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2013年高考数学(理)二轮复习 专题一 集合与常用逻辑用语、函数与到导数、不等式(带解析)


本专题包括:集合与常用逻辑用语、函数的图像与性质、基本初等函数及函数的应用、不等 式、导数五部分内容.该部分的复习要突出“一心”、“一性”,即围绕函数这个中心,抓住导 数的工具性,以函数、不等式、导数等几个方面围绕它们的定义、运算、性质、图像和应用 展开复习. 定义是学好集合与常用逻辑用语的关键, 必须准确掌握各个基本概念, 把握定义的实质和各 个概念之间的关系.

定义是函数的基础, 性质是函数的核心, 要准确把握函数的三要素, 牢固树立定义优先原则, 熟练记忆指数函数、对数函数、幂函数、反比例函数、二次函数等基本初等函数的定义、形 式、图像和性质.

不等式的性质是不等式的核心, 是不等式的求解与证明、 利用基本不等式求解最值问题的重 要依据.解不等式时要注意不等式的等价变形,而利用基本不等式求最值应构造“定积求和” 或“定和求积”的形式,从而求得最值,而解决线性规划问题的关键是正确做出可行 域.

导数的工具性是解决函数综合问题的金钥匙, 利用导数研究函数问题, 首先熟练把握基本初 等函数的导数以及求导法则, 再利用导数可判定一些函数的单调性, 以及求函数的极值和最 值,从而充分体现导数的工具性.

第一节

集合与常用逻辑用语

1.熟记三个概念 (1)集合中的元素具有三个性质:无序性、确定性和互异性.元素与集合之间的关系是属于 和不属于. (2)四种命题是指对“若 p, q”形式的命题而言的, 则 把这个命题作为原命题, 则其逆命题是“若 q,则 p”,否命题是“若綈 p,则綈 q”,逆否命题是“若綈 q,则綈 p”,其中原命题和逆否命 题、逆命题和否命题是等价的,而且命题之间的关系是相互的. (3)充要条件:若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为 充要条件. 2.活用四个公式与结论 (1)运算性质及重要结论: ①A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. ②A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. ③A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U. ④A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. (2)命题 p∨q 的否定是綈 p∧綈 q;命题 p∧q 的否定是綈 p∨綈 q.

(3)含有一个量词的命题的否定:“?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,綈 p(x0)”;“?x0∈M, p(x0)”的否定为“?x∈M,綈 p(x)”. (4)“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”;“且命题”的真假特点是“一假即假,要真全 真”;“非命题”的真假特点是“真假相反”. 3.正确区分几个易误 (1)认清集合元素的属性及元素所代表的意义. (2)区分命题的否定和否命题的不同,否命题是对命题的条件和结论都否定,而命题的否定 仅对命题的结论否定. (3)“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B;而“A 是 B 的充分不必要条 件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A.

集合的概念及运算 [考情分析] 集合的基本概念、集合间的包含关系与运算是高考考查的热点,几乎每套试卷 都会出现此类题型, 一般以填空题、 选择题形式出现, 多属容易题, 考查集合中元素的特征、 集合的子集、集合的交集、并集、补集运算,该类问题出题背景广泛,常与函数、方程、不 等式、解析几何等知识交汇命题. [例 1] (2012· 广东九校联考)设函数 f(x)=lg(1-x2),集合 A={x|y=f(x)}, B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.[-1,0] B.(-1,0) C.(-∞,-1)∪[0,1) D.(-∞,-1]∪(0,1) [思路点拨] 首先明确集合 A、B 中的元素属性,再确定阴影部分如何用集合表示. [解析] 因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则 u=1-x2∈(0,1], 所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0},A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0], 故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1). [答案] D [类题通法] 解答集合问题的思路:先正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性;再依据元素的不 同属性采用不同的方法对集合进行化简求解,一般的规律为: (1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解; (2)若给定的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若给定的集合是抽象集合,用 Venn 图求解. [冲关集训] 1.已知集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,1) 解析:选 A 本题逆向运用元素与集合的关系求参数的取值范围,抓住 1?A 作为解题的突破 口,1?A 即 1 不满足集合 A 中不等式,所以 12-2×1+a≤0?a≤1. 2.设全集 U=R,集合 P={x|y=ln(1+x)},集合 Q={y|y= x},则右图中的阴影部 分表示的集合为( ) A.{x|-1<x≤0,x∈R} B.{x|-1<x<0,x∈R} C.{x|x<0,x∈R} D.{x|x>-1,x∈R} 解析:选 B 由 1+x>0 得 x>-1,即 P={x|x>-1};Q={y|y≥0},因此结合题意得,

题中的阴影部分表示的集合是 P∩(?RQ)={x|-1<x<0,x∈R}. 1 3.(2012· 重庆高考)设平面点集 A={(x,y)|(y-x)(y-x )≥0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1}, 则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( 3 A.4π 4 C.7π 3 B.5π π D.2 )

解析:选 D A∩B 表示的平面图形为图中阴影部分,由对称性可知, S1=S2, S3=S4.因此 A∩B 所表示的平面图形的面积是圆面积的一半, π 即为2. 命题真假的判断与否定问题 高考对本部分内容的考查主要是全称命题、特称命 题的否定和含逻辑连结词的命题的真假判断,题型以选择、填空题为主.预计今后的高考仍 以基本概念和方法为考查对象,重点考查全称命题、特称命题的否定,命题真假的判断. [例 2] 给出下列四个命题: ①命题“若 α=β,则 cos α=cos β ”的逆否命题; ②“?x0∈R,使得 x2-x0>0”的否定是:“?x∈R,均有 x2-x<0”; 0 ③命题“x2=4”是“x=-2”的充分不必要条件; ④p:a∈{a,b,c},q:{a}?{a,b,c},p 且 q 为真命题. 其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号) [思路点拨] ①由于原命题与逆否命题等价,故判断原命题的真假即可;②利用全(特)称命 题的定义进行判断;③由 x2=4?x=2 或 x=-2,则可判定命题的真假;④根据真值表判 定. [解析] 对①,因命题“若 a=β,则 cos α=cos β ”为真命题,所以其逆否命题亦为真命题, ①正确;对②,命题“?x0∈R,使得 x2-x0>0”的否定应是:“?x∈R,均有 x2-x≤0”,故② 0 错; 对③,因由“x2=4”得 x=±2, 所以“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件, 故③错; 对④, p,q 均为真命题,由真值表判定 p 且 q 为真命题,故④正确. [答案] ①④ [类题通法] 命题真假的判定方法 (1)一般命题 p 的真假由涉及到的相关知识辨别; (2)四种命题的真假的判断根据:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题 的真假无此规律; (3)形如 p∨q,p∧q,綈 p 命题的真假根据真值表判定; (4)全称命题与特称命题的真假的判定:①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每一个元素 x,验证 p(x)成立.如果在集合中找到一个元素 x0,使得 p(x0)不成立, 那么这个全称命题就是假命题.②要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中, 至少找到一个元素 x0,使得 p(x0)成立即可.否则,这一特称命题就是假命题. [冲关集训] π 4.(2012· 山东高考)设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为2;命题 q:函数 y=cos x 的图 [考情分析]

π 像关于直线 x=2对称.则下列判断正确的是(

)

A.p 为真 B.綈 q 为假 C.p∧q 为假 D.p∨q 为真 解析:选 C 命题 p,q 均为假命题,故 p∧q 为假命题. 5.给出下列命题: ①?x∈R,不等式 x2+2x>4x-3 均成立; ②若 log2x+logx2≥2,则 x>1; c c ③“若 a>b>0 且 c<0,则a>b”的逆否命题; ④若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 其中真命题是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 1 解析: A ①中不等式可表示为(x-1)2+2>0, 选 恒成立; ②中不等式可变为 log2x+log2x≥2, 1 1 得 x>1;③中由 a>b>0,得a<b,而 c<0,所以原命题是真命题,则它的逆否命题也为真; ④ 由 p 且 q 为假只能得出 p,q 中至少有一个为假,④不正确. 6.(2012· 安徽名校模拟)命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析: “?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题, 则“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题, 因此 Δ=9a2 -4×2×9≤0,故-2 2≤a≤2 2. 答案:[-2 2,2 2] 充要条件 [考情分析] 充分条件、必要条件、充要条件一直是高考命题的热点,该类问题出题的 背景选择面广,易形成知识交汇题,命题多为选择题或填空题,难度为中低档. [例 3] (2012· 安徽高考)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平 面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [思路点拨] 利用面面垂直的性质定理及空间直线的位置关系判定. [解析] 当 α⊥β 时,由于 α∩β=m,b?β,b⊥m,由面面垂直的性质定理知,b⊥α. 又∵ a?α,∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件. 而当 a?α 且 a∥m 时,∵b⊥m,∴b⊥a.而此时平面 α 与平面 β 不一定垂直,∴“α⊥β ”不 是“a⊥b”的必要条件. [答案] A [类题通法] 对充分、必要条件的判断要注意以下几点 (1)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过 举出恰当的反例来说明. (2)要注意转化:如果 p 是 q 的充分不必要条件,那么綈 p 是綈 q 的必要不充分条件.同理, 如果 p 是 q 的必要不充分条件,那么綈 p 是綈 q 的充分不必要条件;如果 p 是 q 的充要条 件,那么綈 p 是綈 q 的充要条件.

[冲关集训] 7.(2012· 威海质检)设集合 A={-1,p,2},B={2,3},则“p=3”是“A∩B=B”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C 因为 p=3 时,A∩B=B;又若 A∩B=B,则 p=3. 8.(2012· 徐州检测)已知:p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)· (x-m-1)≤0,若綈 p 是綈 q 的充分 不必要条件,则实数 m 的取值范围为________. 解析:∵p:-2≤x-3≤2,1≤x≤5. ∴綈 p:x<1 或 x>5. 易得 q:m-1≤x≤m+1,∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1. 又∵綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,
? ?m-1≥1, ∴? ∴2≤m≤4. ?m+1≤5, ?

答案:[2,4] 9.(2012· 重庆高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函 数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( ) A.既不充分也不必要的条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.充要条件 解析:选 D ①∵f(x)在 R 上是偶函数,∴f(x)的图像关于 y 轴对称. ∵f(x)为[0,1]上的增函数,∴f(x)为[-1,0]上的减函数. 又∵f(x)的周期为 2,∴f(x)为区间[-1+4,0+4]=[3,4]上的减函数. ②∵f(x)为[3,4]上的减函数,且 f(x)的周期为 2, ∴f(x)为[-1,0]上的减函数. 又∵f(x)在 R 上是偶函数,∴f(x)为[0,1]上的增函数. 由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.

探究新定义下的集合问题 以集合为背景的新定义问题, 历来是高考进行创新命题的一个考点, 常见的命题形式有新概 念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是考生理解问题、解决问 题的能力. [典例] (2012· 深圳调研)设 S 是实数集 R 的非空子集,如果?a,b∈S,有 a+b∈S,a-b∈ S,则称 S 是一个“和谐集”.下面命题中假命题是( ) A.存在有限集 S,S 是一个“和谐集” B.对任意无理数 a,集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和谐集” C.若 S1≠S2,且 S1,S2 均是“和谐集”,则 S1∩S2≠? D.对任意两个“和谐集”S1,S2,若 S1≠R,S2≠R,则 S1∪S2=R [思路点拨] 利用定义一一判断即可. [解析] 对于 A,如 S={0},显然该集合满足:0+0=0∈S,0-0=0∈S,因此 A 正确;对于 B,设任意 x1∈{x|x=ka,k∈Z},x2∈{x|x=ka,k∈Z},则存在 k1∈Z,k2∈Z,使得 x1=k1a,

x2=k2a,x1+x2=(k1+k2)a∈{x|x=ka,k∈Z},x1-x2=(k1-k2)· a∈{x|x=ka,k∈Z},因此 对任意无理数 a,集合{x|x=ka,k∈Z}都是“和谐集”,B 正确;对于 C,依题意,当 S1,S2 均是“和谐集”时,若 a∈S1,则有 a-a∈S1,即 0∈S1,同理 0∈S2,此时 S1∩S2≠?,C 正 确;对于 D,如取 S1={0}≠R,S2={x|x= 2k,k∈Z}≠R,易知集合 S1,S2 均是“和谐集”, 此时 S1∪S2≠R,D 不正确. [答案] D [名师支招] 求解集合中的新定义问题,主要抓两点:①紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义 所叙述的问题的本质弄清楚, 并应用到具体的解题过程之中, 这是破解新定义型集合问题难 点的关键所在;②用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新 定义型集合问题的基础, 也是突破口, 在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一 些因素,在关键之处用好集合的性质. [高考预测] m+n 对于任意的两个正数 m,n,定义运算⊙:当 m,n 都为偶数或都为奇数时,m⊙n= 2 ; 当 m,n 为一奇一偶时, m⊙n= mn,设集合 A={(a,b)|a⊙b=6,a,b∈N*},则集合 A 中的元素个数为________. a+b 解析:(1)当 a,b 都为偶数或都为奇数时, 2 =6?a+b=12,由 2+10=4+8=6+6=1 +11=3+9=5+7=12,知符合题意的点(a,b)有 2×5+1=11 个; (2)当 a,b 为一奇一偶时, ab=6?ab=36,由 1×36=3×12=4×9=36,知符合题意的点(a, b)有 2×3=6 个. 综合(1)(2),集合 A 中的元素个数为 17 个. 答案:17 [配套课时作业] (A) 1. (2012· 江西高考)若全集 U={x∈R|x2≤4}, 则集合 A={x∈R||x+1|≤1}的补集?UA 为( A.{x∈R|0<x<2} C.{x∈R|0<x≤2} B.{x∈R|0≤x<2} D.{x∈R|0≤x≤2} )

解析: C 因为 U={x∈R|x2≤4}={x∈R|-2≤x≤2}, 选 A={x∈R|x+1|≤1}={x∈R|-2≤x≤0}. 借 助数轴易得?UA={x∈R|0<x≤2}. 2.(2012· 江西高考)若集合 A={-1,1},B={0 ,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素 的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:选 C 当 x=-1,y=0 时,z=-1;当 x=-1,y=2 时,z=1;当 x=1,y=0 时, z=1;当 x=1,y=2 时,z=3.故 z 的值为-1,1,3,故所求集合为{-1,1,3},共 3 个元素. 3.(2012· 湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( ) A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数

D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 解析:选 B “存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数,它的平方不 是有理数”. 4.(2012· 福建高考)下列命题中,真命题是( ) A.?x0∈R,ex0≤0 B.?x∈R,2x>x2 a C.a+b=0 的充要条件是b=-1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 解析:选 D 因为?x∈R,ex>0,故排除 A;取 x=2,则 22=22,故排除 B;a+b=0,取 a a=b=0,则不能推出b=-1,故排除 C. 5.已知向量 a=(2,1),b=(-1,2),且 m=ta+b,n=a-kb(t、k∈R),则 m⊥n 的充要条件 是( ) A.t+k=1 B.t-k=1 C.t· k=1 D.t-k=0 解析:选 D ∵a=(2,1),b=(-1,2),∴a· b=0,|a|=|b|= 5,∴m⊥n?m· n=0?(ta +b)· (a-kb)=0?ta2-kta· b+a· b-kb2=0?5t-5k=0,即 t-k=0. 6.(2012· 潍坊模拟)命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 解析:选 C 命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是 a≥4.故其充分不必要条件是 集合[4,+∞)的真子集. 7.下列命题中假命题是( ) A.命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆命题 B.“两非零向量 a,b 的夹角为钝角”的充要条件是“a·b<0” C.若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.命题“若 x∈R,则 x2+x+1<0”的否定 解析:选 B 命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆命题为:“若 x=1,则 x2-3x+2=0”, 是真命题;若两非零向量 a,b 的夹角为钝角,则 a· b<0,反之,若 a· b<0,则两非零向量 a, b 的夹角为钝角或两向量反向,即得“两非零向量 a,b 的夹角为钝角”的必要不充分条件是 “a·b<0”,即命题 B 是假命题;命题 C 显然正确;命题 D 为假命题,其否定为真命题. 8.(2012· 山东高考)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A 若函数 f(x)=ax 在 R 上为减函数,则有 0<a<1;若函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上为 增函数,则有 2-a>0,即 a<2,所以“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的充分不必要条件. 9.如图所示程序框图,已知集合 A={x|x 是程序框图中输出的值},集合 B={y|y 是程序框 图中输出的值},全集 U=Z,Z 为整数集.当 x=-1 时,(?UA)∩B 等于( )

A.{-3,-1,5} B.{-3,-1,5,7} C.{-3,-1,7} D.{-3,-1,7,9} 解析:选 D 根据程序框图所表示的算法,框图中输出的 x 值依次为 0,1,2,3,4,5,6;y 值依次 为-3,-1,1,3,5,7,9.于是 A={0,1,2,3,4,5,6},B={-3,-1,1,3,5,7,9},因此(?UA)∩B={-3, -1,7,9}. 10.定义差集 A-B={x|x∈A,且 x?B},现有三个集合 A、B、C 分别用圆表示,则集合 C- (A-B)可表示下列图中阴影部分的为( )

解析:选 A 如图所示,A-B 表示图中阴影部分.故 C-(A-B)所含元素属于 C,但不属于 图中阴影部分.

k0 11.命题“?k0∈R,函数 y= x 在(0,+∞)上单调递增”的否定是________. 解析:特称命题的否定是全称命题. k 答案:?k∈R,函数 y=x在(0,+∞)上非单调递增 12.设集合 A={5,log2(a+3)},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=________. 解析:由题意,log2(a+3)=2,得 a=1, 所以 b=2,从而 A∪B={1,2,5}. 答案:{1,2,5} 2 13.已知 R 是实数集,M={x| x <1},N={y|y= x-1+1},则 N∩(?RM)=________. 2 解析:M={x|x <1}={x|x<0 或 x>2}, N={y|y= x-1+1}={y|y≥1}, ?RM={x|0≤x≤2}, ∴N∩(?RM)={x|1≤x≤2}=[1,2]. 答案:[1,2] 14. 下面有四个关于充要条件的命题: ①向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一 个实数 λ 使得 b=λa;②函数 y=x2+bx+c 为偶函数的充要条件是 b=0;③两个事件为互

2x 斥事件是这两个事件为对立事件的充要条件;④若 p: <1,q:(x+1)(x-m)(x-3)>0, x-1 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 m 的取值范围是 m≥1.其中, 真命题的编号是________(写 出所有真命题的编号). 解析:由共线向量定理,知命题①为真;函数 y=x2+bx+c 为偶函数的充要条件是对 b 称轴为 y 轴,即-2=0, b=0, 因此②为真;对立事件是互斥事件的特殊情形, 所以③为假; 在④中,命题 p 对应集合 A={x|-1<x<1}, 当 m>3 时,q 对应集合 B={x|-1<x<3 或 x>m},有 A ? B,符合 p 是 q 的充分不必要条件; 当 m=3 时,q 对应集合 B={x|x>-1 且 x≠3}.A ? B 符合题意; 当-1<m<3 时, 对应集合 B={x|-1<x<m 或 x>3}, p 是 q 的充分不必要条件, q 若 那么 m≥1; 当 m≤-1 时,不符合题意. 综上,可得 m 的取值范围是 m≥1,④为真. 答案:①②④ (B) 1.(2012· 山东高考调研卷)已知集合 A={x|-1≤x≤1},B={x|-1≤x≤a},且(A∪B)?(A∩B), 则实数 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 B 由(A∪B)?(A∩B)易得 A∪B=A∩B,则 A=B,∴a=1. 2.(2012· 辽宁高考)已知命题 p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈 p 是( ) A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 解析:选 C 命题 p 的否定为“?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0”. 1 3.(2011· 陕西高考)设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x||x- i |< 2,i 为虚数 单位,x∈R},则 M∩N 为( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 解析:选 C 对于集合 M,函数 y=|cos 2x|,其值域为[0,1],所以 M=[0,1].根据复数模的 计算方法得不等式 x2+1< 2,即 x2<1,所以 N=(-1,1),则 M∩N=[0,1). 4.已知 a,b 是非零向量,则 a 与 b 不共线是|a+b|<|a|+|b|的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 解析:选 A 若 a 与 b 不共线,则|a+b|<|a|+|b|成立,反之,若|a+b|<|a|+|b|,则 a 与 b 可能不共线也可能反向共线. x 5.设全集 U=R,集合 A={x∈Z| ≥0},B={x∈Z|x2≤9},则图中阴 3-x 影部分表示的集合为( A.{1,2} B.{0,1,2} )

C.{x|0≤x<3}

D.{x|0≤x≤3}

x 解析: B 图中阴影表示的是 A∩B, 选 化简集合: A={x∈Z| ≤0}={x∈Z|0≤x<3}={0,1,2}, x-3 B={x∈Z|-3≤x≤3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以 A∩B={0,1,2}. x 6.设 A: <0,B:0<x<m,若 B 是 A 成立的必要不充分条件,则 m 的取值范围是( x-1 A.(-∞,1) C.[1,+∞) 解析:选 D B.(-∞,1] D.(1,+∞) x <0?0<x<1.由已知得,(0,1)?(0,m). x-1

)

所以 m>1. 7.(2012· 安庆模拟)下列命题中错误的是( ) A.命题“若 x2-5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x2-5x+6≠0” B.若 x,y∈R,则“x=y”是“xy≥

?x+y?2 成立”的充要条件 ? 2 ?

C.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 D.若命题 p:?x∈R,使得 x2+1<0,则綈 p:?x∈R,x2+1≥0 解析:选 C 易知选项 A,B,D 都正确;选项 C 中,若 p∨q 为假命题,根据真值表,可知 p,q 必都为假. 8.已知命题 p:“?x∈[1,3],x2-a≥0”,命题 q:“?x∈R,使 x2+2ax+2-a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.{a|a≤-2 或 a=1} B.{a|a≥1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2} D.{a|-2≤a≤1} 解析:选 A 命题 p 成立,则 a≤x2 对 x∈[1,3]恒成立. 当 x∈[1,3]时,1≤x2≤9.所以 a≤1, 命题 q 成立,即方程 x2+2ax+2-a=0 有实根, 则 Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得 a≥1 或 a≤-2, 所以当 a=1 或 a≤-2 时,命题“p 且 q”是真命题. 9.(2012· 河南省三市调研)设 U 为全集,对集合 X,Y,定义运算“*”,X*Y=?U(X∩Y).对于 任意集合 X,Y,Z,则(X*Y)*Z=( ) A.(X∪Y)∩?UZ B.(X∩Y)∪?UZ C.(?UX∪?UY)∩Z D.(?UX∩? UY)∪Z 解析:选 B 依题意得(X*Y)=?U(X∩Y), (X*Y)*Z=?U[(X*Y)∩Z]=?U[?U(X∩Y)∩Z] ={?U[?U(X∩Y)]}∪(?UZ)=(X∩Y)∪(?UZ). 10.(2012· 浙江高考)设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数( ) A.若 ea+2a=eb+3b,则 a>b B.若 ea+2a=eb+3b,则 a<b C.若 ea-2a=eb-3b,则 a>b D.若 ea-2a=eb-3b,则 a<b 解析:选 A ∵a>0,b>0, ∴ea+2a=eb+3b=eb+2b+b>eb+2b. 对于函数 y=ex+2x(x>0),∵y′=ex+2>0, ∴y=ex+2x 在(0,+∞)上单调递增,因而 a>b 成立.

11.已知集合 A={3,m2},B={-1,3,2m-1}.若 A?B,则实数 m 的值为________. 解析:∵A?B,∴m2=2m-1,或 m2=-1(舍). 由 m2=2m-1 得 m=1.经检验 m=1 时符合题意. 答案:1 12.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的________条件. 7 解析:因为 x≥2 且 y≥2?x2+y2≥4,所以充分性满足;反之不成立,例如 x=y=4,满足 x2 +y2≥4,但不满足 x≥2 且 y≥2,所以“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件. 答案:充分不必要 13. 在命题 p 的四种形式(原命题、 逆命题、 否命题、 逆否命题)中, 正确命题的个数记为 f(p), 已知命题 p:“若两条直线 l1:a1x+b1y+c1 =0,l2:a2x+b2y+c2=0 平行,则 a1b2-a2b1 =0”,那么 f(p)=________. 解析:由 l1∥l2?a1b2-a2b1=0,但 a1b2-a2b1=0?/ l1∥l2,故原命题、逆否命题正确, 逆命题和否命题错误.所以 f(p)=2. 答案:2 14.设命题 p:在直角坐标平面内,点 M(sin α,cos α)与 N(|a+1|,|a-2|)(a∈R)在直线 x +y-2=0 的异侧;命题 q:若向量 a,b 满足 a· b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角.则 p 或 q 为 ________命题,p 且 q 为________命题. 解析:命题 q:若向量 a,b 满足 a· b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角,显然为假,因为当 a=b 时,a· b>0,但是 a 与 b 的夹角是 0;由 sin α+cos α≤ 2得 sin α+cos α-2<0,由|a+1|+|a -2|=|a+1|+|2-a|≥|a+1+2-a|=3>2,得|a+1|+|a-2|-2>0,所以 M、N 在直线 x +y-2=0 的异侧,故命题 p 正确,所以 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题. 答案:真 假

第二节

函数、基本初等函数的图像与性质

1.熟记指数与对数式的七个运算公式 M am· an=am+n;(am)n=amn;loga(MN)=logaM+logaN;loga N =logaM-logaN;logaMn= logbN nlogaM;alogaN=N;logaN= logba (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0,N>0). 2.把握两个特殊函数的图像性质 指数函数 定义 对数函数 形如 y=ax(a>0 且 a≠1)的函数叫指数 形如 y=logax(a>0 且 a≠1)的函数叫 函数 对数函数

图像

定义域

R

{x|x>0}

值域 过定点 单调性

{y|y>0} (0,1) 0<a<1 时,在 R 上单调递减 a>1 时,在(0,+∞)上单调递增 0<a<1,当 x>0 时,0<y<1 当 x<0 时,y>1 a>1,当 x>0 时,y>1 当 x<0 时,0<y<1

R (1,0) a>1 时,在 R 上单调递增 0<a<1 时, 在(0,+∞)上单调递减 0<a<1,当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 a>1,当 x>1 时,y>0 当 0<x<1 时,y<0

函数值性质

3.识破函数三个基本性质 (1)单调性是 函数在其定义域上的局部性质,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 x1,x2,且 x1<x2,都有 f(x1)<f(x2)成立,则 f(x)在 D 上是增函数(都有 f(x1)>f(x2) 成立,则 f(x)在 D 上是减函数). (2)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称), 都有 f(-x)=-f(x)成立,则 f(x)为奇函数(都有 f(-x)=f(x)成立,则 f(x)为偶函数). (3)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数 f(x),如果对于定义域内的任 意一个 x 的值: 若 f(x+T)=f(x)(T≠0),则 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期. 4.辨明抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(x-a),则 f(x)为周期函数,2a 是它的一个周期. ②设 f(x)是 R 上的偶函数,且图像关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f(x)是周期函数,2a 是它的一 个周期. ③设 f(x)是 R 上的奇函数,且图像关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f(x)是周期函数,4a 是它的一 个周期. (2)函数图像的对称性 ①若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图像关于直线 x=a 对称. ②若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),即 f(x)=-f(2a-x),则 f(x)的图像关于点(a,0)对称. a+b ③若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图像关于直线 x= 2 对称.

函数及其表示 [考情分析] 此类问题多以选择和填空题出现, 其考查形式有两种: 一是以分段函数为载体, 求函数值;二是求简单函数的定义域转化为解不等式的问题.预测 2013 年的高考仍会以考 查基本概念为主,难度不会太大. [例 1] (2012· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=

?ax+1,-1≤x<0, ? ?1? ?3? ?bx+2 其中 a,b∈R.若 f 2 =f 2 ,则 a+3b 的值为________. ? ? ? ? ? x+1 ,0≤x≤1, ? ?1? ? 1? [思路点拨] 由函数 f(x)是周期函数可推出 f 2 =f -2 及 f(-1)=f(1),从而得到关于 a,b ? ? ? ?
的方程,则可求解.

?3? ?3 ? ? 1? ?1? ? 1? [解析] 因为 f(x)的周期为 2,所以 f 2 =f 2-2 =f -2 ,即 f 2 =f -2 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
b +2 1? 1? 2 b+4 1 ? ? 又因为 f -2 =-2a+1,f 2 =1 = 3 , ? ? ? ? 2+1 b+4 1 所以-2a+1= 3 . 2 整理,得 a=-3(b+1).① b+2 又因为 f(-1)=f(1),所以-a+1= 2 , 即 b=-2a.② 将②代入①,得 a=2,b=-4. 所以 a+3b=2+3×(-4)=-10. [答案] -10 [类题通法] 1.求函数定义域的类型和相应方法 (1)若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只 需构建并解不等式(组)即可. (2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义. 2.求函数值时应注意 形如 f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则;而对于分段函数的求值(解不等式)问题, 必须依据条件准确地找出利用哪一段求解; 特别地, 对具有周期性的函数求值要用好其周期 性. [冲关集训] 1 1.(2012· 山东高考)函数 f(x)= + 4-x2的定义域为( ) ln? x+1? A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2] B.(-1,0)∪(0,2]

?x+1>0, ? 解析:选 B 由?ln? x+1? ≠0, 得-1<x≤2,且 x≠0. ?4-x2≥0, ?
f? 2x? 2.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= ln x 的定义域是( )

A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) 解析:选 D 因为 f(x)的定义域为[0,2],所以对 g(x),0≤2x≤2 且 x>0,x≠1,故 x∈(0,1). 3.(2012· 江南十校联考)设函数 y=f(x)在 R 上有定义,对于给定的正数 M,定义函数 fM(x)
?f? x? ,f? x? ≤M, ? =? 则称函数 fM(x)为 f(x)的“孪生函数”.若给定函数 f(x)=2-x2,M= ?M,f? x? >M, ?

1,则 fM(fM(0))的值为(

)

A.2

B.1

C. 2 D.- 2 解析:选 B 由题意,令 f(x)=2-x2=1,得 x=±1,因此当 x≤-1 或 x≥1 时,fM(x)=2-x2; 当-1<x<1 时,fM(x)=1,所以 fM(0)=1,fM(fM(0))=fM(1)=2-12=1. 4.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,2],则该函数 的解析式 f(x)=________. 解析:由题意知:a≠0.f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2 是偶函数,则其图像关于 y 轴对称,所以 2a+ab=0?b=-2.所以 f(x)=-2x2+2a2,且值域为(-∞, 2].所以 2a2 =2. 所以 f(x)=-2x2+2. 答案:-2x2+2 函数的图像 [考情分析] 高考对此类问题的考查常有两种类型,一是以抽象函数给出;二是以几种 初等函数为基础结合函数的性质综合考查.考查形式有:知图选式,知式选图,知图选图, 图像变换等. b [例 2] (2012· 河北唐山模拟)形如 y= (a>0, b>0)的函数, 因其图像类似于汉字中的“囧” |x|-a 字,故我们把它称为“囧函数”.若当 a=1,b=1 时的“囧函数”与函数 y=lg|x|图像的交点个 数为 n,则 n=________. [思路点拨] 在同一坐标系中作出两函数的图像,即可判定交点个数. 1 ?x-1? x≥0且x≠1? , ? 1 由题易知,当 a=1,b=1 时,y= = |x|-1 ? 1 ?-x+1? x<0且x≠-1? ?

[解析]

在同一坐 ,

标系中画出“囧函数”与函数 y=lg |x|的图像如图所示,易知它们有 4 个交点.

[答案] 4 [类题通法] 作图、识图、用图技巧 (1)作图:常用描点法和图像变换法.图像变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)识图:从图像与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解 析式与图像的对应关系. (3)用图:图像形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等 式的求解常与图像数形结合研究. [冲关集训] 1 5.(2012· 四川高考)函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图像可能是( )

1 解析:选 D 法一:当 0<a<1 时,函数 y=ax-a是减函数,且其图像可视为是由函数 y=ax 1 的图像向下平移a个单位长度得到的,结合各选项知选 D. 1 法二:因为函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)必过点(-1,0),所以选 D. 6.函数 y=xln(-x)与 y=xln x 的图像关于( ) A.直线 y=x 对称 B.x 轴对称 C.y 轴对称 D.原点对称 解析: D 若点(m, 选 n)在函数 y=xln x 的图像上, n=mln m, 则 所以-n=-mln[-(-m)], 可知点(-m,-n)在函数 y=xln(-x)的图像上,而点(m,n)与点(-m,-n)关于原点对称, 所以函数 y=xln x 与 y=xln(-x)的图像关于原点对称. 7.(2012· 江南十校联考)定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在(0,2]上的图像如图所示, 则不等式 f(x)>x 的解集为________. 解析:依题意,画出 y=f(x)与 y=x 的图像,如图所示,注意到 y=f(x)的 2? ?2 2? ? 2 图像与直线 y=x 的交点坐标是 3,3 和 -3,-3 , 不等 ? ? ? ? 结合图像可知, 2? ? 2? ? 式 f(x)>x 的解集是 -2,-3 ∪ 0,3 . ? ? ? ? 2? ? 2? ? 答案: -2,-3 ∪ 0,3 ? ? ? ? 函数的性质 [考情分析] 函数的奇偶性、周期性等问题常以选择题或填空题的形式出现,而函数的 单调性和最值常出现在解答题中. 其中函数的单调性在比较函数值的大小、 求解函数的最值 与值域、求解不等式方面的应用是高考的重点.预测分段函数与函数性质的结合仍是 2013 年高考的热点. [例 3] (2012· 山东高考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=- (x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=( ) A.335 B.338 C.1 678 D.2 012 [思路点拨] 由已知可判断函数为周期函数,可利用周期性求值. [解析] ∵f(x+6)=f(x),∴T=6.

∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1, 2 010 ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1× 6 =335. 而 f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335+3=338. [答案] B [类题通法] 1.判断函数单调性的一般规律 对于选择、填空题若能画出图像一般用数形结合法;而对于由基本初等函数通过加、减运算 或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题; 对于解析式为分式、 指数函数 式、对数函数式等较复杂的函数用导数法;对于抽象函数一般用定义法. 2.函数的奇偶性 (1)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称. (2)确定函数的奇偶性,务必先判定函数的定义域是否关于原点对称. (3)对于偶函数而言,有 f(-x)=f(x)=f(|x|). [冲关集训] 8.(2012· 天津高考)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A.y=cos 2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 ex-e-x C.y= ,x∈R 2 D.y=x3+1,x∈R 解析:选 B 由函数是偶函数可以排除 C 和 D ,又函数在区间(1,2)内为增函数,而此时 y= log2|x|=log2x 为增函数.

? 3? 9.(2012· 山西省四校联考)定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(3-x)=f(x), x-2 f′(x)>0,若 ? ?
x1<x2 且 x1+x2>3,则有( ) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.不确定 3 3 3 解析: B 依题意得 f(x1)=f(3-x1), x>2时, 选 当 f′(x)>0, f(x)是增函数. x1≥2, x2>x1≥2, 若 则 3 3 f(x2)>f(x1);若 x1<2,则由 x1<x2 及 x1+x2>3 得 x2>3-x1>2,所以 f(x2)>f(3-x1)=f(x1). 10.(2012· 浙江高考)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x

?3? +1,则 f 2 =________. ? ?
解析:依题意得,f(2+x)=f(x),f(-x)=f(x), 3 ?3? ? 1? ?1? 1 则 f 2 =f -2 =f 2 =2+1=2. ? ? ? ? ? ? 3 答案:2

11.(2012· 温州适应性测试)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=ex+a,若 f(x)在 R 上是单调函数,则实数 a 的最小值是________. 解析:依题意得 f(0)=0.当 x>0 时,f(x)>e0+a=a+1.若函数 f(x)在 R 上是单调函数,则有 a +1≥0,a≥-1,因此实数 a 的最小值是-1. 答案:-1

破解抽象函数的五个问题 抽象函数是高中数学的难点,具体表现在: ①求抽象函数的定义域.其方法是根据已知函数的定义域,利用代换法得到不等式(组)进行 求解. ②求抽象函数的函数值.一般用赋值法,需要结合已知条件挖掘出函数的性质,特别是借助 函数的奇偶性和周期性来转化解答. ③判定抽象函数的奇偶性, 其方法是要判断-x 对应的函数值与 x 对应的函数值之间的关系. ④求抽象函数的周期,其方法仍是需要寻求 f(x+T)=f(x)(其中 T≠0). ⑤抽象函数的单调性与不等式. 高考对抽象函数单调性的考查一般利用函数单调性的定义结 合已知条件进行转化. 对于解有关抽象函数的不等式问题, 常利用抽象函数的性质转化为解 确定的不等式(组)问题.

?x1? [典例] 已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f x2 =f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. ? ?
(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. [思路点拨] 通过取特殊值求 f(1)的值,根据函数单调性的定义判断函数的单调性,然后根 据函数的单调性求解不等式. [解] (1)令 x1=x2>0,代入,得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则x2>1,

?x1? 由于当 x>1 时,f(x)<0,所以 f x2 <0,即 f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2). ? ?
所以函数 f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.

?x1? ?9? (3)由 f x2 =f(x1)-f(x2),得 f 3 =f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. ? ? ? ?
由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 所以当 x>0 时,由 f(|x|)<-2,即 f(x)<f(9),得 x>9; 当 x<0 时,由 f(|x|)<-2,即 f(-x)<f(9),得-x>9,故 x<-9, 因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}. [名师支招] x1 解决本题的关键是根据单调性的定义, 在设出 x1>x2>0 后, 转为x2>1, 从而判断出 f(x1)-f(x2) 的符号, 对抽象函数的单调性的判断要结合已知条件进行构造判断. 在解抽象不等式问题时, 要注意寻找函数值为-2 的自变量的取值,并由函数的单调性转化为自变量的大小关系解 答,要注意在函数的定义域内求解.

[高考预测] 1.函数 y=f(x)(x∈R)的图像如图所示,下列说法正确的是(

)

①函数 y=f(x)满足 f(-x)=-f(x); ②函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(-x); ③函数 y=f(x)满足 f(-x)=f(x); ④函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x). A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 解析:选 C 由图像可知,函数 f(x)为奇函数且关于直线 x=1 对称;对于②,因为 f(1+x) =f(1-x),所以 f[1+(x+1)]=f[1-(x+1)],即 f(x+2)=f(-x). 故①②正确,③④不正确. 2.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. 解析:因为 y=f(x)+x2 是奇函数,且 x=1 时,y=2, 所以当 x=-1 时,y=-2,即 f(-1)+(-1)2=-2, 得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案:-1 [配套课时作业] 1.(2012· 嘉兴月考)如图给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是( )

1 3

1 2

A.①y=x ,②y=x2,③y=x ,④y=x-1
1

B.①y=x3,②y=x2,③y=x ,④y=x-1
1

2

C.①y=x2,②y=x3,③y=x ,④y=x-1
1 3 1 2

2

D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x-1 解析:选 B 可以根据图像对应寻求函数. 2. 已知偶函数 f(x)在(0, +∞)上是单调递增函数, 则满足 f( x+2)<f(x)的 x 的取值范围是( A.(2,+∞) B.(-∞,-1) C.[-2,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)
?x+2≥0, ? 解析:选 C 由“偶函数 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数”,可得 x+2<|x|,即? ? ?x+2<x2,

)

解得-2≤x<-1 或 x>2. 3.(2012· 西城一模)设 a=log23,b=log43,c=0.5,则( A.c<b<a B.b<c<a

)

C.b<a<c

D.c<a<b

1 解析:选 A a=log23,b=log43=log2 3,c=2=log2 2,而 y=log2x 在(0,+∞)上是增 函数, 所以 a>b>c.

? ? 1 ?? 4. (2012· 朝阳一模)已知函数 y=f(x)是奇函数, x>0 时, 当 f(x)=lg x, f f 100 的值等于( 则 ? ? ??
1 A.lg 2 1 B.-lg 2

)

C.lg 2 D.-lg 2 解析:选 D 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=lg(-x). 又函数 f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x), 所以当 x<0 时,f(x)=-lg(-x). 1 ? 1 ? 所以 f 100 =lg100=-2, ? ?

? ? 1 ?? f f 100 =f(-2)=-lg 2. ? ? ??
?log2x,x≥1, ? 5. (2012· 运城质检)已知函数 f(x)=? 则“c=-1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的( ? ?x+c,x<1,

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A 当 c=-1 时,易知 f(x)在 R 上递增;反之,若 f(x)在 R 上递增,则需有 1+c≤0, 即 c≤-1.所以“c=-1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的充分不必要条件. 6. (2011· 山东高考)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 且当 0≤x<2 时, f(x)=x3-x, 则函数 y=f(x)的图像在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:选 B 由 f(x)=0,x∈[0,2)可得 x=0 或 x=1,即在一个周期内,函数的图像与 x 轴有 两个交点,在区间[0,6)上共有 6 个交点,当 x=6 时,也是符合要求的交点,故共有 7 个不 同的交点. 7.(2011· 浙江高考)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),故 1-|1+a|=1-|-1 +a|,所以 a=0. 答案:0 8.给出下列四个函数: ①y=2x;②y=log2x;③y=x2;④y= x. ?x1+x2?>f? x1? +f? x2? 恒成立的函数的序号是________. 当 0<x1<x2<1 时,使 f 2 ? 2 ? 解析:由题意知满足条件的图像形状为:

故符合图像形状的函数为 y=log2x,y= x. 答案:②④ 9.(2012· 淮南调研)已知 a 是正实数,函数 f(x)=ax2+2ax+1,若 f(m)<0,比较大小:f(m+ 2)________1.(用“<”或“=”或“>”连接) 解析:根据已知条件画出 f(x)图像如图所示. 因为对称轴方程为 x=-1,所以(0,0)关于 x=-1 的对称点为(-2,0). 因 f(m)<0, 所以应有-2<m<0,m+2>0. 因 f(x)在(-1,+∞)上递增, 所以 f(m+2)>f(0)=1. 答案:> 1 10.已知函数 f(x)的图像与函数 h(x)=x+x +2 的图像关于点 A(0,1)对称. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)=f(x)· x+ax,且 g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 f(x)图像上任意一点坐标为 B(x,y),其关于 A(0,1)的对称点 B′(x′,y′),

?x′+x=0, ? 2 则? y+y′ ? 2 =1, ?

? ?x′=-x, ∴? ?y′=2-y. ?

1 ∵B′(x′,y′)在 h(x)上,∴y′=x′+x′+2. 1 ∴2-y=-x-x +2, 1 1 ∴y=x+x ,即 f(x)=x+x . (2)g(x)=x2+ax+1, a ∵g(x)在[0,2]上为减函数,∴-2≥2,即 a≤-4. ∴a 的取值范围为(-∞,-4]. 11.已知函数 f(x)=ex-e-x(x∈R 且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切实数 x 都成立?若存在,求出 t; 若不存在,请说明理由.

?1? 解:(1)因为 f(x)=ex- e x,且 y=ex 是增函数, ? ? ?1? y=- e x 是增函数,所以 f(x)是增函数. ? ?

由于 f(x)的定义域为 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以 f(x)是奇函数. (2)由(1)知 f(x)是增函数和奇函数, 所以 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切 x∈R 恒成立 ?f(x2-t2)≥f(t-x)对一切 x∈R 恒成立 ?x2-t2≥t-x 对一切 x∈R 恒成立 ?t2+t≤x2+x 对一切 x∈R 恒成立

? 1? ? 1?m ? t+2 2≤ x+2 2 in ? ? ? ?
1 ? 1? ? t+2 2≤0?t=-2. ? ? 1 即存在实数 t=-2,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)≥0 对一切实数 x 都成立. 12.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x). (1)求 f(2 012)的值, (2)求证:函数 f(x)的图像关于直线 x=2 对称, (3)若 f(x)在区间[0,2]上是增函数,试比较 f(-25),f(11),f(80)的大小. 解:(1)因为 f(x-4)=-f(x), 所以 f(x)=-f(x-4)=-{-f[(x-4)-4]}= f(x-8), 知函数 f(x)的周期为 T=8, 所以 f(2 012)=f(251×8+4)=f(4)=-f(0). 又 f(x)为定义在 R 上的奇函数 所以 f(0)=0,故 f(2 012)=0. (2)因为 f(x)=-f(x-4), 所以 f(x+2)=-f[(x+2)-4]=-f(x-2)=f(2-x), 知函数 f(x)的图像关于直线 x=2 对称. (3)由(1)知 f(x)为以 8 为周期的周期函数, 所以 f(-25)=f[(-3)×8-1]=f(-1), f(11)=f(8+3)=f(3)=-f(-1)=f(1), f(80)=f(10×8+0)=f(0). 又 f(x)在[0,2]上是增函数,且 f(x)在 R 上为奇函数,所以 f(x)在[-2,2]上为增函数,则有 f(- 1)<f(0)<f(1). 即 f(-25)<f(80)<f(11).

第三节

函数与方程及函数的应用

1.确定函数零点的三种常用方法 (1)解方程判定法.若方程易解时用此法. (2)零点定理法.根据连续函数 y=f(x)满足 f(a)f(b)<0,判断函数在区间(a,b)内存在零点.

(3)数形结合法.尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解. 2.解函数应用题的四步曲 (1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题; (2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式; (3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果; (4)实际问题作答:将数学问题的结果转译成实际问题作出解答.

函数的零点 [考情分析] 高考对本部分内容的考查多以选择题或填空题的形式出现,考查求函数零点的 存在区间、确定零点的个数以及两函数图像交点的横坐标或确定有几个交点. [例 1] (2012· 湖南高考)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,f′(x)是 f(x) π ? π? 的导函数,当 x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π)且 x≠2时, x-2 f′(x)>0.则函数 y=f(x) ? ? -sin x 在[-2π,2π]上的零点个数为( ) A.2 B.4 C.5 D.8 [思路点拨] 将 y=f(x)-sin x 零点的个数转化为 y1=f(x)与 y2=sin x 图像的交点个数.

? π? [解析] ∵ x-2 f′(x)>0, ? ?
π 当2<x<π 时,f′(x)>0,

?π ? ∴f(x)在 2,π 上是增函数. ? ?
π 当 0<x<2时,f′(x)<0,

? π? ∴f(x)在 0,2 上是减函数. ? ?
设 π≤x≤2π,则 0≤2π-x≤π.由 f(x)是以 2π 为最小正周期的偶函数知 f(2π-x)=f(x).故 π≤x≤2π 时,0<f(x)<1. 依题意作出草图可知,y1=f(x)与 y2=sin x 在[-2π,2π]上有 4 个交点. [答案] B [类题通法] (1)解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定和数形结合法,尤其是方程 两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解. (2)函数零点(即方程的根)的应用问题,即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问 题, 解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想, 构建关于参数的方程或不等式求 解. [冲关集训]
?2x-1,x≤1, ? 1.(2012· 山东高考调研)已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为( ? ?1+log2x,x>1,

)

1 A.2,0 1 C.2

B.-2,0 D.0

解析:选 D 当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x=0, 1 解得 x=2, 又因为 x>1,所以此时方程无解. 综上,函数 f(x)的零点只有 0. 2.(2012· 唐山统考)设 f(x)=ex+x-4,则函数 f(x)的零点位于区间( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 解析:选 C ∵f(x)=ex+x-4,∴f′(x)=ex+1>0, ∴函数 f(x)在 R 上单调递增.又 f(-1)=e-1+(-1)-4=-5+e-1<0,f(0)=-3<0, f(1)=e+1-4=e-3<0, f(2)=e2+2-4=e2-2>0,故 f(1)f(2)<0. 2 3.(2012· 朝阳期末)函数 f(x)=2x-x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是 ( ) B.(1,2) D.(0,2) A.(1,3) C.(0,3)

2 解析:选 C 因为 f′(x)=2xln 2+x2>0,所以 f(x)是增函数,由条件可知 f(1)f(2)<0,即(2-2 -a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)<0,解之得 0<a<3. 与函数有关的自定义问题 [考情分析] 此类问题命题以函数的图像与性质为背景创设新情景,通常从定义的新运 算、新概念或新性质入手,考查函数的图像与单调性、最值(值域)以及零点等函数性质,常 与方程、不等式问题结合.今后对新定义函数的考查是高考的一大热点. [例 2] (2012· 武汉适应性训练)定义在 R 上的函数 f(x),如果存在函数 g(x)=kx+b(k,b 为常 数),使得 f(x)≥g(x)对一切实数 x 都成立,则称 g(x)为函数 f(x)的一个承托函数. 现有如下函数:
?lg x,x>0, ? ①f(x)=x3;②f(x)=2-x;③f(x)=? ④f(x)=x+sin x. ? ?0,x≤0;

则存在承托函数的 f(x)的序号为________.(填入满足题意的所有序号) [思路点拨] 利用承托函数的定义,一一分析即可. [解析] 对于①,结合函数 f(x)的图像分析可知,不存在函数 g(x)使得 f(x)≥g(x)对一切实数 x 都成立,即 f(x)不存在承托函数;对于②,注意到 f(x)=2-x>0,因此存在函数 g(x)=0,使 得 f(x)≥g(x)对一切实数 x 都成立,f(x)存在承托函数;对于③,结合函数 f(x)的图像分析可知, 不存在函数 g(x)使得 f(x)≥g(x)对一切实数 x 都成立,即 f(x)不存在承托函数;对于④,注意到 f(x)=x+sin x≥x-1,因此存在函数 g(x)=x-1,使得 f(x)≥g(x)对一切实数 x 都成立,f(x)存在 承托函数.综上所述,存在承托函数的 f(x)的序号为②④. [答案] ②④ [类题通法]

解决与函数有关的新信息题的思路: 第一步准确理解新的运算、概念或性质. 第二步根据新的定义,类比与函数有关的运算、性质等将其转化为熟悉的函数问题. 第三步利用函数的相关知识求解问题. [冲关集训]
?a? a≥b? , ? 4.定义一种运算:a?b=? 已知函数 f(x)=2x?(3-x),那么函数 y=f(x+1)的大 ? ?b? a<b? ,

致图像是(

)

? ?2x, x≥1, 解析: B 由题意得函数 f(x)=? 选 所以函数 f(x)的大致图像如图所示, 函数 f(x ? ?3-x,x<1,

+1)的图像可由函数 f(x)的图像向左平移 1 个单位得到.

5.(2012· 东城综合测试)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2, 则称 f(x)为单函数.例如:函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数. 给出下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号) 解析:根据单函数的定义,可判断命题②、④是真命题,①是假命题;根据一个命题与其逆 否命题等价可知,命题③是真命题. 答案:②③④ 函数模型及其应用 [考情分析] 该类试题以实际生活为背景,通过巧妙设计和整合命制考题,试题常与函 数解析式的求法、函数最值、不等式、导数、解析几何、空间几何体等知识交汇.预测 2013 年的高考以求函数的最值为热点. [例 3] (2011· 山东高考)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器 80π 的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 3 立方米,且 l≥2r.假 设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球 形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域;

(2)求该容器的建造费用最小时的 r. [思路点拨] (1)先找到 l 和 r 的关系,再根据问题情景,列出函数解析式. (2)利用导数法求 y 的最小值. [解] (1)设容器的容积为 V, 4 80π 由题意知 V=πr2l+3πr3,又 V= 3 , 4 V-3πr3 80 4 4?20 ? 故 l= πr2 = 3r2-3r=3 r2 -r .

?

?

由于 l≥2r, 因此 0<r≤2. 4?20 ? 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr×3 r2 -r ×3+4πr2c,

?

?

160π 因此 y=4π(c-2)r2+ r ,0<r≤2. 160π (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- r2 20 ? 8π? c-2? ? r3- = c-2?,0<r<2. r2 ? 由于 c>3,所以 c-2>0, 3 20 20 当 r3- =0 时,r= . c-2 c-2 3 20 =m,则 m>0, c-2 c-2? (r-m)(r2+rm+m2). r2



8π? 所以 y′=

9 ①当 0<m<2 即 c>2时, 当 r=m 时, y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时, y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2 即 3<c≤2时, 当 r∈(0,2)时, y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤2,建造费用最小时 r=2; 3 9 当 c>2时,建造费用最小时 r= [类题通法] 20 . c-2

解决函数实际应用题的关键有两点:一是认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的 实际背景;然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题;二是要合理选取 参变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关 系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解. [冲关集训] 6.(2011· 北京高考)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

? x,x<A, ? f(x)=? c ? ? A,x≥A
c

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产

品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是( A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16

)

解析: D 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟, 选 所以

c c c =15①, 所以必有 4<A, 且 =2= A 4

30②,联立①②解得 c=60,A=16. 7.(2012· 南通调研)经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天)的函 1 112 1 数,且日销售量近似地满足 g(t)=-3t+ 3 (1≤t≤100,t∈N),前 40 天价格为 f(t)=4t+ 1 22(1≤t≤40,t∈N),后 60 天价格为 f(t)=-2t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额 S(t)的最大值和最小值. 解:当 1≤t≤40,t∈N 时, 1 112×22 1 2 500 ? 1 112??1 ? S(t)=g(t)f(t)= -3t+ 3 4t+22 =-12t2+2t+ 3 =-12(t-12)2+ 3 , ? ?? ? 所以 768=S(40)≤S(t)≤S(12)= 当 41≤t≤100,t∈N 时, S(t)=g(t)f(t) 112×22 2 500 3 +12= 3 .

? 1 112?? 1 ? = -3t+ 3 -2t+52 ? ?? ?
1 112×52 1 8 =6t2-36t+ 3 =6(t-108)2-3, 1 491 所以 8=S(100)≤S(t)≤S(41)= 2 . 2 500 所以,S(t)的最大值为 3 ,最小值为 8.

“图”解三次函数的零点问题 三次函数的零点与三次方程根的问题主要有四类: 一是判断函数零点或方程根的个数; 二是 利用函数零点确定函数解析式; 三是确定函数零点或方程根的取值范围; 四是利用函数零点

或根的个数求解参数的取值范围. 解决三次函数零点的有关问题主要利用数形结合的数学思想,利用导数研究函数的有关性 质,主要包括函数的单调性与极值以及函数在区间端点处的函数值,然后画出函数图像,结 合函数图像的特征判断、求解. [典例] 已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数 g(x)=f(x)-m 在 x∈[-2,5]上有 3 个零点, 则 m 的取值范围为( ) A.(-24,8) B.(-24,1] C.[1,8] D.[1,8) [思路点拨] 首先利用导数研究函数 f(x)在区间[-2,5]内的函数图像的特征,判断其单调性 与极值,画出函数的大致图像,然后根据函数图像的特征确定参数 m 所满足的不等式,解 之即可. [解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3),令 f′(x)= 0,得 x=-1 或 x=3. 当 x∈[-2,-1)时,f′(x)>0 ,函数 f(x)单调递增;当 x∈(-1,3)时,f′ (x)<0, 函数 f(x)单调递减; x∈(3,5]时, 当 f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增. 所 以函数 f(x)的极小值为 f(3)=-24,极大值为 f(-1)=8; 而 f(-2)=1,f(5)=8,函数图像大致如图所示.故要使方程 g(x)=f(x) -m 在 x∈[-2,5]上有 3 个零点, 只需函数 f(x)在[-2,5]内的函数图像与直线 y=m 有 3 个交
?m<8, ? 点,故? 即 m∈[1,8). ? ?m≥1,

[答案] D [名师支招] 解决此类问题主要依据函数图像的特征, 利用区间端点处的函数值、 函数的极值等构造关于 参数的不等式.注意函数在区间的端点值对参数取值范围的影响.如该题中 f(-2)与 f(5)这两个端点值决定着由方程 g(x)=f(x)-m 在 x∈[-2,5]上的零点个数,若 m=8 或-24<m<1,则该方程有 2 个根;若 m=-24,则该方程有 1 个根;若 m>8 或 m<-24, 则该方程没有实根. [高考预测] 函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图像如图所示,则 x2+x2的值是 1 2 ( ) 2 A.3 8 C.3 4 B.3 16 D. 9

解析:选 D 由图像可知,函数图像与 x 轴交于三点,(-1,0),(0,0),(2,0),故该函数有三 个零点-1,0,2. 由 f(0)=0,得 d=0,故函数解析式可化为 f(x )=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c),显然-1,2 为 方程 x2+bx+c=0 的两根.
?-1+2=-b, ? 由根与系数的关系,得? ? ?? -1? ×2=c, ? ?b=-1, 解得? 故 f(x)=x3-x2-2x. ?c=-2. ?

由图像可知,x1、x2 为函数 f(x)的两个极值点, 又 f′(x)=3x2-2x-2, 故 x1、x2 为 f′(x)=0,即 3x2-2x-2=0 的两根, 2 2 故 x1+x2=3,x1· x2=-3,

?2? ? 2? 16 故 x2+x2=(x1+x2)2-2x1· 1 2 x2= 3 2-2× -3 = 9 . ? ? ? ?
[配套课时作业] 1 1.函数 f(x)=log2x-x 的零点所在区间为( )

? 1? A. 0,2 ? ?

?1 ? B. 2,1 ? ?

C.(1,2) D.(2,3) 解析:选 C ∵f(1)=log21-1=-1<0, 1 1 f(2)=log22-2=2>0, ∴f(1)· f(2)<0,故零点在区间(1,2)上. 1 ?1? 2.(2012· 北京高考)函数 f(x)=x2- 2 x 的零点的个数为(

? ?

)

A.0 C.2

B.1 D.3
1

2 ?1? 解析: B 在同一平面直角坐标系内作出 y1=x 与 y2= 2 x 的图像 选 ? ?

2 ?1? 如图所示, 易知, 两函数图像只有一个交点. 因此函数 f(x)=x - 2 ? ?

1

x 只有 1 个零点. 3.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如 表: f(1)=-2 f(1.375)=-0.260 f(1.5)=0.625 f(1.437 5)=0.162 f(1.25)=-0.984 f(1.406 25)=-0.054

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( ) A.1.5 B.1.4 C.1.3 D.1.2 解析:选 B 由题意,知 f(1.437 5)×f(1.406 25)<0,故函数 f(x)的零点在(1.406 25,1.437 5)内, 精确到 0.1,得零点为 1.4. 4.(2012· 乌鲁木齐质检)已知偶函数 f(x)(x≠0)在区间(0,+∞)上(严格)单调,则满足 f(x2-2x -1)=f(x+1)的所有 x 之和为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 D 依题意得,方程 f(x2-2x-1)=f(x+1)等价于方程 x2-2x-1=x+1 或 x2-2x -1=-x-1,即 x2-3x-2=0 或 x2-x=0,因此所有解之和为 3+1=4. 5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图.为降低消耗,开源

节流, 现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用, 当截取的矩形面积最大时, 矩形两边长 x、y 应为( ) A.x=15,y=12 B.x=12,y=15 C.x=14,y=10 D.x=10,y=14 解析:选 A 24-y x 由三角形相似得 = , 24-8 20

5 5 得 x=4(24-y),所以 S=xy=-4(y-12)2+180, 所以当 y=12 时,Smax=180,此时 x=15. 6.(2012· 潍坊模拟)若直角坐标平面内的两点 P、Q 满足①P、Q 都在函数 y=f(x)的图像上; ②P、Q 关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P,Q]与 [Q,P]看作同一对“友好点对”). 已知函数 f(x)=?
? ?log2x?

x>0? , x≤0? ,

?-x2-4x? ?

则此函数的“友好点对”有(

)

A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 解析:选 C 不妨设函数 y=log2x 的图像上的点 P(x,log2x),x>0,则其关于坐标原点对称 的点的坐标为(-x,-log2x),如果该点在函数 y=-x2-4x 的图像上,则-log2x=-x2+ 4x,问题等价于求这个方程的实数解的个数,易知这个方程有两个实数解.
? ?log2x,x>0, 7. 已知函数 f(x)=? 且关于 x 的方程 f(x)+x-a=0 有且只有一个实根, 则实数 ?3x,x≤0, ?

a 的取值范围是________. 解析:画出函数 y=f(x)与 y=a-x 的图像,如图所示,所以 a>1.

答案:(1,+∞) 1 8. 已知某生产厂家的年利润 y(单位: 万元)与年产量 x(单位: 万件)的函数关系式为 y=-3x3 +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件. 1 解析:∵y=f(x)=-3x3+81x-234, ∴y′=-x2+81. 令 y′=0,得 x=9 或 x=-9(舍去). 当 0<x<9 时,y′>0,函数 f(x)单调递增; 当 x>9 时,y′<0,函数 f(x) 单调递减. 故当 x=9 时,y 取最大值. 答案:9 9.(2012· 济宁模拟)已知定义域为 R 的函数 f(x)既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x

? 3? ∈ 0,2 时,f(x)=sin πx,则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是________. ? ?
解析:由 f(x)是定义域为 R 的奇函数,可知 f(0)=0.因为 f(x+3)=f(x),所以 f(3)=0. 3 ?3? 令 x=-2,得 f 2 =0.

? ?

? 3? 又当 x∈ 0,2 时,f(x)=sin πx, ? ?
所以 f(1)=0,f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1)=0,则在区间[0,3]上的零点有 5 个. 由周期性可知,在区间(3,6]上有 4 个零点,故在区间[0,6]上的零点个数是 9. 答案:9

?2,x≥2, ? 10.(2011· 北京高考改编)已知函数 f(x)=?x ?? x-1? 3,x<2. ?
(1)确定函数 f(x)零点的个数. (2)若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,求实数 k 的取值范围. 解:(1)在坐标系内作出函数

?2,x≥2, ? f(x)=?x 的图像,如图所示,由图像知: ?? x-1? 3,x<2 ?
f(x)有一个零点.

(2)方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则 y=f(x)与 y=k 有两个不同的交点,在(1)中 f(x)图像所 在坐标系中,作出 y=k 的图像观察知:k∈(0,1), 综上,当 k∈(0,1)时,方程 f(x)=k 有两个不同的实根. 11.某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销 售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出场单价就 降低 0.02 元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 600 件. (1)设一次订购 x 件,服装的实际出厂单价为 p 元,写出函数 p=f(x)的表达式; (2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少? 解:(1)当 0<x≤100 时,p=60; 当 100<x≤600 时, p=60-(x-100)×0.02=62-0.02x.
?60, 0<x≤100, ? 所以 p=? ? ?62-0.02x, 100<x≤600.

(2)设利润为 y 元,则 当 0<x≤100 时,y=60x-40x=20x; 当 100<x≤600 时,

y=(62-0.02x)x-40x=22x-0.02x2.
? 0<x≤100, ?20x, 所以 y=? ?22x-0.02x2, 100<x≤600. ?

当 0<x≤100 时,y=20x 是单调增函数,当 x=100 时,y 最大,此时 y=20×100=2 000; 当 100<x≤600 时, y=22x-0.02x2=-0.02(x-550)2+6 050, 所以当 x=550 时,y 最大,此时 y=6 050. 显然 6 050>2 000. 所以当一次订购 550 件时,利润最大,最大利润为 6 050 元. 12.(2012· 乌鲁木齐质检)已知函数 f(x)=ex-m-x,其中 m 为常数. (1)若对任意 x∈R 有 f(x)≥0 成立,求 m 的取值范围; (2)当 m>1 时,判断 f(x)在[0,2m]上零点的个数,并说明理由. 解:(1)f′(x)=ex-m-1, 令 f′(x)=0,得 x=m. 故当 x∈(-∞,m)时,ex-m<1,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(m,+∞)时,ex-m>1,f′(x)>0,f(x)单调递增. ∴当 x=m 时,f(m)为极小值,也是最小值. 令 f(m)=1-m≥0,得 m≤1, 即若对任意 x∈R 有 f(x)≥0 成立,m 的取值范围是(-∞,1]. (2)由(1)知 f(x)在[0,2m]上至多有两个零点,当 m>1 时,f(m)=1-m<0. ∵f(0)=e-m>0,f(0)· f(m)<0,∴f(x)在(0,m)上有一个零点. 又 f(2m)=em-2m,令 g(m)=em-2m,∵当 m>1 时,g′(m)=em-2>0,∴g(m)在(1,+ ∞)上单调递增, ∴g(m)>g(1)=e-2>0,即 f(2m)>0. ∴f(m)· f(2m)<0,∴f(x)在(m,2m)上有一个零点. 故 f(x)在[0,2m]上有两个零点.

第四节

不等式

1.牢记四类基本不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后 根据相应二次函数图像与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f? x? ①变形?g? x? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); f? x? ②变形?g? x? ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. (3)简单指数不等式的解法

①当 a>1 时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); ②当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x). (4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0. 2.熟记五个重要不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R). a+b (3) 2 ≥ ab(a>0,b>0). (4)ab≤ (5)

?a+b?2(a,b∈R). ? 2 ?
a2+b2 a+b 2 ≥ 2 ≥ ab(a>0,b>0). 区域 不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C<0 区域 B>0 直线 Ax+By+C=0 上方 直线 Ax+By+C=0 下方 B<0 直线 Ax+By+C=0 下方 直线 Ax+By+C=0 上方

3.快速判断二元一次不等式表示的平面区域

主要看不等号与 B 的符号是否同向, 若同向则在直线上方, 若异向则在直线下方, 简记为“同 上异下”,这叫 B 值判断法.

不等式的解法 [考情分析] 不等式的求解尤其是一元二次不等式的求解是高考重点考查的知识点之一,几 乎涉及高中数学的所有章节, 且常考常新, 既可以以选择题或填空题形式考查简单不等式的 求解,也可与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等内容综合在解答题中进行考查.
?21-x,x≤1, ? [例 1] (1)(2011· 辽宁高考)设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 ? ?1-log2x,x>1,

( ) A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) (2)(2012· 江苏高考)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. [思路点拨] (1)分 x≤1 和 x>1 两种情况求解. (2)由函数的值域解定 a, 的关系, b 再利用一元二次不等式的解集与对应方程根的关系求解. [解析] (1)当 x≤1 时,由 21-x≤2,得 1-x≤1, ∴x≥0,∴0≤x≤1; 当 x>1 时,由 1-log2x≤2,得 log2x≥-1, 1 ∴x≥2,∴x>1.

综上知 x≥0. a2 ? a? (2)由题意知 f(x)=x2+ax+b= x+2 2+b- 4 . ? ? a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- 4 =0,即 b= 4 .

? a? ∴f(x)= x+2 2. ? ?
a a ? a? 又由 f(x)<c,得 x+2 2<c,即-2- c<x<-2+ c. ? ?

?-2- ∴? a -2+ ?
a

c=m, c=m+6. ②



②-①,得 2 c=6,∴c=9. [答案] (1)D (2)9 [类题通法] (1)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转化为整式不等式(一般为一 元二次不等式)求解. (2)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类, 关键是找到对参数进行讨论的原因. 确 定好分类标准,有理有据、层次清楚地求解. [冲关集训] 1.(2011· 江西高考)若 f(x)=x2-2x-4ln x,则 f ′(x)>0 的解集为( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 4 2? 解析:选 C 法一:令 f ′(x)=2x-2-x = x-2? x ? x+1? >0,利用数轴标根法可解得

-1<x<0 或 x>2.又因定义域为{x|x>0},故 x>2. 4 法二:令 f′(x)=2x-2-x >0,由函数的定义域可排除 B,D,取 x=1 代入验证,可排除 A, 故选 C.

?log2x,x>0, ? 2.设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ?log 2 ? -x? ,x<0, ?
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

)

?a>0, ? 解析:选 C 由已知得? 1 ?log2a>log 2 a, ?

?a<0, ? 或? 1 ?log 2 ? -a? >log2? -a? . ?
? ? ?a>0, ?a<0, 即? 或? ? ? ?log2a>-log2a, ?-log2? -a? >log2? -a? .

解得 a>1 或-1<a<0. 3.(2012· 上海交大附中月考)不等式(x+2) x2-9≤0 的解集为________.
?x+2≤0, ? 解析:? 或 x2-9=0, ? ?x2-9≥0, ? ?x≤-2, 即? 或 x=±3,即 x≤-3 或 x=3. ?x≤-3或x≥3, ?

答案:(-∞,-3]∪{3} 1 4.已知集合 A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B={x∈R|x=4t+ t -6,t∈(0,+∞)},则集合 A∩B=________.
?x≥4, ?-3<x<4, ? ? 解 析 : 不 等 式 |x + 3| + |x - 4|≤9 等 价 于 ? 或? 或 ? ? ?x+3+x-4≤9, ?x+3+4-x≤9, ? ?x≤-3, ? 解不等式组,得 A=[-4,5],又由基本不等式,得 B=[-2,+∞),所 ?-x-3+4-x≤9, ?

以 A∩B=[-2,5]. 答案:[-2,5] 线 性 规 划 [考情分析] 简单线性规划问题是历年高考必考的一个重点,三种题型都有,但以选择 题或填空题为主, 命题的重点是简单线性规划中最值问题的求解, 但近几年高考命题的形式 趋向多样化, 如以不等式组确定平面区域为背景考查平面区域面积; 已知线性规划中目标函 数的最值确定参数的取值;线性约束条件下的非线性目标函数的最值. [例 2] (2012· 四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克,B 原料 1 千克.每桶甲产品的 利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消 耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中, 公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800 元 B.2 400 元 C.2 800 元 D.3 100 元 [思路点拨] 根据题意,列出线性约束条件及目标函数,作出可行域求其最值.

[解析] 设生产甲产品 x 桶,乙产品 y 桶,每天利润为 z 元,则

?x+2y≤12, ?2x+y≤12, ?x≥0, ?y≥0, ?
z=300x+400y. 作出可行域,如图阴影部分所示. 作直线 300x+400y=0,向右上平移,过点 A 时,
? ? ?x+2y=12, ?x=4, z=300x+400y 取最大值,由? 得? ?2x+y=12, ?y=4, ? ?

所以 A(4,4),所以 zmax=300×4+400×4=2 800. [答案] C [类题通法] (1)平面区域: 用二元一次不等式(组)表示平面区域的具体步骤是:①画线;②定“侧”;③求“交”(交集,即 公共区域). (2)线性规划问题解题步骤: ①作图——画出可行域和目标函数所表示的平行直线系中的一条 l; ②平移——将 l 平行移动,以确定最优解的对应点 A 的位置; ③求值——解有关方程组求出 A 点坐标(即最优解),代入目标函数,求出目标函数的最值. [冲关集训] 5.(2012· 惠州模拟)若 2m+2n<4,则点(m,n)必在( ) A.直线 x+y-2=0 的左下方 B.直线 x+y-2=0 的右上方 C.直线 x+2y-2=0 的右上方 D.直线 x+2y-2=0 的左下方 解析:选 A 由 4>2m+2n≥2 2m+n得,2m+n<22,即 m+n-2<0,则点(m,n)在直线 x +y-2=0 的左下方.

?x+2y≥2, ? 6.(2012· 山东高考)设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, 则目标函数 z=3x-y 的取值 ?4x-y≥-1, ?
范围是( )

? 3 ? A. -2,6 ? ?
C.[-1,6]

? 3 ? B. -2,-1 ? ?
3? ? D. -6,2 ? ?

解析:选 A 不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数的几何意义是直线

?1 ? 在 y 轴上截距的相反数,其最大值在点 A(2,0)处取得,最小值在点 B 2,3 处 ? ?

3 取得,即最大值为 6,最小值为-2.

?y≥0, ? 7.(2012· 温州适应性测试)已知实数 x,y 满足?y-x+1≤0, 若 z=y-ax 取得最大值时的 ?y-2x+4≥0, ?
最优解(x,y)有无数个,则 a 的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 解析: B 依题意, 选 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域, 如图所示.要使 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则直线 z=y-ax 必平行于直线 y-x+1=0,于是有 a=1. 基本不等式的应用 [考情分析] 在近年的高考中,不等式的综合应用试题命制形 式广泛,常以选择题、填 空题的形式考查不等式的基础知识和基本应用, 有时也以解答题的形式出现, 考查考生综合 分析问题、解决问题的能力. [例 3] (2012· 浙江高考)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( ) 24 A. 5 C.5 D.6 28 B. 5

1 ?1 3? [思路点拨] 将已知条件转化为5× y+ x =1,再利用基本不等式求解. ? ? [解析] ∵x>0,y>0,由 x+3y=5xy,得 1 ?1 3? + 5×?y x?=1. 12y? 13 1?3x 12y? 13 1 1 ?1 3? 1 ?3x ∴3x+4y=5(3x+4y) y + x =5 × y +4+9+ x = 5 +5 y + x ≥ 5 +5 ×2×

?

?

?

?

?

?

3x 12y y·x =

5(当且仅当 x=2y 时取等号 ),∴3x+4y 的最小值为 5. [答案] C [类题通法] 利用基本不等式求函数最值应注意的问题: (1)一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数, 特别适合用基本不等式求最值. (2)在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件) 的条件才能应用,否则会出现错误.解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用基 本不等式的条件. [冲关集训] 8.(2012· 福建高考)下列不等式一定成立的是( ) 1? ? A.lg x2+4 >lg x(x>0) ? ? 1 B.sin x+sin x≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R)

1 D. >1(x∈R) x2+1 1? 1 3 ? 解析:选 C 取 x=2,则 lg x2+4 =lg x,故排除 A;取 x=2π,则 sin x=-1,故排除 B;

?

?

1 取 x=0,则 =1,故排除 D. x2+1 1 9.(2012· 安庆模拟)已知向量 a=(x,-1),b=(y-1,1),x,y∈R+,若 a∥b,则 t=x+x + 1 y+y的最小值是( )

A.4 B.5 C.6 D.8 解析:选 B 由 a∥b,得 x+y=1,

? 1 1? t=t(x+y)= 1+x +y (x+y) ? ? ?y x? =1+2+ x+y ≥3+2 ? ?
y x x· y=5,

1 当 x=y=2时,t 取得最小值 5. 10.已知直线 x+2y=2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A,B 两点,若动点 P(a,b)在线段 AB 上, 则 ab 的最大值为________. 解析:法一:∵A(2,0),B(0,1)且 a+2b=2, 1 1?a+2b? 1 ∴ab=2a·2b≤2 2 2=2,当且仅当 a=2b, ? ? 1 即 a=1,b=2时取等号. 法二:依题意 a+2b=2,a>0,b>0, 则 a+2b≥2 2ab, 1 得 2ab≤1,ab≤2,当且仅当 a=2b=1 时取等号. 1 答案:2 11.(2012· 朝阳模拟)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得 的总利润 y(单位:万元)与 机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(x∈ N*).则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元. y y ? 25? 解析:每台机器运转 x 年的年平均利润为x=18- x+ x ,而 x>0,故x≤18-2 25=8,当 ? ? 且仅当 x=5 时,年平均利润最大,最大值为 8 万元. 答案:5 8

聚焦五类非线性规划问题

近几年的高考试题并不是单纯地考查线性规划问题, 而是在二元一次不等式表示的平面区域 内求解非线性目标函数的最值.如区域面积型、斜率型(根据两点连线的斜率公式,把问题 转化为已知的平面区域内的点与某个定点连线的斜率的范围问题)、距离型、函数型以及参 数范围型,其解法都是利用数形结合.

?x+y-3≤0, ? [典例] (2012· 福建高考)若函数 y=2 x 图像上存在点(x,y)满足约束条件?x-2y-3≤0, 则 ?x≥m, ?
实数 m 的最大值为( 1 A.2 3 C.2 D.2 ) B.1

[思路点拨] 作出可行域,找出 y=2x 与 x+y-3=0 的交点,从图形上直 观分析即可. [解析] 可行域如图中的阴影部分所示,函数 y=2x 的图像经过可行域上
?y=2x, ?x=1, ? ? 的点,由? 得? 即函数 y=2x 的图像与直线 x+y-3 ? ? ?x+y-3=0, ?y=2,

=0 的交点坐标为(1,2),当直线 x=m 经过点(1,2)时,实数 m 取到最大值 为 1. [答案] B [名师支招] 由运动变化的观念让目标函数所表示的曲线过可行域上的某点, 求线性约束条件中的某一参 数值,是逆向思维,用数形结合的思想方法,即可破解. [高考预测]

?x≤1, ? 已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≤2, 那么 x2+y2 的取值范围是( ?2x+y-2≥0, ?
A.[1,4] B.[1,5]

)

?4 ? C. 5,4 ? ?

?4 ? D. 5,5 ? ?

解析:选 D 作出不等式组

?x≤1, ? ?y≤2, 所表示的平面区域,如图中的阴影部分所示,显然, ?2x+y-2≥0 ?
原点 O 到直线 2x+y-2=0 的距离为 4 此时可得(x2+y2)min=5; 点(1,2)到原点 O 的距离最大,为 12+22= 5, 此时可得(x2+y2)max=5. |-2| 2 = , 5 22+12

[配套课时作业] 1. (2012· 西城模拟)已知 a, b∈R, 下列四个条件中, a>b 成立的必要而不充分的条件是( 使 ) A.a>b-1 B.a>b+1 C.|a|>|b| D.2a>2b 解析:选 A 由 a>b?a>b-1,但由 a>b-1 不能得出 a>b,所以 a>b-1 是 a>b 成立的必要 而不充分条件;由 a>b+1?a>b,但由 a>b 不能得出 a>b+1,所以 a>b+1 是 a>b 成立的充 分而不必要条件;易知 a>b 是|a|>|b|的既不充分也不必要条件;a>b 是 2a>2b 成立的充分 必要条件. 2. (2012· 陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b), 其全程的平均时速为 v, 则( ) A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2 B.v= ab a+b D.v= 2

S 解析:选 A 设甲、乙两地的距离为 S,则从甲地到乙地所需时间为a,从乙地到甲地所需时 S 2S 2ab 2ab 2ab 2ab 间为b,又因为 a<b,所以全程的平均速度为 v=S S= < = ab, > =a,即 a+b 2 ab a+b 2b a+b a<v< ab. 1 3.(2012· 青岛一模)已知 a>0,b>0,且 2a+b=4,则ab的最小值为( 1 A.4 1 C.2 B.4 D.2 )

解析:选 C 由 2a+b=4,得 2 2ab≤4,即 ab≤2, 1 1 又 a>0,b>0,所以ab≥2. 1 1 当 2a=b,即 b=2,a=1 时,ab取得最小值2.

? 1 ? 4.已知函数 y=f(x)的图像如图所示,则不等式 f x-1 >0 的解集为( ? ?
A.{x|x<1}
? 3? C.?x|1<x<2? ? ? ? ? 3? B.?x|x>2? ? ? ? 3? D.?x|x<1或x>2? ?

)

1 3 ? 1 ? 解析:选 D 由图像可知,当 x<2 时,f(x)>0,所以由 f x-1 >0,得 <2,解得 x<1 或 x>2, x-1 ? ?
? 3? 即解集为?x|x<1或x>2?. ? ?

5.若关于 x 的不等式 x2-ax-a≤-3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是( A.[2,+∞) B.(-∞,-6] C.[-6,2] D.(-∞,-6]∪[2,+∞) 解析:选 D 由已知得方程 x2-ax-a+3=0 有实数根,

)

即 Δ=a2+4(a-3)≥0, 故 a≥2 或 a≤-6.

?x-2y+3≥0, ? 6.(2012· 深圳调研)已知变量 x,y 满足约束条件?x-3y+3≤0, 若目标函数 z=y-ax 仅在 ?y-1≤0, ?
点(-3,0)处取到最大值,则实数 a 的取值范围为( )

?1 ? A.(3,5) B. 2,+∞ ? ?
C.(-1,2)

?1 ? D. 3,1 ? ?

解析:选 B 如图所示,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线 y-ax=0,要使目标函数 z=y-ax 仅在点(-3,0)处取到最大值(即直线 z=y -ax 仅当经过该平面区域内的点(-3,0)时,在 y 轴上的截距才达到最大), 1 结合图形可知 a>2. 7.(2012· 山东高考)若不等式|kx-4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3},则实数 k=________. k k 解析:由|kx-4|≤2 可得 2≤kx≤6,所以 1≤2x≤3,所以2=1,故 k=2. 答案:2

?x+y≥0, ? 8.设 z=2x+y,其中 x,y 满足?x-y≤0, 若 z 的最大值为 6,则(1)k 的值为________;(2)z ?0≤y≤k, ?
的最小值为________. 解析:在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x+y=z, 结合图形分析可知,要使 z=2x+y 的最大值是 6,直线 y=k 必过直线 2x+ y=z 与 x-y=0 的交点,即必过点(2,2),于是有 k=2;平移直线 2x+y=6, 当平移到经过该平面区域内的点(-2,2)时, 相应直线在 y 轴上的截距达到最 小,此时 z=2x+y 取得最小值,最小值是 z=2×(-2)+2=-2. 答案:(1)2 (2)-2

?x+2y≥0, ? 9.(2012· 龙岩质检)在平面直角坐标系中,不等式组?2x-y≥0, (a>0)表示的平面区域的面 ?x≤a, ?
积为 5,直线 mx-y+m=0 过该平面区域,则 m 的最大值是________. a? ? 解析:平面区域如图所示,A(a,2a),B a,-2 . ? ? 1 5a 5 所以 S△OAB=2× 2 ×a=4a2=5, 所以 a=2,即 A(2,4),B(2,-1). 又 mx-y+m=0 过定点(-1,0),即 y=mx+m,斜率 m 的 4 4 为过 A 点时的值, =3. 2-? -1? 最大值

4 答案:3 10.已知函数 f(x)=(x+2)|x-2|. (1)若不等式 f(x)≤a 在[-3,1]上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)解不等式 f(x)>3x. 解:(1)当 x∈[-3,1]时, f(x)=(x+2)|x-2|=(x+2)(2-x)=-x2+4. ∵-3≤x≤1,∴0≤x2≤9.于是-5≤-x2+4≤4, 即函数 f(x)在[-3,1]上的最大值等于 4. ∴要使不等式 f(x)≤a 在[-3,1]上恒成立,实数 a 的取值范围是[4,+∞). (2)不等式 f(x)>3x,即(x+2)|x-2|-3x>0. 当 x≥2 时,原不等式等价于 x2-4-3x>0, 解得 x>4 或 x<-1. 又∵x≥2, ∴x>4. 当 x<2 时,原不等式等价于 4-x2-3x>0, 即 x2+3x-4<0,解得-4<x<1,满足 x<2. 综上可知,原不等式的解集为{x|x>4 或-4<x<1}. 11.(2012· 江苏高考)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面, 1 单位长度为 1 千米, 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx-20(1+k2)x2(k >0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超 过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 1 解:(1)令 y=0,得 kx-20(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= = 1≤ 2 =10,当且仅当 k=1 时取等号. 1+k2 k+k 所以炮的最大射程为 10 千米. 1 (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka-20(1+k2)a2 成立 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 ?a≤6. 所以当 a 不超过 6(千米)时,可击中目标. 1 1 12.已知函数 f(x)=3x3+2ax2+bx. (1)若 a=2b,试问函数 f(x)能否在 x=-1 处取到极值?若有可能,求出实数 a,b 的值;否

则说明理由. (2)若函数 f(x)在区间(-1,2),(2,3)内各有一个极值点,试求 w=a-4b 的取值范围. 解:(1)由题意 f′(x)=x2+ax+b, ∵a=2b,∴f′(x)=x2+2bx+b. 若 f(x)在 x=-1 处取极值, 则 f′(-1)=1-2b+b=0,即 b=1, 此时 f′(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0, 函数 f(x)为单调递增函数,这与该函数能在 x=-1 处取 极值矛盾, ∴该函数不能在 x=-1 处取得极值. 1 1 (2)∵函数 f(x)=3x3+2ax2+bx 在区间 (-1,2),(2,3)内分别有一个极值点, ∴f′(x)=x2+ax+b=0 在(-1,2),(2,3)内分别有一个实根,

?f′? -1? >0, ?1-a+b>0, ?b>a-1, ? ? ? ∴?f′? 2? <0, ??4+2a+b<0, ??b<-2a-4, ?f′? 3? >0, ?9+3a+b>0, ?b>-3a-9. ? ? ?
画出不等式表示的平面区域如图所示,

当目标函数 w=a-4b 过 N(-5,6)时, 对应的 w=-29; 当目标函数 w=a-4b 过 M(-2,-3)时, 对应的 w=10. 故 w=a-4b 的取值范围为(-29,10).

第五节

导数及其应用

1.牢记四个易误导数公式 (1)(sin x)′=cos x; (2)(cos x)′=-sin x; (3)(ax)′=axln a(a>0); 1 (4)(logax)′=xln a(a>0,且 a≠1). 2.把握三个概念 (1)在某个区间(a, b)内, 如果 f′(x)>0, 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增; 如果 f′(x)<0,

那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减. (2)设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近所有的点 x,都有 f(x)<f(x0),那么 f(x0)是 函数的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0);如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)>f(x0),那么 f(x0)是函数的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),极大值与极小值统称为极值. (3)将函数 y=f(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 3.会用积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质: ①∫bkf(x)dx=k∫bf(x)dx; a a ∫b[f1(x)±f2(x)]dx=∫bf1(x)dx±∫bf2(x)dx. ②a a a ∫bf(x)dx=∫c f(x)dx+∫bf(x)dx(其中 a<c<b). ③a a c (2)微积分基本定理: 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那么∫bf(x)dx=F(b)-F(a). a

导数的几何意义 [考情分析] 本知识点常考查的内容有:求过某点切线的斜率、方程、切点坐标,或以 切线的平行、垂直为载体求参数的值.试题多以选择和填空题的形式出现,有时也作为解答 题的条件或某一问的形式进行考查. π [例 1] 若曲线 f(x)=xsin x+1 在 x=2处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 等 于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 [思路点拨] 利用导数的几何意义求得切线的斜率,再利用垂直关系求解. π ?π? [解析] f′(x)=sin x+xcos x,f′ 2 =1,即函数 f(x)=xsin x+1 在点 x=2处的切线的斜率 ? ? a a 是 1,直线 ax+2y+1=0 的斜率是-2,所以(-2)×1=-1,解得 a=2. [答案] D [类题通法] 求曲线 y=f(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点 P(x0,y0),求切线方程: 求出切线的斜率 f′(x0),由点斜式写出方程; (2)已知切线的斜率 k,求切线方程: 设切点 P(x0,y0),通过方程 k=f′(x0)解得 x0,再由点斜式写出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求切线方程: 设切点 P(x0,y0),利用导数求得切线斜率 f′(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组) 解得 x0,再由点斜式或两点式写出方程. [冲关集训] 1.(2012· 四川成都石室中学高三诊断)设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的 切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( )

1 A.-4 C.4

B.2 1 D.-2

解析:选 C ∵曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1 , ∴g′(1)=k=2.又 f′(x)=g′(x)+2x, ∴f′(1)=g′(1)+2=4,故切线的斜率为 4. 2.(2012· 新课标全国卷)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________. 解析:y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为 4,所以切线方程为 y-1=4(x -1),即 y=4x-3. 答案:y=4x-3 3.过点(1,0)作曲线 y=ex 的切线,则切线方程为________. 解析:设切点为 P(x0,e 线经过点(1,0),所以-e -y-e2=0. 答案:e2x-y-e2=0 利用导数研究函数的单调性 [考情分析] 用导数研究函数的单调性是历年高考必考内容,尤其是含参函数的单调性 的研究成为高考命题的热点, 在选择题或填空题中主要考查由函数的单调性求解参数的取值 范围,在解答题中以求解函数的单调区间为主,结合含参不等式的求解等问题,主要考查分 类讨论的数学思想,试题有一定的难度.
x
0

x

),则切线斜率为 e =e
x
0

0

,切线方程为 y-e

x

0

=e

x

0

(x-x0),又切

x

0

(1-x0),解得 x0=2,切线方程为 y-e2=e2(x-2),即 e2x

?2? [例 2] 已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且 a=f′ 3 . ? ?
(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=[f(x)-x3]· ,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范围. ex 2 [思路点拨] (1)求出函数的导数,令 x=3,解方程即可;(2)在 a 值确定的情况下,解导数的 不等式即可得到其单调区间;(3)即函数的导数在区间[-3,2]上大于或者等于零恒成立. [解] (1)由 f(x)=x3+ax2-x+c,得 f′(x)=3x2+2ax-1.

?2? ?2? ?2? 则 a=f′ 3 =3× 3 2+2a× 3 -1,解之,得 a=-1. ? ? ? ? ? ?
1 ? 1? (2)因为 f(x)=x3-x2-x+c, 从而 f′(x)=3x2-2x-1=3 x+3 (x-1), f′(x)>0 得 x<-3或 由 ? ? 1 x>1,由 f(x)<0 得-3<x<1, 1? ? ? 1 ? 所以 f(x)的单调递增区间是 -∞,-3 和[1,+∞),f(x)的单调递减区间是 -3,1 . ? ? ? ? (3)函数 g(x)=[f(x)-x3]· ex=(-x2-x+c)· ex, 有 g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex,因为函数在区间 x∈[-3,2] 上单调递增,等价于 h(x)=-x2-3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立,由于函数 h(x)的图像

3 的对称轴方程是 x=-2,因此只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+∞). [类题通法] 利用导数研究函数单调性的一般步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求函数 f′(x); (3)①若求单调区间(或证明单调性), 只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0.②若已知函数的单调性、求参数,只需转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区 间内恒成立的问题求解. 解题过程中要注意分类讨论; 函数单调性问题以及一些相关的逆向 问题,都离不开分类讨论思想. [冲关集训] 1 4.(2012· 辽宁高考)函数 y=2x2-ln x 的单调递减区间为( A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞) 1 1 ? x-1? ? x+1? 解析:选 B 函数 y=2x2-ln x 的定义域为(0,+∞),y′=x-x = ,令 x y′≤0,则可得 0<x≤1. 1 5.已知函数 f(x)=x-2ax2-ln(1+x),其中 a>0. (1)若 x=2 是 f(x)的极值点,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间. x? 解:(1)f′(x)= 1-a-ax? ,x∈(-1,+∞). x+1 )

1 依题意,得 f′(2)=0,解得 a=3. 1 经检验,a=3时,符合题意. 1 故 a=3. 1 (2)令 f′(x)=0,得 x1=0 或 x2=a-1. 当 0<a<1 时,f(x)与 f′(x)的变化情况如下表: x x1 (-1,x1) (x1,x2) f′(x) f(x) - ? 0 f(x1) + ? x2 0 f(x2) (x2,+∞) - ?

? 1 ? ?1 ? 所以,f(x)的单调递增区间是 0,a-1 ,单调递减区间是(-1,0)和 a-1,+∞ . ? ? ? ?
当 a=1 时,f(x)的单调递减区间是(-1,+∞). 当 a>1 时,-1<x2<0,f(x)与 f′(x)的变化情况如下表: x x2 (-1,x2) (x2,x1) f′(x) - 0 +

x1 0

(x1,+∞) -

f(x)

?

f(x2)

?

f(x1)

?

1 ? ?1 ? ? 所以,f(x)的单调递增区间是 a-1,0 ,单调递减区间是 -1,a-1 和(0,+∞). ? ? ? ?

? 1 ? 单调递减区间是(-1,0)和?1-1,+∞?; 综上, 0<a<1 时, 当 f(x)的单调递增区间是 0,a-1 , ? ? ?a ?
当 a=1 时,f(x)的单调递减区间是(-1,+∞); 1 ? ?1 ? ? 当 a>1 时,f(x)的单调递增区间是 a-1,0 ,单调递减区间是 -1,a-1 和(0,+∞). ? ? ? ? 利用导数研究函数的极值与最值 [考情分析] 该类型题目近几年高考主要考查以下内容:求给定函数的最大值、最小值 与极值问题;已知给定函数的最大值、最小值、极值,求函数中参数的取值范围问题.命题 时常与函数的其他性质相结合,选择题、填空题一般为中低档难度,解答题多属中高档题. [例 3] (2012· 西城模拟)已知函数 f(x)=xln x. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中 e 为 自然对数的底数) [思路点拨] (1)先求 f′(x)的零点,根据零点左、右的单调性确定极值. (2)对(1)中所求出的极值点,讨论极值点是否在区间[1,e]上,进而确定区间[1,e]上 g(x) 的 单调性,从而得出最小值. [解] (1)f′(x)=ln x+1,x>0, 1 由 f′(x)=0 得 x=e,

? 1? ?1 ? 所以,f(x)在区间 0,e 上单调递减,在区间 e,+∞ 上单调递增. ? ? ? ?
1 所以,x=e是函数 f(x)的极小值点,极大值点不存在. (2)g(x)=xln x-a(x-1),则 g′(x)=ln x+1-a, 由 g′(x)=0,得 x=ea-1, 所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为减函数,在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为增函数, 所以 x=ea-1 是极小值点. 以下对极小值点是否在[1,e]上作分类讨论. 当 ea-1≤1,即 a≤1 时,在区间[1,e]上,g(x)为增函数,所以 g(x)的最小值为 g(1)=0. 当 1<ea-1< e,即 1<a<2 时,g(x)的最小值为 g(ea-1)=a-ea-1. 当 ea-1≥e,即 a≥2 时,在区间[1,e]上,g(x)为减函数,g(x)的最小值为 g(e)=a+e-ae. 综上,当 a≤1 时,g(x)的最小值为 0;当 1<a<2 时,g(x)的最小值为 a-ea-1;当 a≥2 时,g(x) 的最小值为 a+e-ae. [类题通法] (1)利用导数研究函数极值的一般步骤: ①确定定义域; ②求导数 f′(x); ③a.若求极值,则先求方程 f′(x)=0 的根,再检验 f′(x)在方程根左右两侧值的符号,求出 极值;(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内);b.若已知极值大小或存在情况,

则转化为已知方程 f′(x)=0 根的大小或存在情况,从而求解. (2)求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: ①求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最 小的一个是最小值. [冲关集训] 6.(2012· 陕西高考)设函数 f(x)=xex,则( ) A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 解析:选 D 求导得 f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令 f′(x)=ex(x+1)=0,解得 x=-1,易知 x=-1 是函数 f(x)的极小值点. 1 3 7.(2012· 重庆高考)设 f(x)=aln x+2x+2x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切 线垂直于 y 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 1 3 解:(1)因为 f(x)=aln x+2x+2x+1, a 1 3 故 f′(x)=x-2x2+2. 由于曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f′(1)=0,从而 1 3 a-2+2=0, 解得 a=-1. 1 3 (2)由(1)知 f(x)=-ln x+2x+2x+1(x>0), 1 1 3 f′(x)=-x -2x2+2 3x2-2x-1 = 2x2 ? 3x+1? ? x-1? = . 2x2 1 1 令 f′(x)=0,解得 x1=1,x2=-3(因 x2=-3不在定义域内,舍去). 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,1)上为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数. 故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3. 8.设函数 f(x)=ln x-ax. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)当 a>0 时,恒有 f(x)≤-1,求 a 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=ln x-ax, ∴f(x)的定义域为(0,+∞),

1-ax 1 f′(x)=x -a= x , ∴当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上无极值点; 1 当 a>0 时,由 f′(x)=0,得 x=a∈(0,+∞), f′(x),f(x)随自变量 x 的变化情况如下表 x f′(x) f(x)

?0,1? ? a?
+ ?

1 a 0 极大值

?1,+∞? ?a ?
- ?

1 从上表可以看出,当 a>0 时,f(x)有唯一的极大值点 x=a. 1 ?1? (2)当 a>0 时,f(x)在 x=a处取得极大值 f a =-ln a-1,此极大值也是最大值.

? ?

?1? 要使 f(x)≤-1 恒成立,只需 f a =-ln a-1≤-1, ? ?
所以 a≥1.所以 a 的取值范围是[1,+∞). 定 积 分 [考情分析] 以基本初等函数为被积函数,直接求定积分值或根据定积分值求参数值或 利用其几何意义求曲边梯形的面积.试题以选择和填空题为主.预测 2013 年的高考定积分 与线性规划、几何概型可能成为高考一大亮点.

?1 ? C(1,0). [例 4] (2012· 上海高考)已知函数 y=f(x)的图像是折线段 ABC, 其中 A(0,0)、 2,1 、 B 函 ? ?
数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为________. [思路点拨] 先求出 f(x)的解析式,再求出 y=xf(x)的解析式,画出 y=xf(x)的图像,应用积 分求出图形面积. [解析] 根据题意作出 y=f(x)的图像,如图(1)所示,

?2x,0≤x<2, 由图(1)可知,f(x)=? 1 ?2-2x,2≤x≤1,
1

?2x2,0≤x<2, 所以 y=xf(x)=? 1 ?-2x2+2x,2≤x≤1,
1

作出函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图像如图(2)所示.

函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与 x 轴围成的图形如图(2)阴影部分,
1 2 0

1 1

所以 S 阴影=∫ 2x2dx+∫ 2 (-2x2+2x)dx
1

1

1

2 =3x3|

2 0

2 -3x3|

1 2

+x2|

1 2

1 =4.

1 [答案] 4 [类题通法] (1)求函数 f(x)在某个区间上的定积分,关键是求出满足 F′(x)=f(x)的原函数 F(x),要正确应 用定积分的性质,正确运用求导运算与求原函数 F(x)的运算互为逆运算的关系.如果被积函 数为分段函数,那么需要根据公式∫bf(x)dx=∫c f(x)dx+∫bf(x)dx 分别求得每段区间的积分,再 a a c 求和. (2)求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤: 作图像(找到所求平面图形), 求交点(确定积分 上、下限),用定积分表示所求的面积,再利用微积分基本定理求定积分. [冲关集训]
1

9.(2012· 江西高考)计算定积分∫ ? 1 (x2+sin x)dx=________.
1 1 2 ?x3 ? 解析:∫ ? 1 (x2+sin x)dx= 3 -cos x | ? 1 =3.

?

?

2 答案:3 10.(2011· 新课标全国卷)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( 10 A. 3 B.4 16 C. 3 D.6 )

解析:选 C 联立 y= x及 y=x-2 可得,x=4,所以由 y= x及 y=x-2 及 y 轴所围成的

?2 ? 16 1 封闭图形面积为∫4( x-x+2)dx=? x 2 - x2+2x?| 4= 3 . 0 0 2 ?3 ?
3

11.(2012· 吉林实验中学模拟)设函数 f(x)=ax2+c(a≠0),若∫1f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则 x0 的 0 值为________.

?1 ? 0 解析:∫1f(x)dx=∫1(ax2+c)dx= 3ax3+cx | 1 0 0 ? ?
1 =3a+c=f(x0)=ax2+c, 0 1 3 3 ∴x2=3,x0=± 3 .又∵0≤x0≤1,∴x0= 3 . 0 3 答案: 3

破解不等式证明的法宝——导数 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况, 基本的题目类型是研究在一 个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式),研究不等式在一个区间上成立时不 等式的某个参数的取值范围,研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个 区间上的根的个数等, 这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力, 就需要根据导数的 方法进行解决. 使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数, 通过导数的方法研究这个函数的 单调性、 极值和特殊点的函数值, 根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个 数. ln x+k [典例] (2012· 山东高考)已知函数 f(x)= ex (k 为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数), 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=xf′(x),其中 f′(x)为 f(x)的导函数,证明:对任意 x>0,g(x)<1+e-2. [思路点拨] (1)求导后利用方程即可求解. (2)在定义域内,求使 f′(x)>0(f′(x)<0)成立的 x 的取值区间. (3)将证明不等式转化为求 g(x)的最大值,只要 g(x)max<1+e-2 即可证明不等式. ln x+k [解] (1)由 f(x)= ex , 1-kx-xln x 得 f′(x)= ,x∈(0,+∞). xex 由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行, 所以 f′(1)=0,因此 k=1. 1 (2)由(1)得 f′(x)=xex(1-x-xln x),x∈(0,+∞). 令 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0,所以当 x∈(0,1)时, f′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)证明:因为 g(x)=xf′(x), 1 所以 g(x)=ex(1-x-xln x),x∈(0,+∞). 由(2)知 h(x)=1-x-xln x, 求导得 h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2), 所以当 x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增; 当 x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减. 所以当 x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e-2)=1+e-2. 1 又当 x∈(0,+∞)时,0<ex<1, 1 所以当 x∈(0,+∞)时,exh(x)<1+e-2,即 g(x)<1+e-2. 综上所述,结论成立.

[名师支招] 在使用导数证明不等式时,如果给出的不等式过于复杂,需要变换不等式,把其分解为若干 个不等式分别证明,再根据不等式的性质得出所证的不等式,在使用不等式的性质时,注意 不等式性质的使用条件. [高考预测] 设函数 f(x) =ln x-p(x-1),p∈R. (1)当 p=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)设函数 g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1),对任意 x≥1 都有 g(x)≤0 成立,求 p 的取值范围. 解:(1)当 p=1 时,f(x)=ln x-x+1,其定义域为(0,+∞). 1 所以 f′(x)=x -1. 1 由 f′(x)=x -1>0 得 0<x<1,由 f′(x)<0 得 x>1. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)由函数 g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1)=xln x+p(x2-1)(x>0),得 g′(x)=ln x+1+2px. 由(1)知,当 p=1 时,f(x)≤f(1)=0, 即不等式 ln x≤x-1 成立. 1 ①当 p≤-2时,g′(x)=ln x+1+2px≤(x-1)+1+2px=(1+2p)x≤0, 即函数 g(x)在[1,+∞)上单调递减,从而 g(x)≤g(1)=0,满足题意; 1? 1 ? ②当-2<p<0 时,存在 x∈ 1,-2p 使得 ln x>0,1+2px>0,从而 g′(x)=ln x+1+2px>0,即 ? ? 1? 1? ? ? 函数 g(x)在 1,-2p 上单调递增, 从而存在 x0∈ 1,-2p 使得 g(x0)>g(1)=0, 不满足题意; ? ? ? ? ③当 p≥0 时,由 x≥1 知 g(x)=xln x+p(x2-1)≥0 恒成立,此时不满足题意. 1? ? 综上所述,实数 p 的取值范围为 -∞,-2 . ? ? [配套课时作业] (A) 1.函数 f(x)=3x2+ln x-2x 的极值点的个数是( A.0 B.1 C.2 D.无数个 解析:选 A 函数定义域为(0,+∞), 6x2-2x+1 1 且 f′(x)=6x+x -2= , x 由于 x>0,g(x)=6x2-2x+1 中 Δ=-20<0, 所以 g(x)>0 恒成立,故 f′(x)>0 恒成立. 即 f(x)在定义域上单调递增,无极值点. 2 2.(2012· 陕西高考)设函数 f(x)=x +ln x,则( 1 A.x=2为 f(x)的极大值点 1 B.x=2为 f(x)的极小值点 )

)

C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 2 1 x-2 解析:选 D 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-x2+x = x2 ,当 x=2 时,f′(x)=0; 当 x>2 时,f′(x)>0,函数 f(x)为增函数;当 0<x<2 时,f′(x)<0,函数 f(x)为减函数,所以 x =2 为函数 f(x)的极小值点. 3. (2012· 江南十校联考)已知定义在 R 上的函数 f(x), 其导函数 f′(x) 的大致图像如图所示,则下列叙述正确的是( ) A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d) 解析:选 C 依题意得,当 x∈(-∞,c)时,f′(x)>0;当 x∈(c,e)时,f′(x)<0;当 x∈(e, +∞)时,f′(x)>0.因此,函数 f(x)在(-∞,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+∞) 上是增函数,又 a<b<c,所以 f(c)>f(b)>f(a). 4.设函数 f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2(其中 x∈R,a,b 为常数).已知曲线 y =f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l,则 a,b 的值分别为( ) A.a=2,b=-5 B.a=-2,b=5 C.a=5,b=2 D.a=-5,b=2 解析:选 B f′(x)=3x2+4ax+b,g′(x)=2x-3,由于曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有 相同的切线,故有 f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1,由此解得 a=-2,b=5. 5.已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…, fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则 f2 011(x)等于( ) A.-sin x-cos x B.sin x-cos x C.-sin x+cos x D.sin x+cos x 解析:选 A 由题意知 f2(x)=cos x-sin x; f3(x)=-sin x-cos x; f4(x)=-cos x+sin x; f5(x)=sin x+cos x;… 可得 fn(x)是以 4 为周期的周期函数. 故 f2 011(x)=f3(x)=-sin x-cos x. f? x? 6.函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= x 在区间(1,+∞) 上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 解析: D 由函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞, 选 1)上有最小值, 可得 a 的取值范围为 a<1. f? x? a a 所以 g(x)= x =x+x-2a,则 g′(x)=1-x2. 易知在 x∈(1,+∞)上 g′(x)>0,所以 g(x) 为增函数.

?x2,x∈[0,1], ? 7.(2012· 长春调研)设 f(x)=?1 (e 为自然对数的底数),则∫ef(x)dx 的值为 0 ? x ,x∈? 1,e] ?

________. 1 x3 1 4 解析:依题意得∫ef(x)dx=∫1x2dx+∫ex dx= 3 | 1+ln x| e=3+1=3. 0 0 1 0 1 4 答案:3 1 8.设函数 f(x)=x(ex-1)-2x2,则函数 f(x)的单调增区间为________. 1 解析:因为 f(x)=x(ex-1)-2x2,所以 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)· (x+1).令 f′(x)>0, 即(ex-1)· (x+1)>0,解得 x∈(-∞,-1)或 x∈(0,+∞). 所以函数 f(x)的单调增区间为(-∞,-1]和[0,+∞). 答案:(-∞,-1]和[0,+∞) 9.已知函数 f(x)=ex+aln x 的定义域是 D,关于函数 f(x)给出下列命题: ①对于任意 a∈(0,+∞ ),函数 f(x)是 D 上的减函数; ②对于任意 a∈(-∞,0 ),函数 f(x)存在最小值; ③存在 a∈(0,+∞ ),使得对于任意的 x∈D,都有 f(x)>0 成立; ④存在 a∈(-∞,0 ),使得函数 f(x)有两个零点. 其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). a 解析:由 f(x)=ex+aln x 可得 f′(x)=ex+x,若 a>0,则 f′(x)>0,得函数 f(x)是 D 上的增函 a 数,存在 x∈(0,1),使得 f(x)<0,即得命题①③不正确;若 a<0,设 ex+x=0 的根为 m,则 在(0,m)上 f′(x)<0,在(m,+∞)上 f′(x)>0,所以函数 f(x)存在最小值 f(m),即命题②正确; 若 f(m)<0,则函数 f(x)有两个零点,即命题④正确. 答案:②④ 1 10.(2012· 安徽高考)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax+ax+b(a>0). (1)求 f(x)的最小值; 3 (2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=2x,求 a,b 的值. 解:(1)法一:由题设和基本不等式可知, 1 f(x)=ax+ax+b≥2+b, 其中等号成立当且仅当 ax=1, 1 即当 x=a时,f(x)取最小值为 2+b. 1 a2x2-1 法二:f(x)的导数 f′(x)=a-ax2= ax2 , 1 ?1 ? 当 x>a时,f′(x)>0,f(x)在 a,+∞ 上单调递增;

?

?

1 ? 1? 当 0<x<a时,f′(x)<0,f(x)在 0,a 上单调递减.

?

?

1 所以当 x=a时,f(x)取最小值,为 2+b.

1 1 3 1 (2)由题设知,f′(x)=a-ax2,f′(1)=a-a=2,解得 a=2 或 a=-2(不合题意,舍去). 1 3 将 a=2 代入 f(1)=a+a+b=2,解得 b=-1.所以 a=2,b=-1. 11.(2012· 潍坊模拟)已知函数 f(x)=(x2-3x+3)ex,x∈[-2,t](t>-2). (1)当 t<1 时,求函数 y=f(x)的单调区间; (2)设 f(-2)=m,f(t)=n,求证:m<n. 解:(1)f′(x)=(2x-3)ex+ex(x2-3x+3)=exx(x-1), ①当-2<t≤0,x∈[-2,t]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增. ②当 0<t<1,x∈[-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当 x∈(0,t]时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 综上, 当-2<t≤0 时,y=f(x)的单调递增区间为[-2,t], 当 0<t<1 时,y=f(x)的单调递增区间为[-2,0),单调递减区间为(0,t]. (2)证明:依题意得 m=f(-2)=13e-2,n=f(t)=(t2-3t+3)et, 设 h(t)=n-m=(t2-3t+3)et-13e-2,t>-2, h′(t)=(2t-3)et+et(t2-3t+3)=ett(t-1)(t>-2). 故 h(t),h′(t)随 t 的变化情况如下表: t h′(t) h(t) (-2,0) + ? 0 0 极大值 (0,1) - ? 1 0 极小值 (1,+∞) + ?

13 e3-13 由上表可知 h(t)的极小值为 h(1)=e-e2= e2 >0, h(-2)=0, 又 所以当 t>-2 时, h(t)>h(- 2)=0,即 h(t)>0, 因此,n-m>0,即 m<n. 12.(2012· 浙江高考)已知 a∈R,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+| 2-a|>0. 解:(1)由题意得 f′(x)=12x2-2a. 当 a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,此时 f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 当 a>0 时, f′(x)=12?x-

? ?

a?? ?? 6??x+

a? ? 此时函数 f(x)的单调递增区间为?-∞,- ?, 6? ? a 6, a? ? . 6?

a? ?和 6?

? ? ?

a ? ? ?,单调递减区间为?- 6,+∞? ?

(2)证明:由于 0≤x≤1,故当 a≤2 时, f(x)+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2. 当 a>2 时,f(x)+|2-a|=4x3+2a(1-x)-2 ≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2. 设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1, 则 g′(x)=6x2-2=6?x- x g′(x) 0

? ?

3?? 3? ??x+ 3 ?,于是 g′(x),g(x)随 x 的变化情况如下表: 3 ?? ? 3? ? ?0, 3 ? ? ? - 3 3 0

? 3 ? ? 3 ,1? ? ?


1

g(x) 所以,g(x)min=g?

1

?

极小值

?

1

4 3 ? 3? ?=1- 9 >0. ?3?

所以当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0. 故 f(x)+|2-a|≥4x3-4x+2>0. (B) 1.(2012· 新课标全国卷)已知函数 y=x3-3x+c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c= ( ) A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1 解析: A 设 f(x)=x3-3x+c, f(x)求导可得, 选 对 f′(x)=3x2-3, f′(x)=0, 令 可得 x=±1, 易知 f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.若 f(1)=1-3+c=0, 可得 c=2;若 f(-1)=-1+3+c=0,可得 c=-2. 2.函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)>0,f′(x)>0,则函数 y=xf(x)( ) A.存在极大值 B.存在极小值 C.是增函数 D.是减函数 解析:选 C ∵y′=f(x)+xf′(x),而函数 f(x)的定义域为(0,+∞)且 f(x)>0,f′(x)>0, ∴y′>0 在(0,+∞)上恒成立. 因此 y=xf(x)在(0,+∞)上是增函数. 3.(2012· 湖北高考)已知二次函数 y=f(x)的图像如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为 ( )

2π A. 5 3 C.2

4 B.3 π D.2

? x3 ? 0 解析: B 由题中图像易知 f(x)=-x2+1, 选 则所求面积为 2∫1(-x2+1)dx=2 - 3 +x |1= 0 ? ?
4 3. 4.若 a>3,则方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上的实根个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 B 令 f(x)=x3-ax2+1,而在区间(0,2)上函数 f(x)的导函数 f′(x)=3x2-2ax=x(3x -2a)<0 恒成立,所以函数 f(x)在(0,2)上是减函数, 又 f(0)=1>0,f(2)=9-4a<0, 所以方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰有 1 个实根. 5. 已知函数 g(x)=ax3+bx2+cx(a∈R 且 a≠0), g(-1)=0, g(x)的导函数 f(x)满足 f(0)f(1)≤0. 且 b 则 a的取值范围为( )

? 2 ? A. -3,2 ? ? ? 2 ? C. -3,1 ? ?

2 B.[3,1]

? 2 ? D. -3,3 ? ?

解析:选 C ∵g(x)=ax3+bx2+cx, ∴ g(-1)=-a+b-c=0,即 c=b-a. 又 f(x)=g′(x)=3ax2+2bx+c, 由 f(0)f(1)≤0, 得 c(3a+2b+c)≤0,所以(b-a)(3b+2a)≤0. ∵a≠0, 2 b ?b ? ? b ? ∴ a-1 3· +2 ≤0,解得-3≤a≤1. ? ?? a ? b ? 2 ? 所以a的取值范围是 -3,1 . ? ? 6.给出定义:若函数 f(x)在区间 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在区间 D 上也可 导,则称 f(x)在区间 D 上存在二阶导函数,记 f″(x)=(f′(x))′,若 f″(x)<0 在区间 D 上恒 π 成立,则称 f(x)在区间 D 上为凸函数.以下四个函数在(0,2)上不是凸函数的是( A.f(x)=sin x+cos x B.f(x)=ln x-2x C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe-x )

? π? 解析: D 若 f(x)=sin x+cos x, f″(x)=-sin x-cos x, x∈ 0,2 上, 选 则 在 恒有 f″(x)<0; ? ?
1 ? π? 若 f(x)=ln x-2x,则 f″(x)=-x2,在 x∈ 0,2 上,恒有 f″(x)<0;

?

?

若 f(x)=-x3+2x-1,则 f″(x)=-6x,

? π? 在 x∈ 0,2 上,恒有 f″(x)<0; ? ?
若 f(x)=-xe-x,则 f″(x)=2e-x-xe-x=(2-x)e-x,

? π? 在 x∈ 0,2 上,恒有 f″(x)>0. ? ?
4 7.若函数 y=x+x 在(0,a)上为单调减函数,则实数 a 的取值范围是________. 4 解析:y′=1-x2,x∈(0,a). 因为 y 在(0,a)上单调递减, 4 故 y′=1-x2≤0?0<x≤2 或-2≤x<0 , 所以 0<a≤2. 答案:(0,2] 1 8.已知函数 f(x)=aln x+2x2(a>0),若对定义域内的任意 x,f′(x)≥2 恒成立,则 a 的取值范 围是________.

a a 解析:由题意得 f′(x)=x+x≥2 a,当且仅当x=x, 即 x= a时取等号, ∵f′(x)≥2,∴只要 f′(x)min≥2 即可, 即 2 a≥2,解得 a≥1. 答案:[1,+∞) 9. 函数 f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值是正数, 极小值是负数, a 的取值范围是________. 则 解析:f′(x)=3x2-3a2=3(x+a)(x-a),由 f′(x)=0 得 x=±a,当-a<x<a 时,f′(x)<0,函 数递减;当 x>a 或 x<-a 时,f′(x)>0,函数递增.f(-a)=-a3+3a3+a>0,且 f(a)=a3- 2 3a3+a<0,解得 a> 2 . 答案:?

? 2 ? ,+∞? ?2 ?

10.某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本 20 元,并且每公斤蘑菇的加工费为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元(25≤x≤40),根据市场调查, 销售量 q 与 ex 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时,日销售量为 100 公斤. (1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式; (2)若 t=5,当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时,该工厂的利润 y 最大,并求最大值. k k 解:(1)设日销量 q=ex,则e30=100,所以 k=100e30. 100e30 所以日销量 q= ex . 100e30? x-20-t? 所以 y= (25≤x≤40). ex 100e30? x-25? 100e30? 26-x? (2)当 t=5 时,y= ,y′= , ex ex 由 y′≥0,得 x≤26,由 y′≤0,得 x≥26,所以 y 在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上 单调递减. 所以当 x=26 时,ymax=100e4. 所以当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大,最大值为 100e4 元. 11.已知函数 f(x)=x2ln x-a(x2-1),a∈R. (1)当 a=-1 时,求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若当 x≥1 时,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=x2ln x+x2-1,f′(x)=2xln x+3x. 则曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 f′(1)=3,又 f(1)=0,所以切线方程为 3x-y-3 =0. (2)f′(x)=2xln x+(1-2a)x=x(2ln x+1-2a),其中 x≥1.
? 1 2

令 f′(x)=0,得 x=ea

.

1 当 a≤2时,因为 x≥1,所以 f′(x)≥0,所以函数 f(x)在[1,+∞)上单调递增, 故 f(x)≥f(1)=0.
a ? a ? 1 2 2 当 a>2时,若 x∈[1,e ),则 f′(x)<0,所以函数 f(x)在[1,e )上单调递减,所以当 x

1

1

a ?

1 2

∈[1,e

)时,f(x)≤f(1)=0,不符合题意.

1? ? 所以 a 的取值范围是 -∞,2 . ? ? 1-a 1 12.(2012· 天津高考)已知函数 f(x)=3x3+ 2 x2-ax-a,x∈R,其中 a>0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (3)当 a=1 时,设函数 f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为 M(t),最小值为 m(t),记 g(t)=M(t) -m(t),求函数 g(t)在区间[-3,-1]上的最小值. 解:(1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a). 由 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=a>0. 当 x 变化时 f′(x),f(x)的变化情况如下表: x a (-∞,-1) -1 (-1,a) (a,+∞) f′(x) f(x) + ? 0 极大值 - ? 0 极小值 + ?

故函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a). (2)由(1)知 f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数 f(x)在区间 (-2,0)内恰有两个零点当且仅当

?f? -2? <0, ? 1 ?f? -1? >0, 解得 0<a<3. ?f? 0? <0. ? ? 1? 所以,a 的取值范围是 0,3 . ? ?
1 (3)a=1 时,f(x)=3x3-x-1. 由(1)知 f(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增. ①当 t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t 1 +3]上单调递减.因此,f(x)在[t,t+3]上的最大值 M(t)=f(-1)=-3,而最小值 m(t)为 f(t) 与 f(t+3)中的较小者.由 f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当 t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3), 5 故 m(t)=f(t),所以 g(t)=f(-1)-f(t).而 f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此 f(t)≤f(-2)=-3. 1 ? 5? 4 所以 g(t)在[-3,-2]上的最小值为 g(-2)=-3- -3 =3.

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②当 t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2], 且-1,1∈[t,t+3]. 下面比较 f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小. 由 f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有 f(-2)≤f(t)≤f(-1), f(1)≤f(t+3)≤f(2).

5 1 又由 f(1)=f(-2)=-3,f(-1)=f(2)=-3, 1 5 从而 M(t)=f(-1)=-3,m(t)=f(1)=-3. 4 所以 g(t)=M(t)-m(t)=3. 4 综上,函数 g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为3.



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