奇数,则 m、n 这两个数中一个为奇数,另一个为偶数” 的逆命题为假命题 5. (5 分)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A:“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B:“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=() A. B. C. D.

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7. (5 分)已知 f(x+1)= A.f(x)= B.f(x)=

,f(1)=1, (x∈N ) ,猜想 f(x)的表达式为() C.f(x)= D.f(x)=

*

8. (5 分)一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 条件是()

,则判断框内应填入的

A.i<4 9. (5 分)函数 A.在 C. 在

B.i>4

C.i<5 ()

D.i>5

单调递减 单调递减

B. 在 D .在

单调递增 单调递增

10. (5 分)一动圆圆心在抛物线 x =﹣8y 上,且动圆恒与直线 y﹣2=0 相切,则动圆必过定 点() A.(4,0) B.(0,﹣2) C.(2,0) D.(0,﹣4) 11. (5 分)设 A=(1,2,3,…,10) ,若方程 x ﹣bx﹣c=0,满足 b、c 属于 A,且方程至 少有一根 a 属于 A,称方程为漂亮方程,则“漂亮方程”的总个数为() A.8 个 B.10 个 C.12 个 D.14 个 12. (5 分)已知函数 g(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的导函数为 f(x) ,a+b+c=0,且 f(0) ?f(1)>0,设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个根,则|x1﹣x2|的取值范围为() A. B. C. D.
3 2 2

2

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二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)若 ξ 服从正态分布 N(10,σ ) ,若 P(ξ<11)=0.9,则 P(|ξ﹣10|<1)=. 14. (5 分)如图,矩形 ABCD 中边长 AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点,若 F 为正方形内(含 边界)任意一点,则 的最大值为.
2

15. (5 分)若 x>1,y>0,且满足 xy=x ,

y

,则 y 的最大值是.

16. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n﹣n ,bn=|an|,则数列{bn}的前 n 项和 Tn=.

2

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)已知 A、B、C 是△ ABC 三内角,向量 =(﹣1, , (Ⅰ)求角 A (Ⅱ)若 . ) , =(cosA,sinA) ,且

18. (12 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 AA1=AD=1,E 为 CD 中点. (Ⅰ)求证:B1E⊥AD1; (Ⅱ) 在棱 AA1 上是否存在一点 P, 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长; 若不存在, 说明理由. (Ⅲ)若二面角 A﹣B1E﹣A1 的大小为 30°,求 AB 的长.

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19. (12 分)某市职教中心组织厨师技能大赛,大赛依次设基本功(初赛) 、面点制作(复 赛) 、 热菜烹制 (决赛) 三个轮次的比赛, 已知某选手通过初赛、复赛、 决赛的概率分别是 , , 且各轮次通过与否相互独立. (Ⅰ)设该选手参赛的轮次为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅱ)对于(I)中的 ξ,设“函数 f(x)=3sin 发生的概率. π(x∈R)是偶函数”为事件 D,求事件 D

20. (12 分)已知椭圆 C:

的一个焦点是 F(1,0) ,且离心率为

. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0) ,求 y0 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)=﹣ x + x ﹣2x(a∈R) . (1)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)<2(a﹣1)成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.
3 2

(从 22/23/24 三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首做题计 入总分,满分 10 分.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置) (本小题满分 10 分) 22. (10 分)如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一 点, ,DE 交 AB 于点 F,且 AB=2BP=4,求 PF 的长度.

23.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重

合. 直线 l 的参数方程是

(t 为参数) , 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=

sin (

) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 M、N 两点,求 M、N 两点间的距离.
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24.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|, (1)若 a=﹣1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果 x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围.

辽宁省沈阳市铁路实验中学 2015 届高三上学期期初数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分) 1. (5 分)设全集 I={x|﹣3<x<3,x∈Z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∪(?IB) 等于() A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由已知中全集 I={x|﹣3<x<3,x∈Z},我们易将全集 I 用列举法表示,即 I={﹣2, ﹣1,0,1,2},根据补集的定义,易求 CIB=将集合 A={1,2}代入即可求出答案. 解答: 解:∵I={﹣2,﹣1,0,1,2}, ∴CIB={0,1}, 故 A∪(CIB)={0,1,2}. 故选 D 点评: 集合有不同的表示方法,当一个集合为元素个数不多的有限数集,宜用列举法,然 后根据集合运算的定义,即可进行求解.

2. (5 分)设 i 为虚数单位,则复数 A.﹣4﹣3i B.﹣4+3i

的共轭复数为() C.4+3i D.4﹣3i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 根据复数除法法则可知将分式的分子分母同乘以﹣i, 可将复数化成 a+bi (a, b∈R) , 最后根据共轭复数的定义可求出所求. 解答: 解: ∴复数 =﹣3i+4=4﹣3i

的共轭复数为 4+3i

故选 C. 点评: 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算, 以及共轭复数的概念, 同时考查了计算 能力,属于基础题.
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3. (5 分)数列{an}满足 an+an+1= (n∈N ) ,a2=1,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21 为() A. B. C. 6 D.10

*

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由 an+an+1= (n∈N ) ,a2=1,结合数列的性质,令 n=1,2,3,分别求出 a1,a2, a3,a4,从而得到数列{an}为周期数列,2 为一个周期.由此可求出 S21 的值. 解答: 解:当 n=1 时,a1+a2= , ∴ ;
*

当 n=2 时,a2+a3= , ∴ ;

当 n=3 时,a3+a4= , ∴ .

∴数列{an}为周期数列,2 为一个周期. ∴ .

故选 A. 点评: 本题考查数列的性质和递推公式,解题时要注意分析,仔细观察,认真总结,寻找 规律. 4. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B. 命题“?x∈R,x +x+2<0”的否定是“?x∈R,x +x+2≥0” 2 2 C. 命题“若 x=y,则 x =y ”的逆否命题是假命题 D.已知 m、n∈N,命题“若 m+n 是奇数,则 m、n 这两个数中一个为奇数,另一个为偶数” 的逆命题为假命题 考点: 命题的否定;四种命题. 专题: 计算题;综合题. 分析: 根据原命题与否命题的关系,可得 A 选项不正确;根据含有量词的命题否定的规 律,得到 B 选项是正确的;根据原命题与逆否命题真值相同,可知 C 选项不正确;对于 D, 得到逆命题后,再根据自然数奇偶性的加减规律,可得 D 选项也不正确. 解答: 解:对于 A,命题“若 p,则 q”的否命题是:“若非 p,则非 q” 2 2 因此命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”,故 A 项不正确;
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对于 B,命题“?x∈R,p(x)”的否定是:“?x∈R,非 p(x)” 因此命题“?x∈R,x +x+2<0”的否定是“?x∈R,x +x+2≥0”,故 B 项正确; 2 2 对于 C,命题“若 x=y,则 x =y ”是真命题,因此它的逆否命题也是真命题,故 C 项不正确; 对于 D,命题“若 m+n 是奇数,则 m、n 这两个数中一个为奇数,另一个为偶数”的逆命题是 “若 m、n 这两个数中一个为奇数,另一个为偶数,则 m+n 是奇数”,显然这是一个真命题, 故 D 项不正确. 故选:B 点评: 本题以命题真假的判断为载体, 着重考查了四种命题及其相互关系和含有量词的命 题的否定等知识点,属于基础题. 5. (5 分)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图()
2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 作图题;压轴题. 分析: 根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在 面上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线,得到结果. 解答: 解:左视图从图形的左边向右边看, 看到一个正方形的面, 在面上有一条对角线, 对角线是由左下角到右上角的线, 故选 D. 点评: 本题考查空间图形的三视图,考查左视图的做法,本题是一个基础题,考查的内容 比较简单,可能出现的错误是对角线的方向可能出错. 6. (5 分)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A:“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B:“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=() A. B. C. D.

考点: 条件概率与独立事件. 专题: 计算题. 分析: 用列举法求出事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数,求 p (A) ,同理求出 P(AB) ,根据条件概率公式 P(B|A)= 即可求得结果.

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解答: 解:事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”所包含的基本事件有: (1,3) 、 (1,5) 、 (3,5) 、 (2,4) , ∴p(A)= , 事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4) ,∴P(AB)= ∴P(B|A)= .

故选 B. 点评: 此题是个基础题.考查条件概率的计算公式,同时考查学生对基础知识的记忆、理 解和熟练程度. ,f(1)=1, (x∈N ) ,猜想 f(x)的表达式为() C.f(x)= D.f(x)=
*

7. (5 分)已知 f(x+1)= A.f(x)= B.f(x)=

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;综合题. 分析: 把 f(x+1)= 数列的定义,可知数列{ 求得 f(x)的表达式. 解答: 解:∵f(x+1)= ∴ ∴数列{ ∴ ∴f(x)= , }是以 = , ,f(1)=1, (x∈N ) , . 为首项, 为公差的等差数列.
*

取倒数得 }是以

,根据等差 为首项, 为公差的等差数列,从而可

故选 B. 点评: 本题主要考查抽象函数求解析式, 进而转化为数列研究数列的通项, 考查灵活应用 知识分析解决问题的能力和运算能力,知识的迁移能力,属中档题.

8. (5 分)一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是 条件是()

,则判断框内应填入的

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A.i<4

B.i>4

C.i<5

D.i>5

考点: 程序框图. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据程序框图,写出运行结果,根据程序输出的结果是 解答: 解:根据程序框图,运行结果如下: i T P 第一次循环 2 1 5 第二次循环 3 2 1 第三次循环 第四次循环 4 5 3 4 ,可得结论.

退出循环,故判断框内应填入的条件是 i<5 故选 C. 点评: 本题考查程序框图, 尤其考查循环结构. 对循环体每次循环需要进行分析并找出内 在规律.本题属于基础题 9. (5 分)函数 A.在 C. 在 单调递减 单调递减 () B. 在 D .在 单调递增 单调递增

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 计算题.

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分析: 将函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角 的正弦函数,由正弦函数在(0, )上单调递增列出关于 x 的不等式,求出不等式的解集 )单调递增. sin2x+ cos2x)=2sin(2x+ < , ) ,

得到 x 的范围,即可得到 f(x)在(0, 解答: 解:f(x)= 由正弦函数在(0, 解得:0<x< , )单调递增. sin2x+cos2x=2(

)上单调递增,故 0<2x+

则 f(x)在(0,

故选 D 点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式, 以及正弦函数的单调性, 利用三角函数的 恒等变换将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键. 10. (5 分)一动圆圆心在抛物线 x =﹣8y 上,且动圆恒与直线 y﹣2=0 相切,则动圆必过定 点() A.(4,0) B.(0,﹣2) C.(2,0) D.(0,﹣4) 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先由抛物线的方程可得直线 y﹣2=0 即为抛物线的准线方程,再结合抛物线的定 义得到动圆一定过抛物线的焦点,进而得到答案. 解答: 解:∵动圆圆心在抛物线 x =﹣8y 上,且动圆恒与直线 y﹣2=0 相切,而抛物线的 焦点为(0,﹣2) ,准线是 y﹣2=0, 故动圆圆心到焦点的距离等于它到准线的距离,故动圆必过抛物线的焦点(0,﹣2) , 故选 B. 点评: 本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,解决此类问题的关 键是熟练掌握抛物线的定义,以及抛物线的有关性质与圆的定义,属于中档题. 11. (5 分)设 A=(1,2,3,…,10) ,若方程 x ﹣bx﹣c=0,满足 b、c 属于 A,且方程至 少有一根 a 属于 A,称方程为漂亮方程,则“漂亮方程”的总个数为() A.8 个 B.10 个 C.12 个 D.14 个 考点: 分类加法计数原理. 专题: 压轴题;分类讨论. 分析: 根据题意,用十字相乘法,先把 c 分解因数,依据方程根与系数的关系,这两个因 数的差就是 b,进而可以确定方程,再依次分析 c 等于 2、3、…10,分别分析、列举其“漂亮 方程”的个数,由加法原理,计算可得答案. 解答: 解:用十字相乘法,先把 c 分解因数,依据方程根与系数的关系,这两个因数的差 就是 b; 2 c=2 时,有 2×1=2,b=2﹣1=1,则漂亮方程为 x ﹣x﹣2=0;
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2 2 2

c=3 时,有 3×1=3,b=3﹣1=2,则漂亮方程为 x ﹣2x﹣3=0; 2 c=4 时,有 4×1=4,b=4﹣1=3,则漂亮方程为 x ﹣3x﹣4=0, 2 c=5 时,有 5×1=5,b=5﹣1=4,则漂亮方程为 x ﹣4x﹣5=0; 2 c=6 时,有 6×1=6,b=6﹣1=5,则漂亮方程为 x ﹣5x﹣6=0, 2 同时,有 2×3=6,b=3﹣1=2,则漂亮方程为 x ﹣x﹣6=0; 2 c=7 时,有 7×1=7,b=7﹣1=6,则漂亮方程为 x ﹣6x﹣7=0, 2 c=8 时,有 8×1=8,b=8﹣1=7,则漂亮方程为 x ﹣7x﹣8=0, 2 同时,有 2×4=8,b=4﹣2=2,则漂亮方程为 x ﹣2x﹣8=0; 2 c=9 时,有 9×1=9,b=9﹣1=8,则漂亮方程为 x ﹣8x﹣9=0; 2 c=10 时,有 10×1=10,b=10﹣1=9,则漂亮方程为 x ﹣10x﹣9=0, 2 同时,有 2×5=10,b=5﹣2=3,则漂亮方程为 x ﹣3x﹣10=0; 综合可得,共 12 个漂亮方程, 故选 C. 点评: 本题考查分类计数原理的应用,注意分析题意,得到“漂亮方程”的定义,进一步分 析得到答案. 12. (5 分)已知函数 g(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的导函数为 f(x) ,a+b+c=0,且 f(0) ?f(1)>0,设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个根,则|x1﹣x2|的取值范围为() A. B. C. D.
3 2

2

考点: 根与系数的关系;导数的加法与减法法则. 专题: 计算题;综合题;压轴题. 2 分析: 由题意得:f(x)=3ax +2bx+c,x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个根,由韦达定理得, x1+x2= ,x1x2= ,于是求

=

,又 a+b+c=0,从而有

= ?

+ ( )+ ①,又 f(0) 的范围,从而得到选项.

?f(1)>0,可求得﹣2< <﹣1,代入①即可求得 解答: 解:由题意得:f(x)=3ax +2bx+c, ∵x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个根,故 x1+x2= ,x1x2= ,
2



=

﹣4x1?x2=



又 a+b+c=0, ∴c=﹣a﹣b 代入上式, ∴ = = = ? + ( )+ ①,

又∵f(0)?f(1)>0, 2 2 ∴(a+b) (2a+b)<0,即 2a +3ab+b <0,
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∵a≠0,两边同除以 a 得: +3 +2<0; ∴﹣2< <﹣1,代入①得 ∴|x1﹣x2|∈[ , ) . ∈[ , )

2

故选 A. 点评: 本题考查根与系数的关系,着重考查韦达定理的使用,难点在于对条件“f(0)?f (1)>0”的挖掘,充分考察数学思维的深刻性与灵活性,属于难题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)若 ξ 服从正态分布 N(10,σ ) ,若 P(ξ<11)=0.9,则 P(|ξ﹣10|<1)=0.8. 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据随机变量 ξ 服从正态分布,可知正态曲线的对称轴,利用对称性,即可求得 P (|ξ﹣10|<1) . 2 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(10,σ ) , ∴正态曲线的对称轴是 x=10, ∵P(ξ<11)=0.9, ∴P(ξ≥11)=1﹣0.9=0.1, ∴P(|ξ﹣10|<1)=2(0.5﹣0.1)=0.8. 故答案为:0.8. 点评: 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、 函数图象对称性的应用等 基础知识,属于基础题. 14. (5 分)如图,矩形 ABCD 中边长 AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点,若 F 为正方形内(含 边界)任意一点,则 的最大值为 .
2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 画出向量在向量上的投影,推出 F 的位置,使得 坐标,求出向量的数量积. 解答: 解:因为 = = , 的最大值,通过 E,C 的

如图,F 在 C 位置时 AP 最大,
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设 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,则 E(2, ) ,C(2,1) 所以 的最大值为: (2, )?(2,1)= .

故答案为: . 点评: 本题考查向量的数量积的应用,向量在向量方向上的投影的应用,考查计算能力.
y

15. (5 分)若 x>1,y>0,且满足 xy=x ,

,则 y 的最大值是 .

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用 x>1,y>0,且满足 xy=x , 利用指数函数的单调性,即可求得 y 的最大值. 解答: 解:∵x>1,y>0,且满足 xy=x , ∴ ∴x ≥x ∵x>1 ∴2≥4y ∴ ∴y 的最大值是 故答案为: 点评: 本题考查不等式, 考查指数函数, 考查求最值, 解题的关键是利用 xy=x , 变形为 .
y 2 4y y y

,可得

,即 x ≥x ,

2

4y





16. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n﹣n ,bn=|an|,则数列{bn}的前 n 项和 Tn= .

2

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列.
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分析: 由数列{an}的前 n 项和 Sn=10n﹣n 得到数列为等差数列, 并求出数列前 5 项大于 0, 从第 6 项起小于 0,则数列{bn}的前 n 项和 Tn 可求. 2 解答: 解:∵Sn=10n﹣n , 2 ∴Sn﹣1=10(n﹣1)﹣(n﹣1) , 两式相减,得 an=11﹣2n(n≥2,n∈N) , 当 n=1 时,a1=11﹣2×1=9=S1, * ∴数列{an}的通项公式为 an=﹣2n+11(n∈N ) , ∴当 n≤5 时,an>0,bn=an; 当 n≥6 时,an<0,bn=﹣an; 2 ∴当 n≤5 时,Tn=10n﹣n ; 2 当 n≥6 时,Tn=2S5﹣Sn=n ﹣10n+50. 综上,Tn= .

2

故答案为:



点评: 本题考查了数列的求和, 考查了分类讨论的数学思想方法, 考查了等差关系的判断, 是中档题. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)已知 A、B、C 是△ ABC 三内角,向量 =(﹣1, , (Ⅰ)求角 A (Ⅱ)若 . ) , =(cosA,sinA) ,且

考点: 同角三角函数基本关系的运用; 平面向量数量积的运算; 任意角的三角函数的定义; 二倍角的正弦. 专题: 计算题. 分析: (1)利用向量的数量积得到关于角 A 的三角函数等式,再利用辅助角公式化简求 值即可; (2)先利用三角函数正弦的二倍角公式化简所给等式,求得角 B 的三角函数值,再结合三 角形内角和定理即可求得角 C 的三角函数值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ 即 ∵ ,

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∴ ∴
2 2

(Ⅱ)由题知 ∴cosB≠0

,整理得 sin B﹣sinBcosB﹣2cos B=0

∴tan B﹣tanB﹣2=0 ∴tanB=2 或 tanB=﹣1 2 2 而 tanB=﹣1 使 cos B﹣sin B=0,舍去 ∴tanB=2 ∴tanC=tan[π﹣(A+B)] =﹣tan(A+B) = = = 点评: 本小题主要考查三角函数概念、 同角三角函数的关系、 两角和与差的三角函数的公 式以及倍角公式,考查应用、分析和计算能力. 18. (12 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 AA1=AD=1,E 为 CD 中点. (Ⅰ)求证:B1E⊥AD1; (Ⅱ) 在棱 AA1 上是否存在一点 P, 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长; 若不存在, 说明理由. (Ⅲ)若二面角 A﹣B1E﹣A1 的大小为 30°,求 AB 的长.

2

考点: 用空间向量求平面间的夹角; 空间中直线与直线之间的位置关系; 直线与平面平行 的判定. 专题: 证明题;综合题;数形结合;转化思想. 分析: (Ⅰ)由题意及所给的图形,可以 A 为原点, , , 的方向为 X 轴,Y

轴, Z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 设 AB=a, 给出图形中各点的坐标, 可求出向量 与 的坐标,验证其数量积为 0 即可证出两线段垂直.
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(II)由题意,可先假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,t) ,使得 DP∥平面 B1AE,求出平 面 B1AE 法向量,可法向量与直线 DP 的方向向量内积为 0,由此方程解出 t 的值,若能解 出,则说明存在,若不存在符合条件的 t 的值,说明不存在这样的点 P 满足题意. (III)由题设条件,可求面夹二面角的两个平面的法向量,利用两平面的夹角为 30°建立关 于 a 的方程,解出 a 的值即可得出 AB 的长 解答: 解: (I)以 A 为原点, 空间直角坐标系,如图, 设 AB=a,则 A(0,0,0) ,D(0,1,0) ,D1(0,1,1) ,E( ,1,0) ,B1(a,0,1) 故 ∵ =(0,1,1) , ? =1﹣1=0 =(﹣ ,1,﹣1) , =(a,0,1) , =( ,1,0) , , , 的方向为 X 轴,Y 轴,Z 轴的正方向建立

∴B1E⊥AD1; (II)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,t) , 使得 DP∥平面 B1AE.此时 又设平面 B1AE 的法向量 =(x,y,z) . ∵ ⊥平面 B1AE,∴ ⊥B1A, ⊥AE,得 =(1,﹣ ,﹣a) . 要使 DP∥平面 B1AE,只要 ⊥ ) , 又 DP?平面 B1AE, ∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP= (III)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C. 由(I)知,B1E⊥AD1,且 B1C∩B1E=B1. ∴AD1⊥平面 DCB1A1, ∴AD1 是平面 B1A1E 的一个法向量,此时 =(0,1,1) . ,即有 ? =0,有此得 ﹣at=0,解得 t= ,即 P(0,0, ,取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 =(0,﹣1, t) .



与 所成的角为 θ,则 cosθ=

=

∵二面角 A﹣B1E﹣A1 的大小为 30°,

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∴|cosθ|=cos30°=

,即|

|=

,解得 a=2,即 AB 的长为 2

点评: 本题考查利用空间向量这一工具求二面角, 证明线面平行及线线垂直, 解题的关键 是建立恰当的坐标系及空间位置关系与向量的对应,此类解题,方法简单思维量小,但计算 量大,易因为计算错误导致解题失败,解题时要严谨,认真,利用空间向量求解立体几何题 是近几年 2015 届高考的热点,必考内容,学习时要好好把握 19. (12 分)某市职教中心组织厨师技能大赛,大赛依次设基本功(初赛) 、面点制作(复 赛) 、 热菜烹制 (决赛) 三个轮次的比赛, 已知某选手通过初赛、复赛、 决赛的概率分别是 , , 且各轮次通过与否相互独立. (Ⅰ)设该选手参赛的轮次为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅱ)对于(I)中的 ξ,设“函数 f(x)=3sin 发生的概率. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (I)确定 ξ 可能取值为 1,2,3,求出相应的概率,可得 ξ 的分布列与数学期望; (Ⅱ)分别确定当 ξ=1、2、3 时,函数 f(x)的奇偶性,即可求得事件 D 发生的概率. 解答: 解: (I)ξ 可能取值为 1,2,3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 记“该选手通过初赛”为事件 A,“该选手通过复赛”为事件 B,则 P(ξ=1)=P( )=1﹣ = ;P(ξ=2)=P( P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)= ﹣(5 分) ξ 的分布列为: ξ 1 P )=P(A)P( )= = ; π(x∈R)是偶函数”为事件 D,求事件 D

= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

2

3

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ξ 的数学期望 Eξ=1× +2× +3× = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (7 分) (Ⅱ)当 ξ=1 时,f(x)=3sin( 当 ξ=2 时,f(x)=3sin( 当 ξ=3 时,f(x)=3sin( )=3cos )=﹣3sin ,∴f(x)为偶函数;

,∴f(x)为奇函数;

) ,∴f(x)为偶函数;

∴事件 D 发生的概率是 . ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查概率的计算,考查离散型随机变量的分布列与期望,正确求概率是关键.

20. (12 分)已知椭圆 C:

的一个焦点是 F(1,0) ,且离心率为

. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0) ,求 y0 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)利用椭圆的性质及 ,b =a ﹣c 即可得出;
2 2 2

(II)分直线 MN 的斜率存在于不存在讨论,当 MN 的斜率存在时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) ,与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及其中点坐标公式及其基本不 等式的性质即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意,得 c=1. 因为椭圆 C 的离心率
2 2

= ,
2

所以 a=2,c=1,b =a ﹣c =3. 故椭圆 C 的方程为 .

(Ⅱ)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) . 由 消去 y 整理得 (3+4k )x ﹣8k x+4(k ﹣3)=0.
2 2 2 2

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 的中点为 Q(x3,y3) ,

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所以





线段 MN 的垂直平分线方程为



在上述方程中令 x=0,得



当 k<0 时, 所以 ,或

;当 k>0 时, . .



综上:y0 的取值范围是

点评: 本题 2015 届中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为与椭 圆的方程联立得到根与系数的关系、 中点坐标公式及其基本不等式的性质等基础知识与基本 技能,考查了分类讨论思想方法、推理能力、计算能力. 21. (12 分)已知函数 f(x)=﹣ x + x ﹣2x(a∈R) . (1)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若对于任意 x∈[1,+∞)都有 f′(x)<2(a﹣1)成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.
3 2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题;二次函数的性质;利用导数 研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)先求当 a=3 时函数的导数 f′(x) ,并将其因式分解,便于解不等式,再由 f′ (x)>0,得函数的单调增区间,由 f′(x)<0,得函数的单调减区间; (2)方法 1:由
2

,得 f'(x)=﹣x +ax﹣2,原问题转化为:对
2

2

于任意 x∈[1,+∞)都有 x ﹣ax+2a>0 成立,令 h(x)=x ﹣ax+2a,结合二次函数的性质 得到关于 a 的不等关系,从而求出实数 a 的取值范围; 方法 2: 由 , 得 f' (x) =﹣x +ax﹣2, 问题转化为, 对于任意 x∈[1,
2

+∞)都有[f'(x)]max<2(a﹣1) .下面利用导数工具研究其单调性和最大值,即可得出实 数 a 的取值范围;

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(3) 先将过点

可作曲线 y=f (x) 的三条切线转化为: 方程

有三个不同的实数解,下面利用导数研究函数 g(x)的零点,从而求得 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=3 时, 分) 因为 f'(x)=﹣x +3x﹣2=﹣(x﹣1) (x﹣2) , 所以当 1<x<2 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x<1 或 x>2 时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,2) ,单调递减区间为(﹣∞,1)和(2,+∞) .… (3 分) (2)方法 1:由 ,得 f'(x)=﹣x +ax﹣2,
2 2

,得 f'(x)=﹣x +3x﹣2.…(1

2

因为对于任意 x∈[1,+∞)都有 f'(x)<2(a﹣1)成立, 2 即对于任意 x∈[1,+∞)都有﹣x +ax﹣2<2(a﹣1)成立, 2 即对于任意 x∈[1,+∞)都有 x ﹣ax+2a>0 成立,…(4 分) 2 令 h(x)=x ﹣ax+2a, 要使对任意 x∈[1,+∞)都有 h(x)>0 成立,

必须满足△ <0 或

…(5 分)

即 a ﹣8a<0 或

2

…(6 分)

所以实数 a 的取值范围为(﹣1,8) .…(7 分) 方法 2:由 ,得 f'(x)=﹣x +ax﹣2,
2

因为对于任意 x∈[1,+∞)都有 f'(x)<2(a﹣1)成立, 所以问题转化为,对于任意 x∈[1,+∞)都有[f'(x)]max<2(a﹣1) .…(4 分) 因为 ①当 ,其图象开口向下,对称轴为 时,即 a<2 时,f'(x)在[1,+∞)上单调递减, .

所以 f'(x)max=f'(1)=a﹣3, 由 a﹣3<2(a﹣1) ,得 a>﹣1,此时﹣1<a<2.…(5 分) ②当 所以 由 时,即 a≥2 时,f'(x)在 , ,得 0<a<8,此时 2≤a<8.…(6 分) 上单调递增,在 上单调递减,

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综上①②可得,实数 a 的取值范围为(﹣1,8) .…(7 分) (3)设点
2

是函数 y=f(x)图象上的切点,

则过点 P 的切线的斜率为 k=f'(t)=﹣t +at﹣2,…(8 分) 所以过点 P 的切线方程为 因为点 所以 即 若过点 则方程 令
2

.…(9 分)

在切线上, , .…(10 分) 可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线, 有三个不同的实数解.…(11 分) ,则函数 y=g(t)与 t 轴有三个不同的交点. .…(12 分) , ,即 a>2.…(13 分)

令 g'(t)=2t ﹣at=0,解得 t=0 或 因为 所以必须 ,

所以实数 a 的取值范围为(2,+∞) .…(14 分) 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、 利用导数研究曲线上某点切线方程、 不等式的 解法、函数恒成立问题等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思 想.属于中档题. (从 22/23/24 三道解答题中任选一道作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首做题计 入总分,满分 10 分.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置) (本小题满分 10 分) 22. (10 分)如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上一 点, ,DE 交 AB 于点 F,且 AB=2BP=4,求 PF 的长度.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是与圆有关的比例线段, 由于点 F 在直径 AB 上,不能直接应用 切割线定理或相交弦定理,考虑构造相似形求解.连接 OC 后,易证明△ POC∽△PDF,然 后根据相似三角形的性质,结合 AB=2BP=4 即可得到答案.
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解答: 解:连接 OC,OD,OE, 由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件 可得∠CDE=∠AOC,

又∠CDE=∠P+∠PFD,∠AOC=∠P+∠C, 从而∠PFD=∠C,故△ PFD∽△PCO, ∴ ,

由割线定理知 PC?PD=PA?PB=12, 故 .﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料,题目以证明题为主,特别是 一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目,我们注意熟练掌握:1.射影定理的内 容及其证明; 2. 圆周角与弦切角定理的内容及其证明; 3. 圆幂定理的内容及其证明; 4. 圆 内接四边形的性质与判定. 23.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重

合. 直线 l 的参数方程是

(t 为参数) , 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=

sin (

) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 M、N 两点,求 M、N 两点间的距离. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程;直线的参数方程. 专题: 计算题. 分析: (1) 利用直角坐标与极坐标间的关系, 将曲线 C 的极坐标方程: ρ=2 化成直角坐标方程:x +y ﹣x﹣y=0,问题得以解决; (2)先将直线 l 的参数方程化成普通方程:4x﹣3y+1=0,由(1)得曲线 C 是以( 为圆心,半径等于 间的距离. 解答: 解: (1)将曲线 C 的极坐标方程化为 ρ=
2 2 2

sin (θ+





的圆,结合点到直线的距离公式及圆的几何性质,可求得 M、N 两点

sin(

)=cosθ+sinθ

两边都乘以 ρ,得 ρ =ρcosθ+ρsinθ 2 2 2 2 2 因为 x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ =x +y 代入上式,得方求曲线 C 的直角坐标方程为:x +y ﹣x ﹣y=0

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(2)直线 l 的参数方程是

(t 为参数) ,消去参数 t 得普通方程:4x﹣3y+1=0,
2 2

将圆 C 的极坐标方程化为普通方程为:x +y ﹣x﹣y=0, 所以( )为圆心,半径等于

所以,圆心 C 到直线 l 的距离 d=

所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为:|MN|=2

=



即 M、N 两点间的距离为



点评: 本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化, 以及利用圆的几何 性质计算圆心到直线的距等基本方法,属于基础题. 24.设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|, (1)若 a=﹣1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果 x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: (1)当 a=﹣1,原不等式变为:|x﹣1|+|x+1|≥3,下面利用对值几何意义求解,利 用数轴上表示实数﹣ 左侧的点与表示实数 右侧的点与表示实数﹣1 与 1 的点距离之和不 小 3,从而得到不等式解集. (2)欲求当 x∈R,f(x)≥2,a 的取值范围,先对 a 进行分类讨论:a=1;a<1;a>1.对 后两种情形,只须求出 f(x)的最小值,最后“x∈R,f(x)≥2”的充要条件是|a﹣1|≥2 即可 求得结果. 解答: 解: (1)当 a=﹣1 时,f(x)=|x﹣1|+|x+1|,由 f(x)≥3 有|x﹣1|+|x+1|≥3 据绝对值几何意义求解,|x﹣1|+|x+1|≥3 几何意义,是数轴上表示实数 x 的点距离实数 1,﹣ 1 表示的点距离之和不小 3, 由于数轴上数﹣ 左侧的点与数 右侧的点与数﹣1 与 1 的距离之和不小 3, 所以所求不等式解集为(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞) (2)由绝对值的几何意义知,数轴上到 1 的距离与到 a 的距离之和大于等于 2 恒成立,则 1 与 a 之间的距离必大于等于 2,从而有 a∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) 点评: 本小题主要考查绝对值不等式、不等式的解法、充要条件等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想.

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