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北京市第八十中学2010-2011学年度第一学期期中考试高一数学(必修一)A卷


北京市第八十中学 2010-2011 学年度第一学期期中考试 高一数学(必修一)A 卷
考试时间:100 分钟 试卷满分:100 分 班级: 姓名: 成绩: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 A ? ? x | x( x ? 1) ? 0? ,那么 A. 0 ? A B. 1? A C. ?1? A 2. 下列函数中,与函数 y ? x( x ≥ 0) 有相同图象的一个是 A. y ? x 2 B. y ? D. 0 ? A D. y ?
x2 x

? x?

2

C. y ? 3 x 3
x

?1? 3. 在同一坐标系中,函数 y ? 2 与 y ? ? ? 的图象之间的关系是 ?2?
x

A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称 C.关于原点对称 4. 下列函数中,在区间 (0 , ?) 上是减函数的是 ? A. y ? x 2 ? 1 B. y ? x3 C. y ? ?3x ? 2

D.关于直线 y ? x 对称

D. y ? log 2 x

5. 下列函数为偶函数的是 A. f ( x) ?
x2 ? 1 x

B. f ( x) ? ln

1? x 1? x

C. f ( x) ?

e x ? e? x e x ? e? x

D. f ( x) ?| x |

6. 已知函数 f ( x ? 1) ? log2 (2 x ? 1) ,那么 f ( x) 的定义域是
1? ? A. ? x | x ? ? ? 2? ? 1? ? B. ? x | x ? ? 2? ? 2? ? C. ? x | x ? ? ? 3? ?

D. ? x | x ? 0?

7. 若 P ? log2 3 ? log3 4 , Q ? lg 2 ? lg5 , M ? e0 , N ? ln1 ,则正确的是 A. P ? Q B. Q ? M
? 1 2

C. M ? N 的大小关系是

D. N ? P

? 10 ? 8. P ? log 2 3 , Q ? log4 5 , R ? ? ? ?9?

A. P ? Q ? R B. Q ? P ? R C. R ? Q ? P D. P ? R ? Q 9. 将一次函数 y ? kx ? b 的图象向左平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,所得的图象对应 的解析式仍然是 y ? kx ? b ,则 k 的值为 A.
? 2

B.

2 3

C. ?

2 3

D. ?

3 2

10.已知实数 x , y 满足 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ,则 s ? x2 ? 2 y 2 ? 4 y 的最小值为 A.48 B.20 C.0 D. ?16

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,将答案填在题中的横线上. 11.若全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 1? , B ? ?x | x ? 2? ,则集合 A ? ? ?U B ? ? ___________. 12.若幂函数 f ( x) 的图象经过点 (2 , ,则 f ( x) 的解析式是_____________. 4) 13.若函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在区间 ?1 ,? ? ? 上单调递增,则 a 的取值范围是_____________. 14.已知 f ( x) 是定义在 ? ?2 , ? ? ? 0 ,2? 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) 的图象如 0 右图所示,那么 f ( x) 的值域是_________________.
?2 x , x ? 1 15.函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? a 有两个不相等的实数解,则 a 的取 ?2 x ? 1,x ≥ 1

值范围是________. 16. x1 ,x2 ? R ,x1 ≠ x2 , 若 则下列性质对函数 f ( x) ? 2 x 成立的是_____________. (把满足条件的序号全部写在横线上) ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③ [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
?x ?x ? ④ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ? 1 2 ? ? 2 ?

三、解答题:本大题共 4 小题,共 36 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 8 分) 已知非空集合 A ? ? x | x 2 ? ax ? b ? 0? , B ? ? x | x 2 ? 8 x ? 15 ? 0? ,且 A ? B . ⑴ 写出集合 B 所有的子集; ⑵ 求 a ? b 的值.

18. (本小题满分 8 分)
1 . x ⑴ 求 f ( x) 的定义域;

已知函数 f ( x) ? x ?

⑵ 用单调性定义证明函数 f ( x) ? x ?

1 在 (0 , ?) 上单调递增. ? x

19. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? x . ⑴ 计算 f (0) , f (?1) ; ⑵ 当 x ? 0 时,求 f ( x) 的解析式.

20. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log 2 (4 x ? 1) ? ax . ⑴ 若函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,求实数 a 的值; ⑵ 若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的零点.

高一数学期中考试 A 卷答案
一、选择题 1.A 2.B 二、填空题 11. ? x |1 ? x ≤ 2?
3 14. ? ?3 ,? 2 ? ? ? 2 , ?

3.A

4.C 12. f ( x) ? x 2 15. 1≤ a ? 2

5.D

6.B

7.B

8.A

9.D

10.C

13. a ≤1 16.①③④

三、解答题
5 17.解: B ? ?3 , ? 5 B 的所有子集为: ? , ?3? , ?5? , ?3 , ?

因为 A 是非空集合, 所以

?3 ? 3 ? a 当 A ? ?3? 时, ? ?3 ? 3 ? b ?5 ? 5 ? a 当 A ? ?5? 时, ? ?5 ? 5 ? b

?a ? 6 故? , a ? b ? 15 ?b ? 9 ?a ? 10 故? , a ? b ? 35 ?b ? 25 ?a ? 8 故? , a ? b ? 23 ?b ? 15

?3 ? 5 ? a 当 A ? ?3 , ? 时, ? 5 ?3 ? 5 ? b

综上所述, a ? b 的值为 15 或 35 或 23. 18.解:⑴ f ( x) 的定义域为 ? x | x ≠ 0? ⑵在 (0 , ?) 内任取 x1 , x2 ,令 x1 ? x2 , ?
? 1? ? 1? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? x1 ? ? x2 ? ? ? 1 ? ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? ? x1 x2 ? ?

∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 ∵ x1 , x2 ? (0 , ?) ,∴ x1 x2 ? 0 ? ∴1 ?
1 ?0 x1 x2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) ? x1 ?
1 在 (0 , ?) 上单调递增. ? x1

19.解:∵ f ( x) 是 R 上的奇函数 ∴ f (?0) ? ? f (0) ,∴ f (0) ? 0
f (?1) ? ? f (1) ? ?(12 ? 1) ? 0

当 x ? 0 时, ? x ? 0
f ( ? x ) ? ( ? x) 2 ? ( ? x) ? x 2 ? x

又∵ f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x) ? ? x 2 ? x ∴当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x2 ? x

20.解:∵ f ( x) 是 R 上的偶函数 ∴ f (? x) ? f ( x) 即 f (? x) ? f ( x) ? 0 ∴ [log2 (4? x ? 1) ? a(? x)] ? [log2 (44 ? 1) ? ax] ? 0
4? x ? 1 ? 2ax ? 0 4x ? 1 1 log 2 x ? 2ax ? 0 4 ?2x ? 2ax ? 0 即 a ?1 log 2

若 a ? 4 , f ( x) ? log 2 (4 x ? 1) ? 4 x 令 f ( x) ? 0 ,
log 2 (4 x ? 1) ? 4 x

4x ? 1 ? 24 x
(4 x )2 ? 4 x ? 1 ? 0

4x ?

1? 5 1? 5 或 (舍) 2 2 1? 5 2

∴ x ? log 4


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