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11-12学年高中数学 1.5.1-2 曲边梯形的面积与汽车行驶的路程同步练习 新人教A版选修2-2


选修 2-2
一、选择题

1.5.1 曲边梯形的面积、1.5.2 汽车行驶的路程

1.和式 ? (yi+1)可表示为(
i=1

5

)

A.(y1+1)+(y5+1) B.y1+y2+y3+y4+y5+1 C.y1+y2+y3+y4+y5+5 D.(y1+1)(y2+1)?(y5+1) [答案] C [解析]

? (yi+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+
i=1

5

y5+5,故选 C.
2.在求由 x=a,x=b(a<b),y=f(x)(f(x)≥0)及 y=0 围成的曲边梯形的面积 S 时,在 区间[a,b]上等间隔地插入 n-1 个分点,分别过这些分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,下列说法中正确的个数是( ①n 个小曲边梯形的面积和等于 S; ②n 个小曲边梯形的面积和小于 S; ③n 个小曲边梯形的面积和大于 S; ④n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定 A.1 个 C.3 个 [答案] A [解析] n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的,因此其面积和为 S.∴①正 确,②③④错误,故应选 A. 3.在“近似代替”中,函数 f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值等于( A.只能是左端点的函数值 f(xi) B.只能是右端点的函数值 f(xi+1) C.可以是该区间内任一点的函数值 f(ξ i)(ξ i∈[xi,xi+1]) D.以上答案均不正确 [答案] C [解析] 由求曲边梯形面积的“近似代替”知,C 正确,故应选 C. 4.(2010·惠州高二检测)求由抛物线 y=2x 与直线 x=0,x=t(t>0),y=0 所围成的曲 边梯形的面积时,将区间[0,t]等分成 n 个小区间,则第 i-1 个区间为( )
-12

)

B.2 个 D.4 个

)

A.? C.?

?i-1,i? n? ? n ? ?t(i-1),ti? n? ? n ?

? B.? ,

i i+1? n ? ?n ?
D.?

?t(i-2),t(i-1)? n ? ? n ?

[答案] D [解析] 在[0,t]上等间隔插入(n-1)个分点,把区间[0,t]等分成 n 个小区间,每个 小区间的长度均为 ,故第 i-1 个区间为?

t n

?t(i-2),t(i-1)?,故选 D. n ? ? n ?
3

5.由直线 x=1,y=0,x=0 和曲线 y=x 所围成的曲边梯形,将区间 4 等分,则曲边梯 形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( A. C. 1 19 110 270 B. D. 111 256 25 64 )

[答案] D

??1?3 ?2?3 ?3?3 3? 1 [解析] s=?? ? +? ? +? ? +1 ?× ??4? ?4? ?4? ? 4
= 1 +2 +3 +4 25 = . 4 4 64
3 3 3 3

1 6.在等分区间的情况下,f(x)= 2(x∈[0,2])及 x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极 1+x 限形式正确的是( A.lim ?[ n→∞
i=1 n

) 2 · ]

1

?i?2 n 1+? ? ?n?

B.lim ?[ n→∞
i=1

n

1 2 · ] 2i?2 n ? 1+? ?

?n?

n ? 1 2·1? C.lim ? ? n→∞ 1+i n? ? i=1 ?

D.lim ?[ n→∞
i=1

n

1 1+? ? n

?i?2 ? ?

·n]

[答案] B 2 [解析] 将区间[0,2]进行 n 等分每个区间长度为 ,故应选 B.

n

二、填空题
-2-

7.直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x +1 围成的曲边梯形,将区间[0,2]5 等分,按照 区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________. [答案] 3.92 5.52 8.已知某物体运动的速度为 v=t,t∈[0,10],若把区间 10 等分,取每个小区间右端点 处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为________. [答案] 55 三、解答题 9.求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x 所围成曲边梯形的面积. [分析] 按分割,近似代替,求和,取极限四个步骤进行. [解析] 将区间[0,2]分成 n 个小区间,则第 i 个小区间为? 第 i 个小区间的面积 Δ Si=f? ∴Sn= ?f?
i=1 n
2

2

?2(i-1),2i?. n? ? n ?

?2(t-1)?·2, ? ? n ? n

?2(i-1)?·2 ? ? n ? n
2



2

ni? =1

n

4(i-1)

n2



n3i? =1

8

n

(i-1)

2

8 2 2 2 2 = 3[0 +1 +2 +?+(n-1) ]

n

8 (n-1)n(2n-1) = 3· n 6 = 8(n-1)(2n-1) . 2 6n 8(n-1)(2n-1) 8 = , 2 6n 3

S=limSn=lim n→∞ n→∞

8 ∴所求曲边梯形面积为 . 3 [点评] 注意求平方和时, 用到数列中的一个求和公式.1 +2 +?+n = 不要忘记对 Sn 求极限. 10.汽车以速度 v 做匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程 s=vt.如果汽车做变速 直线运动,在时刻 t 的速度为 v(t)=t +2(单位:km/h),那么它在 1≤t≤2(单位:h)这段时 间行驶的路程是多少? [分析] 汽车行驶路程类似曲边梯形面积,根据曲边梯形面积思想,求和后再求极限值. [解析] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间,第 i 个小区间为?1+
2 2 2 2

n(n+1)(2n+1)
6

.

? ?

i-1 i ,1+ ?. n n? ?
-3-

∴Δ si=f?1+

? ?

i-1? 1 · . n ? n ?

n ? i-1?·1 sn= ?f?1+ n ? n ? i=1 ?



1

n i-1 ?? ? ? ? ??1+ n ?2+2? n ?? ? ? i=1



1

n (i-1) 2(i-1) ? ? ? ? n2 + n +3? ni=1 ? ?

2

1 1 2 2 2 1 2 = 3n+ 2[0 +1 +2 +?+(n-1) ]+ [0+2+4+6+?+2(n-1)]

n

n

n

(n-1)(2n-1) n-1 =3+ + . 2 6n n

s=limsn=lim ?3+ n→∞ n→∞

? ?

(n-1)(2n-1) n-1? 13 + = . 2 6n n ? 3 ?

13 ∴这段时间行驶的路程为 km. 3 11.求物体自由落体的下落距离:已知自由落体的运动速度 v=gt,求在时间区间[0,t] 内物体下落的距离. [分析] 选定区间 → 分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限

[解析] (1)分割:将时间区间[0,t]分成 n 等份. 把时间[0,t]分成 n 个小区间?

?i-1t,it?(i=1,2,?,n), n? ? n ?
it i-1 t t= , 在各小区间物体下落的距离记作 Δ si(i n n n

每个小区间所表示的时间段 Δ t= - =1,2,?,n).

(2)近似代替:在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程. 在?

?i-1t,it?上任取一时刻 ξ (i=1,2,?,n),可取 ξ 使 v(ξ )=g(i-1)t 近似代 i i i n? n ? n ?
t n

替第 i 个小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体 Δ t= 内所经过的距离可近似表示 为 Δ si≈g?

?i-1t?·t(i=1,2,?,n). ? ? n ? n
n

(3)求和:sn= ?Δ si
i=1

-4-

= ?g?
i=1

n

?i-1·t?·t ? n ? n ?



gt2 [0+1+2+?+(n-1)] n2

1 2? 1? = gt ?1- ?. 2 ? n? 1 2? 1? 1 2 (4)取极限:s=lim gt ?1- ?= gt . n→∞ 2 ? n? 2 1 12.求由直线 x=1、x=2、y=0 及曲线 y= 2围成的图形的面积 S.

x

[解析] (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个点,将它等分成 n 个小区间:

?1,n+1?,?n+1,n+2? ,?,?n+n-1,2?,记第 i 个区间为?n+i-1,n+i? (i = ? ? n ? ? n n ? ? n n ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,2,?,n),其长度为 Δ x=

n+i n+i-1 1 - = . n n n

分别过上述 n-1 个分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形(如下图),它们 的面积记作:Δ S1,Δ S2,?,Δ Sn,则小区边梯形面积的和为 S= ?Δ Si.
i=1 n

(2)近似代替 1 ?n+i-1,n+i?上,可以认为 f(x)= 1 的 记 f(x)= 2.当 n 很大,即 Δ x 很小时,在区间? ? 2

x

?

n

n ?

x

值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它等于 f(

n+i-1 n+i · ).从图形上看,就 n n

是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间?

?n+i-1,n+i?上, n ? ? n ?

用小矩形面积 Δ Si′近似地代替 Δ Si,即在局部小范围内“以直代曲”,则有 Δ Si≈Δ Si′=

f?

? ?

n2 1 n n+i-1 n+i? Δ x= · = (i=1,2,?,n). · ? (n+i-1)(n+i) n (n+i-1)(n+i) n n ?
(3)求和

-5-

小曲边梯形的面积和 Sn= ?Δ Si≈ ?Δ Si′
i=1 i=1

n

n

=?
i=1

n

= + +?+ (n+i-1)(n+i) n(n+1) (n+1)(n+2) (n+n-1)(n+n)

n

n

n

n

1 1 1 1 1 1 =n - + - +?+ - n n+1 n+1 n+2 n+n-1 n+n 1 ?1 1 ? 1 =n? - ?= .从而得到 S 的近似值 S≈Sn= . 2 ?n 2n? 2 (4)取极限 1 分别将区间[1,2]等分成 8,16,20,?等份时,Sn 越来越趋向于 S,从而有 S=limSn= . n→∞ 2 1 1 ∴由直线 x=1,x=2,y=0 及曲线 y= 2围成的图形的面积 S 为 . x 2

-6-


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