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高中数学


(焦点在 x 轴) 标准 方程

(焦点在

y 轴)

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2
椭圆,这两个定点叫焦点,两定点间距离焦距。

y2 x2 + = 1(a > b > 0) a2 b2

第一定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹叫做

{M

MF1 + MF2 = 2 a} 2 a > F1 F2
y
M

(

)
y
F2
M

F1

O

F2

x

O

x

F1



义 第二定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正常数时,这个动 点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线。

y y
M M

F2

M

F1

F2

x

F1

M

x





x ≤a

y ≤b

x ≤b

y ≤a

顶点坐标

( ± a,0) (0, ± b )

(0,± a ) ( ±b, 0)

对 称 轴 对称中心

x 轴, y 轴;长轴长为 2a ,短轴长为 2b
原点

O (0, 0)

F1 (c, 0)
焦点坐标

F2 (?c, 0)
焦点在长轴上,

F1 (0, c )
; 焦距:

F2 (0, ?c)
F1 F2 = 2c

c = a 2 ? b2

1

离 心 率

c c2 a2 ? b2 2 e = ( 0 < e < 1) , e = 2 = a a a
e 越大椭圆越扁, e 越小椭圆越圆。

准线方程

a2 x=± c

a2 y=± c

2a 2 准线垂直于长轴,且在椭圆外;两准线间的距离: c
顶点到准线的 距离 焦点到准线的 距离

a2 +a 顶点 A1( A2 ) 到准线 l 2( l1 ) 的距离为 c a2 a2 +c ? c 焦点 F1( F2 )到准线 l 2( l1 )的距离为 焦点 F1( F2 ) 到准线 l1( l 2 ) 的距离为 c c
a2 ?a 顶点 A1( A2 ) 到准线 l1( l 2 ) 的距离为 c
最大距离为:

椭圆上到焦点 的最大( 的最大(小)距 离 椭圆的参数方 程

a + c 最小距离为: a ? c

相关应用题:远日距离

a+c

近日距离

a?c
? x = a cos ? ( ? 为参数) ? ? y = b sin ?
利用参数方程简便:椭圆 ?

? x = b cos ? ( ? 为参数) ? ? y = a sin ?

椭圆上的点到 给定直线的距 离

? x = a cos ? ( ? 为参数)上一点到直线 Ax + By + C y = b sin ? ?

= 0 的距

离为: d

=

|Aa cos ? + Bb sin ? + C| A2 + B 2

直线和椭圆的 位置

x2 y2 椭圆 2 + 2 = 1 与直线 y = kx + b 的位置关系: a b
? x2 y2 ? 2 + 2 =1 b 利用 ? a 转化为一元二次方程用判别式确定。 ? y = kx + b ?

2

相交弦 AB 的弦长 通径:

AB = 1 + k 2 (x1 + x2 )2 ? 4x1 x2

AB = y2 ? y1
利用导数

过椭圆上一点 的切线

x0 x y 0 y + 2 =1 a2 b

y0 y x0 x + 2 =1 2 a b

利用导数

例 1.已知椭圆

x2 y2 + = 1(a, b > 0) 长半轴的长等于焦距,且 x = 4 为它的右准线, a 2 b2

x2 y2 + =1 椭圆的标准方程为:______________ 4 3
例 2.椭圆

x2 y2 + 上一点 P 到左准线的距离为 10,F 1 是左焦点,O 是坐 =1 25 16

标原点,点 M 满足

1 ,则 OM = (OP + OF1 ) 2

2

| OM |=

y
P
M

F1

o

F2

x

x2 y2 例3.(06模拟 )设椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0)的两焦点为 F1 , F2 , 若椭圆上存在一点 P a b 使 PF1 ? PF2 = 0, 求椭圆离心率 e的范围.

3

解法一 :设 P ( x 0 , y 0 ), 则 | PF1 |= a + ex 0 , | PF 2 |= a ? ex 0 , | F1 F2 |= 2 c , ∵ PF1 ? PF 2 = 0,∴ PF1 ⊥ PF 2 | PF1 | + | PF 2 | =| F1 F2 |
2 2 2

y
P
F1

o

F2

x

( a + ex 0 ) 2 + (a ? ex 0 ) 2 = 4c 2 即 e 2 x 0 = 2c 2 ? a 2
2

p在椭圆上但不在 x轴上 ∴ 0 ≤ x 0 < a 2 ,∴ 0 ≤ e 2 x 0 < c 2
2 2

∴ 0 ≤ 2c 2 ? a 2 < c 2 2 ,1) 2

∴ e ∈[

y
P
F1

解法二: PF1 ? PF2 = 0,∴ PF1 ⊥ PF2 ∵ 所以P在以F1 F2 为直径的圆上, 而P又在椭圆上,所以圆与椭圆有公共点, ∴b ≤ c ? b2 ≤ c2. ∴a ? c2 ≤ c2 ,
2

o y

F2

x

a2 2 ∴ ≤ c2 ? ≤ e <1 2 2
4

F1

o

F2

x

例4.(06四川)把椭圆

x2 y2 + = 1的长轴分成8等分,过每个分点作 x轴 25 16

的垂线交椭圆上半部分 于P 1 ,P2, … P7 七个点, F1是椭圆的左焦点, … 则 | P1 F1 | + | P2 F1 | + …… + | P7 F1 |= ___
解法一:设 P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7的横坐标分别为 x1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 | P1 F1 | + | P2 F1 | + | P3 F1 | + … + | P6 F1 | + | P7 F1 |
解法二:连接 + x 3 + 6 F + P5 ) = 7 a + e ( x1 + x 2 P7 F2, P…2,x 7 F2,由题意知, | a = |= | | = 7P7 F2 35| P1 F1 | ,P6 F2 |=| P2 F1 | ,P5 F2 |=| P3 F1 | , ∴| P1 F1 | + | P2 F1 | + | P3 F1 | + | P4 F1 | + | P5 F1 | + | P6 F1 | + | P7 F1 | =| P7 F2 | + | P7 F1 | + | P6 F2 | + | P6 F1 | + | P5 F2 | + | P5 F1 | + | P4 F1 | = 7 a = 35

y
P P4 P P 3 5 6 P P2 P 1 7
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

y
3 5 P2 P P4 P P P 6 P 7 1

F1

o

F2

x

变式练习: 把椭圆

x2 y 2 + = 1的长轴分成8等分,过每个分点作 轴的垂线交椭圆上 x 25 16

半部分于P1 ,P2, … P7 七个点,F1是椭圆的左焦点 长轴与椭圆交于P0 , P8 , 判断 , … | P0 F1 |, | P1F1 |, | P2 F1 | … | P8 F1 | ,是否为等差数列? 说明理由,若是求出公 . 差

y
解 : 设 P0, P1 …… P8的横坐标为 x0, x1 …… x8, n }为等差数列, {x 公差为 d = 10 5 5 = (0 ≤ n ≤ 8, n ∈ N )。 8 4
3 5 P2 P P4 P P P 6 P 1 7

P 0
F1

o

P 8
F2

x

∵| P F |= a + ex ,P F | ? | P F |= ed |

1.下列命题是真命题的是





A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
2 B.到定直线 x = a 和定点 F(c,0)的距离之比为 c 的点的轨迹是椭圆 c a 2 C.到定点 F(-c,0)和定直线 x = ? a 的距离之比为 c (a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆 c a 2 D.到定直线 x = a 和定点 F(c,0)的距离之比为 a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆 c c

2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是
2 2 A. y + x = 1

8

4

B. y + x = 1

2

2

10

6

5 3 2 2 y2 x2 C. + =1 4 8


2 2



3.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 A. 0,+∞) ( B . 0 ,2 ) ( C. 1,+∞) ( 4.设定点 F1(0,-3) F2(0,3) 、 ,动点 P 满足条件 PF1 + PF2 = a +

D. x + y = 1 10 6 ( ) D . 0 ,1 ) (

9 (a > 0) ,则点 P 的轨迹是 a
D.椭圆或线段

A.椭圆
2 2 2

B.线段
2

( ) C.不存在

5.椭圆

x y x y + = 1和 2 + 2 = k a2 b2 a b

(k > 0) 具有
2 4





A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为 A.

D.相同的长、短轴 ( ) D.

1 4

B.

2 2

C.

1 2

7.已知 P 是椭圆

x2 y2 17 + = 1 上的一点,若 P 到椭圆右准线的距离是 ,则点 P 到左焦点的距离是 100 36 2
( )

16 A. 5
8.椭圆

66 B. 5

75 C. 8

77 D. 8

D. 10

x2 y2 + = 1 上的点到直线 x + 2 y ? 2 = 0 的最大距离是 16 4
B. 11
2 2



A.3 9.在椭圆

C. 2 2

y x + = 1 内有一点 P(1,-1) F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点 M,使|MP|+2|MF|的值最 , 4 3

B.

小,则这一最小值是
A.



5 2

7 2

C .3

D .4

10.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆

为 k1( k1
C.

1 2

≠ 0) ,直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为 1 D.- 2
6

x2 + y 2 = 1 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 m 的斜率 2
( )A.2
B . - 2

15.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程. 3 8 x 2 25 y 2 16.已知 A、B 为椭圆 2 + =1 上两点,F2 为椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|= a,AB 中点到椭圆左 2 a 5 9a 3 准线的距离为 ,求该椭圆方程. 2 2 x y2 17.过椭圆 C : + = 1上一点P( x0 , y 0 )向圆O : x 2 + y 2 = 4 引两条切线 PA、PB、A、 8 4 =
B 为切点,如直线 AB 与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点. (1)若 PA ? PB 18.椭圆 x
2

= 0 ,求 P 点坐标; (2)求直线 AB 的方程(用 x 0 , y 0 表示) ;

(3)求△MON 面积的最小值. 为原点) (O

a2

+

y2 = 1 (a > b > 0) 与直线 x + y = 1 交于 P 、 Q 两点,且 OP ⊥ OQ ,其中 O 为坐 b2
的值; (2)若椭圆的离心率 e 满足

标原点. (1)求

1 1 + 2 2 a b

3 ≤ e ≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围 3 2

19.一条变动的直线 L 与椭圆

x2 4

+

y2 2

=1 交于 P、Q 两点,M 是 L 上的动点,满足关系|MP|·|MQ|=2.若

直线 L 在变动过程中始终保持其斜率等于 1.求动点 M 的轨迹方程,并说明曲线的形状. 20.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2

2 ,相应于焦点 F(c,0) c > 0 )的准线 l 与 x 轴相交于点 (

A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点 . (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ (3)设

= 0 ,求直线 PQ 的方程;
P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M,证明

AP = λ AQ ( λ > 1 ) ,过点

FM = ?λ FQ .(14 分)
题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 A 5 A 6 D 7 B 8 D 9 C 10 D

b=4 5
15.(12 分) [解析]:由

e=
2

c 2 = a 3
2 2

?

a = 12 c=8

,∴椭圆的方程为:

y2 x2 x2 y2 + =1或 + =1. 144 80 144 80

a ?b = c

16.(12 分) [解析]:设 A(x1,y1),B(x2,y2),∵ e = 即 AB 中点横坐标为 x2+ 25 y2=1.
9

4 8 1 , 由焦半径公式有 a-ex1+a-ex2= a ,∴x1+x2= a , 2 5 5

1 5 1 5 3 a ,又左准线方程为 x = ? a ,∴ a + a = ,即 a=1,∴椭圆方程为 4 4 4 4 2

17.(12 分) 7

[解析]: (1)∵ PA ? PB = 0 由? ?

∴ PA ⊥ PB

∴OAPB 的正方形

?x + y = 8
2 0 2 0

32 2 2 2 ? x0 = =8 x0 y 0 4 =1 ? + 4 ?8

∴ x0 = ±2 2 ∴P 点坐标为( ± 2 2 ,0 )

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 PA、PB 的方程分别为 x1 x +

y1 y = 4, x 2 x + y 2 y = 4 ,而 PA、PB 交于 P(x0,y0)

即 x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4,∴AB 的直线方程为:x0x+y0y=4 (3)由 x x + y y = 4 得 M ( 4 , 0 ) 、 N (0, 4 ) 0 0

S ?MON

y0 1 1 4 4 1 |?| |= 8 ? = | OM | ? | ON |= | 2 2 x0 y0 | x0 y0 |
x0 2 2 ? y0 x2 y2 8 8 |≤ 2 2 ( 0 + 0 ) = 2 2 ∴ S ?MON = ≥ =2 2 2 8 4 | x0 y0 | 2 2

x0

∵| x 0 y 0 |= 4 2 |

y0 | 时 , S ?MON min = 2 2 . 2 2 2 18. (12 分)[解析]:设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ
当且仅当 |

x0

|=|

?

x 1x 2 + y1 y 2 = 0

∵ y1 = 1 ? x1 , y 2 = 1 ? x 2 , 代入上式得:x1 x 2 ? ( x1 + x 2 ) + 1 = 0 2
2 2

① 又将 y = 1 ? x代入

y x 2a 2 + 2 = 1 ? (a 2 + b 2 ) x 2 ? 2a 2 x + a 2 (1 ? b 2 ) = 0 ,∵ ? > 0,∴ x1 + x 2 = 2 , a2 b a + b2 a 2 (1 ? b 2 ) 代入①化简得 1 + 1 = 2 . x1 x 2 = 2 a + b2 a2 b2
(2) ∵ e 2 =

a2 c2 b2 1 b2 1 1 b2 2 = 1 ? 2 ∴ ≤ 1 ? 2 ≤ ? ≤ 2 ≤ , 又由(1)知 b 2 = 3 2 2 a 3 2a 2 ? 1 a2 a a 1 1 2 5 3 5 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5 , 6 ]. ∴ ≤ 2 ≤ ? ≤ a2 ≤ ? ≤a≤ 2 2a ? 1 3 4 2 2 2

19.(14 分) [解析]:设动点 M(x,y),动直线 L:y=x+m,并设 P(x1,y1),Q(x2,y2)是方程组 ? y = x + m, 的解, ? 2 x + 2 y2 ? 4 = 0 ? 消去 y,得 3x2+4mx+2m2-4=0,其中 ?=16m2-12(2m2-4)>0,∴-
2 x1x2= 2m ? 4 ,又∵|MP|= 3

6 <m< 6 ,且 x1+x2=- 4m ,
3

2 |x-x1|,|MQ|= 2 |x-x2|.由|MP||MQ|=2,得|x-x1||x-x2|=1,也即
4mx 2m 2 ? 4 2 2 2 2 + = 1. ∵m=y-x,∴|x +2y -4|=3.由 x +2y -4=3,得 3 3

|x2-(x1+x2)x+x1x2|=1,于是有 x 2 + 椭圆

x 2 2x 2 + = 1 夹在直线 y = x ± 6 间两段弧, 且不包含端点. x2+2y2-4=-3, 由 得椭圆 x2+2y2=1. 7 7

2 2 20.(14 分) [解析]: (1)由题意,可设椭圆的方程为 x + y = 1(a > 2

?a 2 ? c 2 = 2, 2 ) .由已知得 ? ? a2 2 a ?c = 2( ? c). c ? 2 2 解得 a = 6 , c = 2 ,所以椭圆的方程为 x + y = 1 ,离心率 e = 6 . 6 2 3

8

? x2 y2 + = 1, (2)解:由(1)可得 A(3,0) .设直线 PQ 的方程为 y = k ( x ? 3) .由方程组 ? 2 ?6 ? y = k ( x ? 3) ? 2 6 6 . 得 (3k 2 + 1) x 2 ? 18k 2 x + 27k 2 ? 6 = 0 ,依题意 ? = 12( 2 ? 3k ) > 0 ,得 ? <k< 3 3 2 18k 2 , ① 27k ? 6 . ②,由直线 PQ 的方程得 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 + x 2 = x1 x 2 = 3k 2 + 1 3k 2 + 1

y1 = k ( x1 ? 3), y 2 = k ( x 2 ? 3)

.于是 y1 y 2 = k 2 ( x1 ? 3)( x 2 ? 3) = k 2 [ x1 x 2 ? 3( x1 + x 2 ) + 9] . ③ ④,由①②③④得 5k
2

∵ OP ? OQ = 0 ,∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 . 所以直线 PQ 的方程为 x ?

= 1 ,从而 k = ±

5 6 ∈ (? , 5 3

6 . ) 3

5y ? 3 = 0 或 x + 5y ? 3 = 0 .

(2)证明: AP = ( x1 ? 3, y1 ), AQ = ( x 2 ? 3, y 2 ) .由已知得方程组

? x1 ? 3 = λ ( x 2 ? 3), ? y = λy , 2 ? 1 ? x12 y12 注意 λ > 1 ,解得 x = 5λ ? 1 ,因 F ( 2, 0), M ( x1 , ? y1 ) ,故 2 ? + = 1, 2λ 6 2 ? ? x2 y2 ? 2 + 2 = 1. 2 ?6 1? λ λ ?1 FM = ( x1 ? 2, ? y1 ) = (λ ( x2 ? 3) + 1, ? y1 ) = ( , ? y1 ) = ?λ ( , y2 ) . 2 2λ 而 FQ = ( x ? 2, y ) = ( λ ? 1 , y ) ,所以 FM = ?λ FQ . 2 2 2 2λ

9


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