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成都市2006届高中毕业班摸底测试(数学理科)


绝密★启用前

成都市 2006 届高中毕业班摸底测试?

数学(理科)
(全卷满分为 150 分,完成时间为 120 分钟)

第Ⅰ卷(选择题
王新敞
奎屯 新疆

共 60 分)
王新敞
奎屯 新疆

注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名 考号 考试科目用铅笔填写在答题卡上 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上 3. 考试结束,监考员将本试卷和答题卡一并收回 参考公式: 如果事件 A B 互斥,那么? 球的表面积公式? P(A+B)=P(A)+P(B)? S=4π R2 如果事件 A B 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径? P(A·B)=P(A) ·P(B)? 球的体积公式
王新敞
奎屯 新疆

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奎屯

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王新敞
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如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率?
k n Pn(k)= C k n P (1-P)
-k

V=

4 π R3 ? 3

其中 R 表示球的半径



王新敞
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选择题:本题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项是正确的,把正确的代号填在机读卡的指定位置上
王新敞
奎屯 新疆

1

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已知集合 A={x| x 2 ? 4 |? 1, x ? Z },则集合 A 的真子集个数为
王新敞
奎屯 新疆

A 2
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奎屯 新疆

2个 已知 sin 2? ? ?
24 25

B

王新敞
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1个

C

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4个

D

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3个

4 ? ? , ? ? (? , ), 则sin 4? 的值为 5 4 4
B
王新敞
奎屯 新疆

A 3

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-

24 25

C

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4 5

D

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7 25

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已知正项等比数列{ an }中, a2 ? a5 ? a13 ? a16 ? 256 , a7 ? 2 ,则数列{ an }的公比为

A

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2
1 3
| x|

B

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2

C

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±2

D

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± 2

4.函数 y ? ( ) 的大致图象是

5

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某交往式计算机有 20 个终端,这些终端由各个单位独立操作,使用率均为 0
天星教育·成都 2006 届高中毕业班摸底测试第 1 页(共 8 页)

王新敞
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8,则

20 个终端中至少有一个没有使用的概率为 20 20 A 0 2 B 0 8 C
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奎屯 新疆

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新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
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新疆

王新敞
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1-0

王新敞
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新疆

8

20

D

王新敞
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1-0

王新敞
奎屯

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2

20

6

王新敞
奎屯

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已知△ ABC 中,| BC |=3,| CA |=4,且 BC · CA =-6 3 ,则△ ABC 的面积是 6 B 3 3 C 3 D

A 7
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

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新疆

王新敞
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6? 2

已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为

A 8
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1 3

B

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3 3

C

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2 2

D

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1 2

若直线 a∥平面α ,则直线 a 与平面α 内的直线的关系是 A 平面α 内有且仅有一条直线与 a 平行 B 平面α 内任意一条直线与直线 a 平行 C 平面α 内与直线 a 共面的直线与直线 a 平行 D 以上都不对 9 如图,P 为正方体 AC1 的底面 ABCD 内任意一点,若 A1P 与棱 A1A A 1B 1 A1D1 所成的角分别为α β γ ,则 sin2α 2 2 +sin β +sin γ 的值为 A 2 B 1 C 0 D 随 P 的变化而 变化 10 若实数 x y 满足 x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)的最小值为
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新疆

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A 11
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奎屯 新疆

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1

B

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1 2

C

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1 4

D

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3 4

已知 P 为抛物线 y2=4x 上任一动点,记点 P 到 y 轴的距离为 d,对于给定点 A(4,5), 则|PA|+d 的最小值为 A
王新敞
奎屯 新疆

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4

B

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34

C

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17 -1

D

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34 -1

12 若一系列函数的解析式相同, 值域相同, 但定义域不同, 则称这些函数为 “孪生函数” , 2 那么函数解析式为 y=2x +1,值域为{5,19}的“孪生函数”共有 A 10 个 B 9个 C 8个 D 7个
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奎屯 新疆

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奎屯

新疆

第Ⅱ卷(非选择题
二 13
王新敞
奎屯 新疆

共 90 分)
王新敞
奎屯 新疆

填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)把答案填在题中横线上 (x2-

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2 ? 3)10 展开式中各项系数之和为 x

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14

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已知定直线 l 被圆 C:(x-1)2+(y+2)2=4 截得的弦长为 2 3 ,则在圆 C 上到直线 l 的距离 个
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为 1 的点共有 15

王新敞
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双曲线 3x2-4y2-12x+8y-4=0 按向量 m 平移后的双曲线方程为

?

x2 y 2 ? ? 1, 则平移向量 4 3

? m=

王新敞
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天星教育·成都 2006 届高中毕业班摸底测试第 2 页(共 8 页)

16 给出以下命题:①已知命题 p q,若“p 或 q”为真,则“p 且 q”为假;②已知平 面α β 均垂直于平面γ ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则α ⊥β 的充要条件是 a⊥b;③若函 数 f(x)为偶函数,则必有 f(-x)=f(x)=f(|x|)恒成立 其中正确命题的番号是 三 解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分)解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤
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奎屯 新疆

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王新敞
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17

王新敞
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(共 10 分)已知函数 f(x)=sin(x+ (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若函数 f(x)在[-

? ? )+sin(x- )+cosx+a(a∈R,a 为常数) 6 6

王新敞
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? ? , ]上的最大值与最小值之和为 3 ,求实数 a 的值 2 2

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18 (共 10 分)一纸箱中放有除颜色外,其余完全相同的黑球和白球,其中黑球 2 个,白球 3个 (Ⅰ)从中同时摸出两个球,求两球颜色恰好相同的概率; (Ⅱ)从中摸出一个球,放回后再摸出一个球,求两球颜色恰好不同的概率
王新敞
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王新敞
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19 (共 12 分) 如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD, AB=2AD=2DC=2,E 为 BD1 的中点,F 为 AB 的中点 (Ⅰ)求证:EF∥平面 ADD1A1;
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王新敞
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(Ⅱ)若 BB1=

2 ,求 A1F 与平面 DEF 所成的角的大小 2

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20

王新敞
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(共 12 分) 已知函数 f(t)=log2t,t∈[ 2 ,8]

(Ⅰ)求 f(t)的值域 G; (Ⅱ)若对于 G 内的所有实数 x,不等式-x2+2mx-m2+2m≤1 恒成立,求实数 m 的取值范围
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21 (共 13 分) 已知等差数列{an}中, a1=1,公差 d>0, 且 a2 的第二项 第三项 第四项 (Ⅰ)求数列{an} {bn}的通项 an bn;
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a5

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a14 分别是等比数列{bn}

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王新敞
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(Ⅱ)设数列{cn}对任意的 n∈N*,均有 的值

c c1 c2 ? +?+ n =an+1 成立,求 c1+c2+?+c2005 b1 b2 bn

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22.(共 13 分)设向量 i =(1,0), j =(0,1), a =(x+m) i +y j , b =(x-m) i +y j ,且| a |+| b |= 6,0<m<3,x>0,y∈R (Ⅰ)求动点 P(x,y)的轨迹方程;
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

(Ⅱ)已知点 A(-1,0),设直线 y= m,使得 AB · AC =

1 (x-2)与点 P 的轨迹交于 B 3

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C 两点,问是否存在实数

1 ?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由 3

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数学试题(理科)参考答案及评分意见
一、 选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 1 D; 2 B; 3 A; 4 A; 5 C; 6 C; 7 B; 8 10 D; 11 D; 12 B 二、 填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 13 1024 或 210; 14 3; 15 (-2,-1); 16 ②③ 三、 解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分)
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奎屯 新疆

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奎屯

新疆

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新疆

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新疆

王新敞
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新疆

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新疆

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新疆

C; 9

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A;

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王新敞
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新疆

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新疆

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新疆

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新疆

王新敞
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王新敞
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新疆

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新疆

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四、17

王新敞
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解:(1)∵f (x)=2sinxcos =2sin(x+

π +cos x+a= `3 sin x+cos x+a 6
??3 分
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π )+a, 6

∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π (Ⅱ)∵x∈[-
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??2 分

π π π π 2 π , ],∴- ≤x+ ≤ 2 2 3 6 3 π π π π ∴当 x+ =- ,即 x=- 时, fmin(x)=f(- )=- 3 +a; 6 3 2 2 π π π π 当 x+ = ,即 x= 时, fmax(x)=f( )=2+a 6 2 3 3
王新敞
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??2 分 ??2 分

由题意,有(- 3 +a)+(2+a)= 3 ∴a= 3 -1 18
王新敞
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王新敞
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新疆

王新敞
奎屯

新疆

??1 分
2

2 解:(Ⅰ)摸出两球颜色恰好相同,即两个黑球或两个白球,共有 C 2 + C 3 =4(种)可能

情况

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故所求概率为 P=

C2 +C32 4 2 2 = = 10 5 C52

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??5 分 (Ⅱ)有放回地摸两次,两球颜色不同,即“先黑后白”或“先白后黑” 故所求概率为 P=
1 1 1 1 6 ? 6 12 C2 · C3 ? C3 · C2 = = I 1 25 25 C5 · C5
新疆

王新敞
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新疆

王新敞
奎屯

? ? 5

19

王新敞
奎屯

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分 (Ⅰ)证明:连 AD1 分 在△ABD1 中, ∵E F 分别是 BD1 AB 的中点, ∴EF∥AD1 又 EF ? 平面 ADD1A1,
王新敞
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? ? 1

王新敞
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王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

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∴EF∥平面 ADD1A1 ??4 分 (Ⅱ)解:建立如图所示的空间直角坐标系 D—xyz(DG 为 AB 边上的高)
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王新敞
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则有 A1(

1 3 2 3 1 ,- , ),F( , ,0), 2 2 2 2 2

D1(0,0

2 3 3 ),B( , ,0) 2 2 2

王新敞
奎屯

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??2 分

∴E(

3 3 2 , , ) 4 4 4

王新敞
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??1 分

设平面 DEF 的法向量为 n =(x,y,z)

王新敞
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? n· DE ? ? ? 由? ?n· DF ? ? ?

3 3 2 x? y? z ? 0, 4 4 4 3 1 x ? y ? 0. 2 2
??2 分

取非零法向量 n ? (1,- 3,6 ). ∵ A1F ? (0, 1, ?

2 ), 2
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∴A1F 与平面 DEF 所成的角即是 A 1F与n 所成锐角的余角

AF ?n 由 COS< A = n >= 1 1F, | A1 F | ? | | n

0 ? 1 ? 1 ? (- 3 ) ? (3 ? 10 2

2 )? 6 2 5 2 ?? . 5

∴A1F 与平面 DEF 所成角的大小为 20

π 2 5 2 5 ? arccos 即arcsin 2 5 5

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??2 分

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解:(Ⅰ)∵f(t)=log2t 在 t∈[ 2 ,8 ]上是单调递增的,∴log2 2 ≤log2t≤log28 即

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1 ≤f(t)≤3 2

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3] ∴f(t)的值域 G 为[ ,

1 2

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??4 分

3 ]上恒成立 (Ⅱ)由题知—x2+2mx—m2+2m≤1 在 x∈[ , 3 ]上恒成立 ? x2-2mx+m2-2m+1≥0 在 x∈[ , 1 2
王新敞
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1 2

??1 分

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3] 令 g(x)=x2-2mx+m2-2m+1,x∈[ ,
只需 g min(x)≥0 即可
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1 2

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1 2 1 1 1 (1) 当 m≤ 时,g min(x)=g( )= -3m+m2+1≥0 2 2 4 5 1 解得 m≥ 或 m≤ . 2 2 1 ∴m≤ . 2 1 (2) 当 ? m <3 时,g min(x)=g(m)=-2m+1≥0 2 1 解得 m≤ . 2 1 这与 <m<3 矛盾 2 3] 而 g(x)=(x-m)2-2m+1,x∈[ ,
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∴4m2-12m+5≥0

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??2 分

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? ? 2

分 (3) 当 m≥3 时,g min(x)=g(3)=10+m2-8m≥0 而 m≥3,∴m≥4+ 6 分 综上,实数 m 的取值范围是(-∞, 分 解:(Ⅰ)由题意,有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2 而 a1=1,d>0 ∴d=2,∴an=2n-1
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解得 m≥4+ 6 或 m≤4- 6

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? ? 2

1 ]∪[4+ 6 ,+∞) 2

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? ? 1

21

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新疆

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??2 分 ??3 分

公比 q=

a5 =3,a2=b2=3 a2

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∴bn=b2·qn-2=3·3 n-2=3 n-1 (Ⅱ)当 n=1 时,

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??2 分
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c1 =a2,∴c1=1×3=3 b1

当 n≥2 时,∵

c1 c2 c ? ? ? ? n ?1 ? an , b1 b2 bn ?1

??①

c c c1 c2 ? ? ? ? n?1 ? n ? an?1 . b1 b2 bn?1 bn
②—①,得

??②

cn ? an ?1 ? an ? 2, ∴cn=2bn= 2· 3n?1 (n ? 2) bn

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∴cn= ?

?3,    ? 1; 3 n ?1 , n ? 2. ?2·

??4 分

∴c1+c2+c3+?+c2005=3+2(31+32+33+?+32004) =3+2· 解:(Ⅰ)∵ i ? (1,0), i ? (0,1), | a | ? | | b ? 6, ∴

3(1 - 32004 ) ? 32005. ??2 分 1? 3

22

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( x ? m ) 2 ? y 2 ? ( x ? m ) 2 ? y 2 ? 6.
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??2 分

上式即为点 P(x,y)到点(-m,0)与到点(m,0)距离之和为 6 记 F1(-m,0),F2(m,0)(0<m<3) 则|F1F2|=2m<6 ∴|PF1|+|PF2|=6>|F1F2| 又∵x>0, ∴p 点的轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆的右半部分 ∵2a=6, ∴a=3 又∵2c=2m,∴c=m,∴b2=a2-c2=9-m2
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奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

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奎屯

新疆

王新敞
奎屯

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∴所求轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? 0,0 ? m ? 3). 9 9 ? m2
∴ AB ? ( x1 ? 1, y1 ), AC ? ( x2 ? 1, y2 ).

??4 分

(Ⅱ)设 B(x1,y1),C(x2,y2)

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∴ AB· AC ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 . 而 y1 y2 = ( x1 ? 2).

1 3

1 1 ( x 2 - 2) ? [ x1 x 2 - 2( x1 ? x 2 ) ? 4], 3 9 1 [ x1 x 2 - 2( x1 ? x 2 ) ? 4] 9

∴ AB ? AC ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ?

= [10 x1 x2 ? 7( x1 ? x2 ) ? 13].

1 9

AC ? 若存在实数 m,使得 AB · 1 9

1 成立 3

王新敞
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AC ? [10 x1 x2 ? 7( x1 ? x2 ) ? 13] ? 则由 AB ·

1 3
??①

?10x1x2+7(x1+x2)+10=0

王新敞
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1 ? y ? ( x - 2), ? ? 3 由? 2 2 ?x ? y ? 1( x ? 0) ? ? 9 9 ? m2
消去 y,得(10-m )x2-4x+9m2-77=0
2

??②

? ?△ ? 0 ? 4 ? ?0 由②,有 ? x1 ? x 2 ? 2 10 ? m ? ? 9m 2 - 77 ?0 ? x1 x 2 ? 10 ? m 2 ?
由① ④ ⑤解得 m2=

??③ ??④ ??⑤

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奎屯

新疆

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奎屯

新疆

321 ? 9 ,且此时△>0 40

王新敞
奎屯

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但由⑤,有 9m2-77=

2889 3080 - ? 0 与题设矛盾 40 40 1 . 3

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奎屯

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??3 分

AC ? ∴不存在符合题意的实数 m,使得 AB ·

??1 分

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