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直线和圆的位置关系教案


高二数学 教·学案
课题:2.1 圆周角定理
【学习目标】 1.理解圆周角定理的证明过程。 2.理解圆周角定理及推论。 3.能用圆周角定理及推论解决相关的几何问题。 【学习重点】理圆周角定理及推论 【学习难点】圆周角定理及推论的证明及应用 【授课类型】新授课 【教 具】电子白板 个性设计 【学习方法】 【学习过程】 一、复习引入: 1、介绍弧的度数的概念:1?的圆心角所对的弧称为 1?的弧,即弧 的度数等于它所对的圆心角的度数。 问题:已知:如图 AC 是⊙O 的直径,B 是⊙O 上异于 A,C 的一点,那么,∠BAC 与∠BOC 有什么 关系?∠BAC 的度数与弧 BC 的度数呢? 二、新课学习: 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半;圆周角的度数等于它所对的弧的 度数的一半 探究思考:如何证明前面提出的问题?若 AC,BC 都不是直径时,又 如何证明该问题? 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧也相等 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90?的圆周角所对的 弧是半圆。 三、讲解范例: 例1 如图 1,已知 OA,OB,OC 都是⊙O 的半径,∠AOB=2∠BOC, 求证:∠ACB=2∠BAC
D

执教者:

A

O

B

C

O A 图1 B C
C

O

A B

图2

-1-

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例2 OBC= 例 3 已知:如图 4,AB 是⊙O 的一条弦, ∠ACB 的平分线交 AB 于点 E,交⊙O 于点 D.
O B D E C

如图 2,在⊙O 中,∠BAC=α ,则∠
A

AC DC ? 求证: CE CB
四、课堂练习:

1、已知:如图,△ABC 内接与⊙O,AE⊥BC,垂足为 E,AD 是⊙O 的 直径。求证:AB?AC=AD?AE 2、 (变式练习) 如图,圆内接△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边上 的一点,E 是直线 AD 和 △ABC 外接圆的交点。 (Ⅰ) 求证:AB2=AD?AE (Ⅱ) 当 D 为 BC 延长线上的一点时, 第(Ⅰ)题的结 论成立吗?若成立请证明;若不成立,请说明理由 五、课堂小结 : 1、圆周角定理以及两个推论的证明和应用 2、几何证明中的“分类”和“转化”数学思想 的应用。 六、课后作业:课时作业 2.1 课后反思:
B E D

A

C

-2-

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课题:2.2 圆内接四边形的性质与判定定理
用定理理解相关的几何问题. 【学习重点】理解圆内接四边形的性质与判定定理. 【学习难点】应用定理理解相关问题. 【授课类型】新授课 【教 具】电子白板 个性设计 【学习方法】 【学习过程】 一、复习引入: 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内 接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图中的四边形 ABCD 叫做 ⊙O 的内接四边形,而⊙O 叫做四边形 ABCD 的外接圆. 二、新课学习: 问题:一般的圆内接四边形具有什么性质? 研究:圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形) 1、边的性质: (1)矩形:对边相等,对边平行. (2)正方形:对边相等,对边平行,邻边相等. (3)等腰梯形:两腰相等,有一组对边平行. 归纳:圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质. 2、角的关系 相邻两内角互补 矩形 正方形 等腰梯形 是 是 不是 有两组相等的角 是 是 是 相对两内角互补 是 是 是 主备人: 杜娟 执教者: 【学习目标】经历圆内接四边形性质定理的探究过程,理解圆内接四边形的性质与判定定理,能应

猜想:圆内接四边形的对角互补. (三)证明猜想 教师引导学生证明. (参看思路) 思路1:在矩形中,外接圆心即为它的对角线的中点,∠A 与∠B 均为 平角∠BOD 的一半,在一般的圆内接四边形中,只要把圆心 O 与一组对顶 点 B、D 分别相连,能得到什么结果呢?

思路2:在正方形中,外接圆心即为它的对角线的交点.把圆心与各

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顶点相连,与各边所成的角均方45°的角.在一般的圆内接四边形中, 把圆心与各顶点相连,能得到什么结果呢?

(四)性质及应用 定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任意一个外角等于它的内 对角. 三、讲解范例: 例1 已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于 A、 B 两点, 经过 A 的直线与⊙O1交于点 C, 与⊙O2 交于点 D. 过 B 的直线与⊙O1交于点 E, 与⊙O2 交于点 F.求证:CE∥DF. 四、课堂练习: 课本练习题 五、课堂小结 : 1.圆内接四边形的定义。 2.圆内接四边形的性质。 3.四边形四个顶点共圆的判定。 六、课后作业:课时作业 2.2 课后反思:

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高二数学 教·学案 课题:2.3 圆的切线的性质及判定定理 主备人: 杜娟 执教者:

【学习目标】理解圆的切线的性质及判定定理,能应用定理解决相关的几何问题。 【学习重点】圆的切线的性质及判定定理的理解 【学习难点】圆的切线的性质及判定定理的应用 【授课类型】新授课 【教 具】电子白板 个性设计 【学习方法】 【学习过程】 一、复习引入: 直线和圆有哪几种位置关系?如何判断直线和圆的位置关系? 直线和圆有三种位置关系:相交、相切、相离。 量化关系表示:设⊙O 的半径为r,直线l到圆心O的距离为d,则 有 (1) d<r ? 直线l和⊙O 相交; (2)d=r ? 直线l和⊙O 相切; (3)d<r ? 直线l和⊙O 相离. 图示如下:

o d

相交 l

o d l

相切

o d

相离

l

二、新课学习: 本节课我们重点关注直线和圆相切这种位置关系。 1、思考:在⊙O 中经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA,则圆心 O 到直线 l 的距离是多少?直线 l 和⊙O 有什 么位置关系? 因为d=r ? 直线l和⊙O 相切, d 就是 圆心 O 到直线 l 的距离,即垂直。并由d= r可得到 l 经过半径的外端点,即半径 OA 的 A 点。因此可得到切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。 根据上面的判定定理,如果你要证明一条直线是 如何证明? 点评: 分两步 (1) 说明这个点是圆上的点; (2) 过这点的半径垂直于直线。 1、 思考问题:如图,如果直线 l 是⊙O 的切 线,切点为 A,那么半径 OA 与直线 l 是不是一 定垂直呢?
A l O

O l A
⊙O 的切线,你应

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高二数学 教·学案 点评:由于 l 是⊙O 的切线,圆心 O 到 l 的距离等于半径,OA 是圆 到直线 l 的距离所以 OA⊥l. 由此得出圆的切线性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 三、讲解范例: 例 1 如图直线 AB 经过⊙O 上的点 C, 并且 OA=OB,CA=CB。求证:直线 AB 是 ⊙O 的切线。

O

四、课堂练习:

A

C

B

1、判断下列命题是否正确:(1)经过半径外端的直线是圆的切线.(2) 垂直于半径的直线是圆的切线.(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线。 (采取提问学生的形式进行,并要求说明理由) 2、如图,AB是⊙O 的直径,∠ABT=45 ,AT=AB。 求证:AT是⊙O 的切线。
o

B O

l2

A

O l1 B

T

A

3、如图,AB是⊙O 的直径,直线l1、l2是⊙O 的切线,A、B是 切点,l1、l2有怎样的位置关系?证明你的结论。 五.课堂小结 : 1、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。 2、切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 六、课后作业:课时作业 2.3 课后反思:

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高二数学 教·学案
课题:2.4 弦切角的性质
【学习重点】弦切角定理的应用 【学习难点】用分类讨论的方法证明弦切角定理. 【授课类型】新授课 【教 具】电子白板 个性设计 【学习方法】 【学习过程】 一、复习引入: 1、复习:什么样的角是圆周角? 2、弦切角的概念:圆周角∠CAB,让射线 AC 绕点 A 旋转,产生无数 个圆周角,当 AC 绕点 A 旋转至与圆相切时,得∠BAE.提问:∠EAC 有 何特点?
C
C

主备人: 杜娟

执教者:

【学习目标】理解弦切角定理,能应用定理解决相关的几何问题.

C
B

C

B O
O

O
A

O

A

A(B)

A(B)

E

I E

I

弦切角的定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做 弦切角. 练习 1 下图中,哪一个角是弦切角?
D

O

C

E

A

B

图3

练习 2:图 3 中有几个弦切角?( A、2 ;B、3; C、 4; D、5. 二、新课学习: (二)观察、猜想 观察图形,提问:



(1)、图 7(1)中,∠A 与∠P 有何关系?为什么? (2)、图 7(2)中,∠EAC 与∠P 有何共同点?

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分析比较:既然图 7(1)中∠A=∠P,那么图 7(2)中,∠EAC=∠P 吗? 这一结论是否能成立呢?我们不妨从最特殊的情形考虑一下. (1) 、圆心 O 在弦切角∠BAC 的边 AC 上, 此时显然有∠BAC=∠P=90°.
C C

B P P

A

A(B)

E

图7

由此我们完全有信心提出一个猜想:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周 角. (三)类比联想、论证 1、已经证明了最特殊的情形,下面考虑圆心
O C

Q C 2 2 P 1 B
P

Q C

在角内与角外两种情形. (2) 、圆心在角外,作⊙O 的直径 AQ,连 接 PQ(如图 9) , 则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.

O
A B

O P 1 A B

A

图9

图 10

(3) 、圆心在角内,作⊙O 的直径 AQ,连接 PQ(如图 10) ,
Q ∠APQ+∠2=∠APC. 则∠BAC=∠BAQ+∠1= C C 2 Q

2、回顾证明的方法:将情形(2) 、 (3)都 归至情形(1) ,利用角的合成,对三种情
2 O P 1 形进行完全归纳, 从而证明了上述的猜想, A 我们把所证得的结果取名为 B O P 1 A B

弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对 的圆周角.

图9

图 10

三、讲解范例:

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例 1:已知 AB 是 O 的直径,AC 是弦,直线 CE 和切于点 C,垂足为 D。 求证:AC 平分∠BAD. 四、课堂练习: 1.PQ 是⊙O 的切线,切点为 A,PBC 是⊙O 的割线,则与∠C 相等的 角是( )

A、∠P;B、∠CAQ;C、∠PAB;D、以上都不对。
Q
Q

A

A

B P
O P

B O

O
A

O B
C

B

A
E C D

C

图 11

E

图 11

图C 12

D

图 12

2.如图 12,AB 是⊙O 的直径,DE 切⊙O 于点 C,若∠ACD=40°,则 ∠BAC= ( )

A、30°;B、40°;C、50°;D、60°。 3.DE 切⊙O 于点 A ,AB、AC 是⊙O 的弦,若 AB=AC,且∠DAB=45°, 则∠BAC= ( )

A、45°;B、50°;C、60°;D、90°。 五、课堂小结 : (1) 分清弦切角与圆周角的区别,正确地识别弦切角所夹弧所对的圆 周角。 (2)要学会从特殊情况入手,再把一般情况转化为特殊情况,即“特殊 ----一般------特殊”的思想方法。 六、课后作业:课时作业 2.4 课后反思:

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课题:2.5 与圆有关的比例线段
主备人: 杜娟 执教者:

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【学习目标】经历圆幂定理(相交弦问题,割线定理,切割线定理,切线长定理)的探究过程,理 解圆幂定理,能应用定理解相关的几何问题。 【学习重点】定理的证明过程。 【学习难点】用运动变化思想方法探究几何问题。 【授课类型】新授课 【教 具】电子白板 个性设计 【学习方法】 【学习过程】 一、复习引入: 1、如右图,图形变换: (利用电脑使 AB 与 CD 弦变动) ①引导学生观察图形,发现规律:∠A=∠D, ∠C=∠B. ②进一步得出:△APC∽△DPB.

PA PC AC ? ? PB DB . PD
③如果将图形做些变换,去掉 AC 和 BD,图中线段 PA,PB,PC,PO 之间的关系会发生变化吗?为什么? 组织学生观察,并回答. 2、证明: 已知:弦 AB 和 CD 交于⊙O 内一点 P. 求证:PA·PB=PC·PD. (证明略) 二、新课学习: 1、相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的 积相等. 结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理:在⊙ O 中;弦 AB,CD 相交于点 P,那么 PA·PB=PC·PD. 2、从一般到特殊,发现结论. 对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一 条是直径,并且它们互 相垂直如图,AB 是直径,并且 AB⊥CD 于 P. 提问:根据相交弦定理,能得到什么结论? 指出:PC =PA·PB. 请学生用文字语言将这一结论叙述出来,如果叙述不完全、不准 确.教师纠正,并板书. 推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条 线段的比例中项. 3、深刻理解推论:由于圆是轴对称图形,上述结论又可叙述为:
2

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半圆上一点 C 向直径 AB 作垂线,垂足是 P,则 PC =PA·PB. 若再连结 AC,BC,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有: PC =PA·PB ;AC =AP·AB;CB =BP·AB 4.交点在圆外时有什么结论? 引导学生探究,割线定理,切割线定理,切线长定理。 三、讲解范例: 例 1 已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为 12 厘米和 16 厘米 两段,第二条弦的长为 32 厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长. 引导学生根据题意列出方程并求出相应的解. 例2 已知:线段 a,b.
2 2 2 2 2

求作:线段 c,使 c =ab. 四、课堂练习: 练习 1 如图,AP=2 厘米,PB=2.5 厘米,CP=1 厘米,求 CD. 变式练习: 若 AP=2 厘米, PB=2. 5 厘米, CP, DP 的长度皆为整数. 那 么 CD 的长度是 多少? 将条件隐化,增加难度,提高学生学习兴趣 练习 2 如图,CD 是⊙O 的直径,AB⊥CD,垂足为 P, AP=4 厘米,PD=2 厘米.求 PO 的长. 练习 3 如图:在⊙O 中,P 是弦 AB 上一点,OP⊥ 求证:PC =PA·PB
2

PC,PC 交⊙O 于 C. 六、课堂小结 :

知识:相交弦定理及其推论; 能力:作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力; 思想方法:学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思 想方法 六、课后作业:课时作业 2.5 课后反思:

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