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新课标2017春高中数学第2章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5


新课标导学

数 学
必修5 ·人教A版

第二章
数列 2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念与通项公式

1

课前自主学习

2
3

课堂典例讲练

课 时 作 业

课前自主学习

汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载,大意如下:在平地上 立八尺高的土圭,日中测影,在二十四节气中,冬至影长 1 丈 3 尺 1 5 寸,以后每一节气影长递减 9 寸 9 分;夏至影最短,仅长 1 尺 6 6 1 寸,以后每一节气影长递增 9 寸 9 分.如果把这些影长记录下来, 6 会构成一个什么样的数列呢?

1.观察下列各组数据:
(1)有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位:cm)依次为16,32,48, 64,80,96,112,128,?,320.

(2)鞋的尺码,按照国家规定,有:22,22.5,23,23.5,24,24.5,?
(3)奥运会每4年举行一届,2008年在北京举行,此后的奥运会举办年份依次 为:2012,2016,2020,?.

思考:(1)它们构成数列吗? (2)算一算从第2项起每项与它的前一项的差,你发现了什么? (3)从这些数列中任取一项,如果它既有前项又有后项,算一算它与前后项

之间具有什么关系?
(4)你能用一个递推关系式来表示它们吗?

2.等差数列的定义是怎样的?对于等差数列定义的理解应注意什么?

定义:一般地,如果一个数列从第 ________ 项起,每一项与它的前一项的 2
差 ________ 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差 数列的公差,公差通常用字母d表示.若公差d=0,则这个数列为常数列. (1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项. (2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”.

(3)“同一个常数 d”,d是等差数列的公差,即d=an -an -1 ,d可以为零,
当d=0时,等差数列为常数列,也就是说,常数列是特殊的等差数列. (4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据,即an+1

-an=d(常数)(n∈N*)?{an}是等差数列.

3.等差数列的通项公式

以a1为首项,d为公差的等差数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d 你会推导吗? ________________.
提示:∵数列{an}是等差数列, ∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,?,a2-a1=d. 以上各式的左、右两边分别相加,得an-a1=(n-1)d,

∴an=a1+(n-1)d.

注意:(1)如果将通项公式 an=a1+(n-1)d 看成关于 n 的函数,其图象是一条 直线上的一群孤立点.这条直线的斜率为 d,截距为 a1-d. (2)公式中有四个量,即 an,a1,n,d.已知其中任意三个量,通过解方程都可 求得剩下的一个量. (3)等差数列的通项公式可推广为 an=am+(n-m)d(m,n∈N*).由此可知已知 等差数列的任意两项,就可求出其他的任意一项.

4.等差中项

a+b 如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,即A=________. 2
注意:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是 它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的 某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m、n∈N*,

m<n).

1.下列数列是等差数列的是 导学号 54742247 ( D ) 1 1 1 1 A. , , , 3 5 7 9 C.1,-1,1,-1 B.1, 3, 5, 7 D.0,0,0,0

1 1 1 1 [解析] ∵ - ≠ - ,故排除 A;∵ 3-1≠ 5- 3,故排除 B; 5 3 7 5 ∵-1-1≠1-(-1),故排除 C,∴选 D.

2 . (2016· 湖北武汉第一中学期中) 2+1 与 2-1 的等差中项是 导学号 54742248 ( C ) A.1 C. 2 B.-1 D.± 1

? 2+1?? 2-1? [解析] 设等差中项为 x,由等差中项的定义知 x= = 2. 2

2n-1 3 . 等 差 数 列 {an} 中 , a3 = 5 , a7 = 13 , 则 通 项 公 式 an = ________.

导学号 54742249
[解析] 设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由题意,得
? ?a1+2d=5 ? ? ?a1+6d=13 ? ?a1=1 ,解得? ? ?d=2

.

∴an=a1+(n-1)d=2n-1.

课堂典例讲练

命题方向1 ?等差数列的判断与证明
判断下列数列是否为等差数列. 导学号 54742250 (1)an=3-2n;(2)an=n2-n.

[分析] 本题考察判断数列是否是等差数列, 即判断 an+1-an(n∈N*)是否为同 一个常数.

[解析] (1)∵an+1-an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2,是常数, ∴数列{an}是等差数列. (2)∵an+1-an=[(n+1)2-(n+1)]-(n2-n)=2n,不是常数, ∴数列{an}不是等差数列.

『规律总结』

定义法是判定数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤

为:
(1)作差an+1-an; (2)对差式进行变形; (3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an 不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.

〔跟踪练习 1〕 导学号 54742251 已知数列的通项公式为 an=6n-1,问这个数列是等差数列吗?若是等差数 列,其首项与公差分别是多少?

[解析] ∵an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6(常数), ∴{an}是等差数列,其首项 a1=6×1-1=5,公差为 6.

命题方向2 ?等差数列的证明
b+c c+a a+b 1 1 1 已知 , , 成等差数列,求证: , , 也成等差数 a b c a b c 列. 导学号 54742252
[分析] 由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.

1 1 1 2 1 1 [证明] ∵ , , 成等差数列,∴ = + , a b c b a c b?a+c? 则 b(a+c)=2ac,∴ac= 2 b+c a+b ?b+c?c+?a+b?a b?a+c?+a2+c2 2ac+a2+c2 2?a+c? ∴ + = = = = , a c ac ac 1 b b?a+c? 2 b+c c+a a+b 即 , , 也成等差数列. a b c

『规律总结』 (n≥2).

证明一个数列是等差数列常用的方法有:①利用定义法,

即证an+1-an=常数;②利用等差中项的概念来进行判定,即证2an=an-1+an+1

〔跟踪练习 2〕 导学号 54742253 1 1 1 若 , , 成等差数列,求证:a2,b2,c2 成等差数列. b+c a+c a+b

1 1 2 [证明] 由已知得 + = , b+c a+b a+c 2b+a+c 2 即 = . ?b+c??a+b? c+a 即(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b). ∴a2+c2=2b2,∴a2,b2,c2 成等差数列.

命题方向3 ?等差数列的通项公式
在等差数列{an}中: 导学号 54742254 (1)已知 a5=-1,a8=2,求 a1 与 d; (2)已知 a1+a6=12,a4=7,求 a9.

[分析] 根据等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,由条件可建立关于 a1、d 的二元一次方程组解出 a1、d.

[解析]

? ?a1+?5-1?d=-1 (1)由题意知? ? ?a1+?8-1?d=2

? ?a1=-5 ,解得? ? ?d=1

.

? ?a1+a1+?6-1?d=12 (2)由题意知? ? ?a1+?4-1?d=7

? ?a1=1 ,解得? ? ?d=2

.

∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.

『规律总结』

1.构成等差数列的基本量是a1和d,根据已知条件列出关于

a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.
2.若已知等差数列中的任意两项am,an,求通项公式或其它项时,应用an =am+(n-m)d较简便.

〔跟踪练习 3〕 导学号 54742255 100 是不是等差数列 2,9,16,?的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理 由.
[解析] ∵a1=2,d=9-2=7, ∴an=2+(n-1)×7=7n-5, 由 7n-5=100,得 n=15. ∴100 是这个数列的第 15 项.

命题方向4 ?构造解题法
1 3an 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 = , an + 1 = , 试 探 究 {an} 的 通 项 公 2 3-an 式. 导学号 54742256
[分析] 可用列举观察法求解;也可用变形构造法求解.

3an 1 1 1 [解析] 将 an+1= 变形为 - =- , 3 3-an an+1 an 1 1 令 bn= ,则 bn+1-bn=- , an 3 1 1 ∴数列{bn}构成等差数列,首项 b1= =2,公差 d=- , a1 3 7-n 1 ∴bn=b1+(n-1)d=2- (n-1)= , 3 3 3 ∴an= . 7-n

1 『规律总结』 (1)注意观察可以发现 - =P(P 为常数)可变形为 an+1= an+1 an an kan .因此形如 an+1= 的数列可转化为等差数列求解. Pan+1 man+k (2)在本章的许多问题中,需用构造法,构造一个新数列,使新数列成等差(或 等比)数列,从而使原问题获得解决.

1

〔跟踪练习 4〕 导学号 54742257 2 1 1 2 (2015· 宁波高一检测)数列{an}满足 a1=1,a2= ,且 + = (n≥2),则 3 an-1 an+1 an an=( A ) 2 A. n+1 2n C.( ) 3 2 n-1 B.( ) 3 2 D. n+2

2 1 1 3 1 [解析] 因为 a1=1,a2= ,所以 - = -1= . 3 a2 a1 2 2 2 1 1 1 1 因为 + = (n≥2),所以 - = - (n≥2). an-1 an+1 an an+1 an an an-1 1 1 所以数列{ }是首项为 1,公差为 的等差数列. an 2 n+1 1 1 2 所以 =1+ (n-1)= ,所以 an= . an 2 2 n+1 1 1

已知数列 {an} , {bn} 均为等差数列,且 {an} 为 2,5,8 ,?, {bn} 为 1,5,9 ,?,它们的项数均为 40 ,则它们有多少个彼此具有相 同数值的项? 导学号 54742258

[错解] 由已知两等差数列的前 3 项,容易求得它们的通项公式分别为:an= 3n-1,bn=4n-3(1≤n≤40,且 n≤N*). 令 an=bn,得 3n-1=4n-3,∴n=2.∴两数列只有第 2 项数值彼此相同.

[辨析]

本题所说的数值相同的项,在各自数列中的序号不一定相同,只是

在这两个数列中找数值相同的项.

[正解] 由已知两等差数列的前 3 项,容易求得它们的通项公式分别为:an= 3n-1,bm=4m-3(m、n∈N*,且 1≤n≤40,1≤m≤40).令 an=bm,得 3n-1=4m -3, 4m-2 2?2m-1? 即 n= = .令 2m-1=3t,∵(2m-1)∈N*为奇数, 3 3 3t+1 ∴t∈N 且为奇数,∴m= ,n=2t.而 1≤m≤40,1≤n≤40, 2
*

79 ?1 ? 3t+1 ?3≤t≤ 3 , ?1≤ ≤40, 2 ∴? 解得? 1 ? ? ≤t≤20. ?1≤2t≤40, 2 ? 1 ∴ ≤t≤20.又 t∈N*且为奇数,∴两数列中共有 10 个数值相同的项. 2

[警示] (1)注意等差数列的定义式 an+1-an=常数, 对任意允许自然数 n 都必 须成立.(2)正确区分项 、项数 、项的序号. . .. ...

〔跟踪练习 5〕 导学号 54742259 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,2an+1=2an+3(n≥2,n∈N*),判断{an}是否是 等差数列.

3 [错解] ∵2an+1=2an+3,∴an+1-an= ,故数列{an}是等差数列. 2 3 [辨析] 审题错误,没有注意条件 n≥2.当 n≥2 时,an+1-an= ,这说明这个 2 3 数列从第二项起,后一项与前一项的差为同一个常数,而 a2-a1=1≠ .漏审条件 2 而误认为是等差数列. 3 3 [正解] 当 n≥2 时,由 2an+1=2an+3,得 an+1-an= .但 a2-a1=1≠ ,故数 2 2
列{an}不是等差数列.

1. 已知数列 3,9,15, ?, 3(2n-1), ?那么 81 是它的第几项 导学号 54742260 ( C ) A.12 C.14 B.13 D.15

[解析] an=3(2n-1)=6n-3,由 6n-3=81,得 n=14.

2. 若数列{an}的通项公式为 an=-n+5, 则此数列是 导学号 54742261 ( A ) A.公差为-1 的等差数列 C.首项为 5 的等差数列 B.公差为 5 的等差数列 D.公差为 n 的等差数列

[解析] ∵an=-n+5, ∴an+1-an=[-(n+1)+5]-(-n+5)=-1, ∴{an}是公差 d=-1 的等差数列.

46 3. 等差数列 1, -1, -3, -5, ?, -89, 它的项数是________. 导学号 54742262

[解析]

a1=1,d=-1-1=-2,∴an=1+(n-1)· (-2)=-2n+3,由-89

=-2n+3 得:n=46.

4.(2016· 广东江门一模){an}是等差数列,a1 与 a2 的等差中项为 1,a2 与 a3 的 等差中项为 2,则公差 d= 导学号 54742263 ( C ) A.2 C.1 3 B. 2 1 D. 2

[解析] ∵{an}是等差数列,a1 与 a2 的等差中项为 1,a2,a3 的等差中项为 2, ∴a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得 a3-a1=2d=4-2,解得 d=1.


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