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北京市海淀区2011届高三一模试题及答案-数学(理科)


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海淀区高三年级第二学期期中练习 数
选择题

学 (理科)
(共 40 分)

2011.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项.
2 1、已知集合 A ? x ? R 0 ? x ? 3 , B ? x ? R x ? 4 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. C.

?x 2 ? x ? 3? ?x x ? ?2或2 ? x ? 3?

B.

?x 2 ? x ? 3?

D. R

2.已知数列 ?an ? 为等差数列, Sn 是它的前 n 项和.若 a1 ? 2 , S3 ? 12 ,则 S 4 ? A.10 B.16 C.20 D.24 3. 在极坐标系下,已知圆 C 的方程为 ρ ? 2cos θ ,则下列各点在圆 C 上的是
π? ? A. ? 1, ? ? 3? ? 3π ? ? C. ? 2, ? 4 ? ? ? π? B. ? 1, ? ? 6? 5π ? ? D. ? 2, ? 4 ? ?
开始

输入x
n ?1 n ? n ?1
x ? 2x ? 1

4.执行如图所示的程序框图,若输出 x 的值为 23,则输入的 x 值为 A. 0 B.1 C. 2 D.11

5.已知平面 ? ? ? ? l , m 是 ? 内不同于 l 的直线,那么下列命题中 错误的是 .. A.若 m // ? ,则 m // l C.若 m ? ? ,则 m ? l B.若 m // l ,则 m // ? D.若 m ? l ,则 m ? ?
?

n≤ 3




输出x 结束

6. 已知非零向量 a , b, c 满足 a ? b ? c ? 0, 向量 a , b 的夹角为 120 , 且
| b| ? |a ,则向量 a 与 c 的夹角为 2|

A. 60

?

B. 90

?

C. 120

?

D. 150
2

?

7.如果存在正整数 ? 和实数 ? 使得函数 f ( x) ? cos (?x ? ? ) ( ? ,? 为常数)的图象如图所 示(图象经过点(1,0),那么 ? 的值为 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

y
1 2

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O

1

x

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8.已知抛物线 M : y 2 = 4 x ,圆 N : ( x ? 1)2 ? y 2 ? r 2 (其中 r 为常数, r ? 0 ).过点(1, 0)的直线 l 交圆 N 于 C 、D 两点,交抛物线 M 于 A 、 B 两点,且满足 AC ? BD 的直线 l 只 有三条的必要条件是 A. r ? (0,1] B. r ? (1, 2] C. r ? ( , 4)

3 2

D. r ? [ , ??)

3 2

非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 3?i ? 9.复数 . 1? i
10.为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭 每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示) , 记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 s1 , s 2 , s3 “ ? ”连接)
频率 组距
0.0008



则它们的大小关系为

. (用

频率 组距
0.0008

频率 组距
0.0008

0.0006 0.0004 0.0002

0.0006 0.0004
0.0002

0.0006 0.0004 0.0002

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500



O

1000 1500 2000 2500 3000 3500 元

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500








A

11.如图,A,B,C 是⊙O 上的三点,BE 切⊙O 于点 B, D 是 CE 与⊙O
? 的交点.若 ?BAC ? 70 ,则 ?CBE ? ______;若 BE ? 2 , CE ? 4 ,

则 CD ?

.
B

O

C

D
E

12.已知平面区域 D ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1} , 在区域 D 内任取一点, 则取到的点位于 直线 y ? kx ( k ? R )下方的概率为____________ .

13.若直线 l 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2 所截的弦长不小于2,则在下列曲线中:
x2 ? y2 ? 1 ④ x2 ? y 2 ? 1 2 与直线 l 一定有公共点的曲线的序号是 . (写出你认为正确的所有序号) 14.如图,线段 AB =8,点 C 在线段 AB 上,且 AC =2, P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕点 C
① y ? x ?2
2

② ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1



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D
A
C

P

B

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旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x , △ CPD 的面积为 f ( x ) .则 f ( x ) 的定义 域为 ; f ' ( x) 的零点是 .

三、 解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中, 内角 A、 、 所对的边分别为 a, b, c , B C 已知 tan B ? (Ⅰ)求 tan A ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 16. (本小题共 14 分) 在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC ,

1 1 ,tan C ? , c ? 1 . 且 2 3

BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点.
(Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ; (Ⅲ) 求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.

A

D

E

F

B

G

C

17. (本小题共 13 分) 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等 品通过检测的概率为

2 .现有 10 件产品,其中 6 件是一等品,4 件是二等品. 3

(Ⅰ) 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率; (Ⅱ)随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列; (Ⅲ) 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;
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1? a , (a ? R). x

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(Ⅲ)若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

19. (本小题共 14 分)

x2 y 2 3 1 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 2 2 a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m (| k |?

1 B 以线段 OA, OB 为邻边作 ) 与椭圆 C 相交于 A、 两点, 2

平行四边形 OAPB,其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点.求 OP 的取值范围.

20. (本小题共 13 分) 已知每项均是正整数的数列 A : a1 , a2 , a3 ,?, an ,其中等于 i 的项有 k i 个 (i ? 1, 2,3 ???) , 设 b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1, 2,3?) , g (m) ? b1 ? b2 ? ?? bm ? nm (m ? 1, 2,3 ???) . (Ⅰ)设数列 A :1, 2,1, 4 ,求 g (1), g (2), g (3), g (4), g (5) ; (Ⅱ)若数列 A 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? n ? 100 ,求函数 g (m) 的最小值.

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海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(理) 2011.4

答案及评分参考
选择题 (共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 非选择题 5 D

6 B

7 B

8 D

(共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目,第一空 3 分,第二空 2 分) 9. 1 ? 2i 12. 10. 13.

s1 > s2 > s3
① ③

11.

70? ; 3

1 2

14. (2, 4); 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(共 13 分) 解: (I)因为 tan B ?

1 1 tan B ? tan C , tan C ? , tan( B ? C ) ? , ???????1 分 1 ? tan B tan C 2 3

1 1 ? 代入得到, tan( B ? C ) ? 2 3 ? 1 . 1 1 1? ? 2 3
分 因为 A ? 180? ? B ? C , 分 所

???????3

???????4


?

t

A?

.

???????5a 分
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? B

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(II)因为 0? ? A ? 180? ,由(I)结论可得: A ? 135? . 因为 tan B ? 所以 sin B ? 分 由 分 所 以

???????7 分 ????8 分

1 1 ? tan C ? ? 0 ,所以 0? ? C ? B ? 90 ? . 2 3

10 5 . , sin C ? 10 5

????9

a c ? 得a ? 5 , sin A sin C

???????11

?ABC











1 1 ac sin B ? . 2 2
16. (共 14 分) 解:(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG ,

??????13 分
A

D

E

H

F

∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ?????2 分 ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ) 解法 1 证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE , ∴ AE ? 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG . ∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴ BH ? EG ,
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B

G

C

???????4 分

?????????5 分 ?????????6 分

?????????7 分
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又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . ?????????8 分 ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG . ?????????9 分 解法 2 z ∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB , A D ∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB , ∴ EB, EF , EA 两两垂直. ????????5 分
E

EB 以点 E 为坐标原点, , EF , EA 分别为 x, y, z 轴建立如图的
空间直角坐标系. 由已知得, A (0,0,2) B (2,0,0) , , C (2,4,0) F (0,3,0) D (0,2,2) , , , G (2,2,0). ??????????6 分 ∴ EG ? (2,2,0) , BD ? (?2,2,2) ,???7 分 ∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 , ∴ BD ? EG .

F

y

x B

G

C

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

???8 分

??????????9 分 ??????????10 分

(Ⅲ)由已知得 EB ? (2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量.

??? ?

设平面 DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,∵ FD ? (0, ?1,2), FC ? (2,1,0) ,

??? ?

??? ?

??? ? ? ? FD ? n ? 0 ?? y ? 2 z ? 0 ? ∴ ? ??? ? ,即 ? ,令 z ? 1 ,得 n ? (?1, 2,1) . ??????????12 分 ? ?2 x ? y ? 0 ? FC ? n ? 0 ?
设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? , 则 cos ? ? cos ? n, EB ??

??? ?

?2 6 , ?? 6 2 6
6 . 6

??????????13 分

∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ? 分 17. (共 13 分)

??????????14

解:(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A ??????????1 分 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2 分

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p( A) ?

6 4 2 13 ? ? ? 10 10 3 15

??????????4

分 (Ⅱ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3.
3 0 2 1 C4 C6 C4 C6 3 1 P( X ? 0) ? 3 ? , P( X ? 1) ? 3 ? , C10 30 C10 10 1 2 C4C6 1 C 0C 3 1 ? , P( X ? 3) ? 4 3 6 ? . 3 C10 2 C10 6

P( X ? 2) ?


??????8

X
P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

?????9 分

(Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不能 通过检测的事件为 B ?????10 分 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测” 事件 所以, P ( B ) ? 分 18. (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? ?????????1 分

1 1 3 1 ?( ) ? . 30 3 810

?????13

1 x ?1 ? , x x

?????????2 分

x
f ?( x )

(0,1)


1 0 极小

(1, ??)
+

?????????3 分

f ( x)
?????4 分 (Ⅱ) h( x) ? x ?

所 以 f ( x) 在 x ? 1 处 取 得 极 小 值 1. ????

1? a ? a ln x , x
?????????6 分

h?( x) ? 1 ?

1 ? a a x2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? ? ? x2 x x2 x2

①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h?( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增;
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?????????7 分
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②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所 增. 以 , 函 数
h( x)



(0, ??)









?????????8 分

(III)在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即 在 ?1,e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 函数 h( x) ? x ? 由(Ⅱ)可知 ①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递减, 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为

1? a ? a ln x 在 ?1,e? 上的最小值小于零. x

?????????9 分

e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e e ?1
?????????10 分

e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递增, 所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ?????????11 分 ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时, h(1 ? a) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是:a ? ?????????12 分

e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

?????????13 分

19. (共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知可得 e ?
2

a 2 ? b2 1 ? ,所以 3a 2 ? 4b2 a2 4
1 9 ? 2 ?1 2 a 4b

① ?????1 分

又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

3 2

② ?????2 分

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故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

?????5 分

(Ⅱ) 当 k ? 0 时, P(0, 2m) 在椭圆 C 上,解得 m ? ?

3 ,所以 | OP |? 3 . 2

??6 分

当 k ? 0 时,则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4

消 y 化简整理得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ,

? ? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0
③ ?????8 分 设 A, B, P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则 ( (

x0 ? x1 ? x2 ? ?
9分

8km 6m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? . 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2 2 x0 y0 ? ? 1. 4 3

?????

由于点 P 在椭圆 C 上, 所以 分

?????10

16k 2 m2 12m2 2 2 从而 化简得 4m ? 3 ? 4k , 经检验满足③式. ???11 ? ? 1, 2 2 2 2 (3 ? 4k ) (3 ? 4 k )
分 又 | OP |?

64k 2 m2 36m2 x ?y ? ? (3 ? 4k 2 )2 (3 ? 4k 2 )2
2 0 2 0

?

4m2 (16k 2 ? 9) 16k 2 ? 9 ? (3 ? 4k 2 ) 2 4k 2 ? 3
3 . 4k ? 3
2

? 4?
因为 0 ? k ?

?????????12 分

1 3 3 ? 1, ,得 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4 ,有 ? 2 2 4 4k ? 3

故 3 ? OP ? 分

13 . 2

?????????13

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综上,所求 OP 的取值范围是 [ 3,

13 ]. 2

?????????14 分

(Ⅱ)另解:设 A, B, P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) , ( ( 由

A, B















? 3x12 ? 4 y12 ? 12 ① ? 2 2 ?3x2 ? 4 y2 ? 12 ②
① — ②

?????????6 分 整 理 ?????????7 分 得

3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ③
由 已 知 可 得

??? ??? ??? ? ? ? O ? P?

O ,

A 所

O以

B

? x1 ? ? ? y1 ?
由 ⑥ 把

? x2 ④ ? y2 ⑤
已 知

x0 y0


????????8 分

k?

y1 ? y2 x1 ? x2

,



y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 )



?????????9 分 ⑤ ⑥ 代 入









3x0 ? ?4ky0


?????????10 分 联 立 消

3x02 ? 4 y02 ? 12
9 4k ? 3
2

x0







y0 2 ?

????????11 分
2

由 3x02 ? 4 y02 ? 12 得 x0 ? 4 ? 所

4 2 y0 , 3


|O


2

?

0

4 3

k2 ?

P ????????12 |

2

?

0

因为 k ? 故

1 3 3 ? 1, ,得 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4 ,有 ? 2 2 4 4k ? 3

3 ? OP ?


13 . 2

?????????13

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所求 OP 的取值范围是 [ 3, 20. (共 13 分)

13 ]. 2

?????????14 分

解: (1)根据题设中有关字母的定义,

k1 ? 2, k2 ? 1, k3 ? 0, k4 ? 1, k j ? 0( j ? 5,6,7?)
b1 ? 2, b2 ? 2 ? 1 ? 3, b3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 3, b4 ? 4, bm ? 4(m ? 5,6,7,?)
g (1) ? b1 ? 4 ?1 ? ?2 g (2) ? b1 ? b2 ? 4 ? 2 ? ?3, g (3) ? b1 ? b2 ? b3 ? 4 ? 3 ? ?4, g (4) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 4 ? 4 ? ?4, g (5) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? 4 ? 5 ? ?4.
(2)一方面, g (m ? 1) ? g (m) ? bm?1 ? n ,根据“数列 A 含有 n 项”及 b j 的含义知 bm?1 ? n , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) ① ???????7 分

另一方面,设整数 M ? max ?a1, a2 ,?, an ? ,则当 m ? M 时必有 bm ? n , 所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (M ? 1) ? g (M ) ? g (M ? 1) ? ? 所以 g ( m) 的最小值为 g ( M ? 1) . 下面计算 g ( M ? 1) 的值: …………………9 分

g (M ?1) ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? bM ?1 ? n(M ?1) ? (b1 ? n) ? (b2 ? n) ? (b3 ? n) ? ? ? (bM ?1 ? n) ? (?k2 ? k3 ??? kM ) ? (?k3 ? k4 ??? kM ) ? (?k4 ? k5 ??? kM ) ? ?? (?kM ) ? ?[k2 ? 2k3 ? ? ? (M ?1)kM ] ? ?(k1 ? 2k2 ? 3k3 ? ? ? MkM ) ? (k1 ? k2 ? ? ? kM ) ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? bM ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? n
∵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n ? 100 , ∴ g ( M ? 1) ? ?100,
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…………………12 分

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∴ g ( m) 最小值为 ?100 .

…………………13 分

说明:其它正确解法按相应步骤给分.

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