北京市第八十中学2010-2011学年度第一学期期中考试高一数学(必修一)A卷

北京市第八十中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试 高一数学（必修一）A 卷
考试时间：100 分钟 试卷满分：100 分 班级： 姓名： 成绩： 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1． 已知集合 A ? ? x | x( x ? 1) ? 0? ，那么 A． 0 ? A B． 1? A C． ?1? A 2． 下列函数中，与函数 y ? x( x ≥ 0) 有相同图象的一个是 A． y ? x 2 B． y ? D． 0 ? A D． y ?
x2 x

? x?

2

C． y ? 3 x 3
x

?1? 3． 在同一坐标系中，函数 y ? 2 与 y ? ? ? 的图象之间的关系是 ?2?
x

A．关于 y 轴对称 B．关于 x 轴对称 C．关于原点对称 4． 下列函数中，在区间 (0 ， ?) 上是减函数的是 ? A． y ? x 2 ? 1 B． y ? x3 C． y ? ?3x ? 2

D．关于直线 y ? x 对称

D． y ? log 2 x

5． 下列函数为偶函数的是 A． f ( x) ?
x2 ? 1 x

B． f ( x) ? ln

1? x 1? x

C． f ( x) ?

e x ? e? x e x ? e? x

D． f ( x) ?| x |

6． 已知函数 f ( x ? 1) ? log2 (2 x ? 1) ，那么 f ( x) 的定义域是
1? ? A． ? x | x ? ? ? 2? ? 1? ? B． ? x | x ? ? 2? ? 2? ? C． ? x | x ? ? ? 3? ?

D． ? x | x ? 0?

7． 若 P ? log2 3 ? log3 4 ， Q ? lg 2 ? lg5 ， M ? e0 ， N ? ln1 ，则正确的是 A． P ? Q B． Q ? M
? 1 2

C． M ? N 的大小关系是

D． N ? P

? 10 ? 8． P ? log 2 3 ， Q ? log4 5 ， R ? ? ? ?9?

A． P ? Q ? R B． Q ? P ? R C． R ? Q ? P D． P ? R ? Q 9． 将一次函数 y ? kx ? b 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得的图象对应 的解析式仍然是 y ? kx ? b ，则 k 的值为 A．
? 2

B．

2 3

C． ?

2 3

D． ?

3 2

10．已知实数 x ， y 满足 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ，则 s ? x2 ? 2 y 2 ? 4 y 的最小值为 A．48 B．20 C．0 D． ?16

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，将答案填在题中的横线上． 11．若全集 U ? R ，集合 A ? ? x | x ? 1? ， B ? ?x | x ? 2? ，则集合 A ? ? ?U B ? ? ___________． 12．若幂函数 f ( x) 的图象经过点 (2 ， ，则 f ( x) 的解析式是_____________． 4) 13．若函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在区间 ?1 ，? ? ? 上单调递增，则 a 的取值范围是_____________． 14．已知 f ( x) 是定义在 ? ?2 ， ? ? ? 0 ，2? 上的奇函数，当 x ? 0 时， f ( x) 的图象如 0 右图所示，那么 f ( x) 的值域是_________________．
?2 x ， x ? 1 15．函数 f ( x) ? ? ，若方程 f ( x) ? a 有两个不相等的实数解，则 a 的取 ?2 x ? 1，x ≥ 1

值范围是________． 16． x1 ，x2 ? R ，x1 ≠ x2 ， 若 则下列性质对函数 f ( x) ? 2 x 成立的是_____________． （把满足条件的序号全部写在横线上） ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③ [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
?x ?x ? ④ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ? 1 2 ? ? 2 ?

三、解答题：本大题共 4 小题，共 36 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分 8 分） 已知非空集合 A ? ? x | x 2 ? ax ? b ? 0? ， B ? ? x | x 2 ? 8 x ? 15 ? 0? ，且 A ? B ． ⑴ 写出集合 B 所有的子集； ⑵ 求 a ? b 的值．

18． （本小题满分 8 分）
1 ． x ⑴ 求 f ( x) 的定义域；

已知函数 f ( x) ? x ?

⑵ 用单调性定义证明函数 f ( x) ? x ?

1 在 (0 ， ?) 上单调递增． ? x

19． （本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ? 0 时， f ( x) ? x 2 ? x ． ⑴ 计算 f (0) ， f (?1) ； ⑵ 当 x ? 0 时，求 f ( x) 的解析式．

20． （本小题满分 10 分） 已知函数 f ( x) ? log 2 (4 x ? 1) ? ax ． ⑴ 若函数 f ( x) 是 R 上的偶函数，求实数 a 的值； ⑵ 若 a ? 4 ，求函数 f ( x) 的零点．

高一数学期中考试 A 卷答案
一、选择题 1．A 2．B 二、填空题 11． ? x |1 ? x ≤ 2?
3 14． ? ?3 ，? 2 ? ? ? 2 ， ?

3．A

4．C 12． f ( x) ? x 2 15． 1≤ a ? 2

5．D

6．B

7．B

8．A

9．D

10．C

13． a ≤1 16．①③④

三、解答题
5 17．解： B ? ?3 ， ? 5 B 的所有子集为： ? ， ?3? ， ?5? ， ?3 ， ?

因为 A 是非空集合， 所以

?3 ? 3 ? a 当 A ? ?3? 时， ? ?3 ? 3 ? b ?5 ? 5 ? a 当 A ? ?5? 时， ? ?5 ? 5 ? b

?a ? 6 故? ， a ? b ? 15 ?b ? 9 ?a ? 10 故? ， a ? b ? 35 ?b ? 25 ?a ? 8 故? ， a ? b ? 23 ?b ? 15

?3 ? 5 ? a 当 A ? ?3 ， ? 时， ? 5 ?3 ? 5 ? b

综上所述， a ? b 的值为 15 或 35 或 23． 18．解：⑴ f ( x) 的定义域为 ? x | x ≠ 0? ⑵在 (0 ， ?) 内任取 x1 ， x2 ，令 x1 ? x2 ， ?
? 1? ? 1? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? x1 ? ? x2 ? ? ? 1 ? ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? ? x1 x2 ? ?

∵ x1 ? x2 ，∴ x1 ? x2 ? 0 ∵ x1 ， x2 ? (0 ， ?) ，∴ x1 x2 ? 0 ? ∴1 ?
1 ?0 x1 x2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) ? x1 ?
1 在 (0 ， ?) 上单调递增． ? x1

19．解：∵ f ( x) 是 R 上的奇函数 ∴ f (?0) ? ? f (0) ，∴ f (0) ? 0
f (?1) ? ? f (1) ? ?(12 ? 1) ? 0

当 x ? 0 时， ? x ? 0
f ( ? x ) ? ( ? x) 2 ? ( ? x) ? x 2 ? x

又∵ f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x) ? ? x 2 ? x ∴当 x ? 0 时， f ( x) ? ? x2 ? x

20．解：∵ f ( x) 是 R 上的偶函数 ∴ f (? x) ? f ( x) 即 f (? x) ? f ( x) ? 0 ∴ [log2 (4? x ? 1) ? a(? x)] ? [log2 (44 ? 1) ? ax] ? 0
4? x ? 1 ? 2ax ? 0 4x ? 1 1 log 2 x ? 2ax ? 0 4 ?2x ? 2ax ? 0 即 a ?1 log 2

若 a ? 4 ， f ( x) ? log 2 (4 x ? 1) ? 4 x 令 f ( x) ? 0 ，
log 2 (4 x ? 1) ? 4 x

4x ? 1 ? 24 x
(4 x )2 ? 4 x ? 1 ? 0

4x ?

1? 5 1? 5 或 （舍） 2 2 1? 5 2

∴ x ? log 4