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浙江省杭州市西湖高级中学2016届高三上学期10月月考数学(理)试题


杭西高 2015 年 10 月高三数学(理科)试卷 命题人 徐斌华 审核人 钱敏剑

一、选择题: (每题 5 分,共 40 分,每小题给出的选项中只有一个是符合要求的) 1.若不等式错误!未找到引用源。的解集为错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 的值为(▲ A. )

?

5 6

B. ?

1 6

C.

1 6

D.

5 6
( ▲ )

2. 设函数 f ( x) ? ?

? ? x, x ? 0 ,若 f (a) ? f (?1) ? 2, 则 a ? ? ? ? x, x ? 0
B. ? 3 ) C. ? 1 D. ? 1

A. ? 3

3.下列结论正确的是( ▲

A.若向量 a ∥ b ,则存在唯一的实数 ? 使 a ? ? b B.已知向量 a , b 为非零向量,则“ a , b 的夹角为钝角”的充要条件是“ a ? b ? 0 ” C.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2 2

D. “若 ? ?

?
3

,则 cos? ?

1 ? 1 ”的否命题为“若 ? ? ,则 cos? ? ” 2 3 2

4 .已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则
?? ? sin ? 2? ? ? 的值为( 4? ?

▲ )

A. ?

7 2 10

B. 7 2 10

C. ? 2 10
x ?m

D. 2 10

5 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ?x ? ? 2

?1 ( m ? R ) 为 偶 .函 .数 .. 记

? 4? 5 ? a? f? ? log 1 ?, b ? f log2 , c ? f ?2m ? , 3 ? ?
A. a ? b ? c B. c ? a ? b

?

?

则 a , b, c 的大小关系为(▲ )

C. a ? c ? b )

D. c ? b ? a

6.若非零向量 a, b ,满足 | a ? b |?| b | ,则( ▲

? ?

? ?

?

A.|2 a |>|2 a + b | C.|2 b |>| a + 2b |

?

?

?

B.|2 a |<|2 a + b | D.|2 b |<| a + 2b |

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?? ?

7.下列函数中,与函数 f ( x) ?

e x ? e? x 的奇偶性、单调性均相同的是( ▲ 3

)

A. f ( x) ?

e? x ? e x ???????????????????B. f ( x) ? x 2 e? x ? e x

C. f ( x) ? tan x????????????????????????D. f ( x) ? ? ln( x 2 ? 1 ? x)
8.设集合 A ? X ,定义函数 f A ( x) ? ? 中不正确的是(▲ ) A. M ? N ? f M ( x) ? f N ( x),?x ? X C. f M ?N ( x) ? f M ( x) f N ( x), ?x ? X B. f C

?1, x ? A ?0, x ? C X A

,则对于集合 M ? X , N ? X ,下列命题

XM

( x) ? 1 ? f M ( x), ?x ? X

D. f M ? N ( x) ? f M ( x) ? f N ( x),?x ? X

二、填空题(第 9,10,11,12 题每空格 3 分;第 13,14,15 题每题 4 分) 9.函数 f ? x ? ? log 2 (4 ? x ) 的值域为
2

▲ ,不等式 f ? x ? ? 1 的解集为



. ▲ ; 现

? ?? ? ? ? 则? ? 10. 已知函数 f ( x) ? 2sin(5 x ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? 的一个对称中心是 ? , 0 ? , 2? ?6 ? ? 2

将函数 f ( x) 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的 5 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 g ( x) , 再将函数 g ( x) 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 h( x) , 若 h(? ) ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ,则 ? ? 6 3? 2 2?

sin ? 的值是





11. 如 图 , 在 △ OAB 中 , 已 知 P 为 线 段 AB 上 的 一 点 ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? x ? OA ? y ? OB. 若 BP ? PA ,求 x + y =



;若

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? 且 OA 与 OB 的夹角为 60°时, BP ? 3PA ,| OA |? 4 ,| OB |? 2 ,
求 OP ? AB 的值

??? ? ??? ?



.

2 12. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 2x , g ( x) ? ax ? 2 ( a ? 0 ) , 若

恒有 f ( x) ? g ( x) 成立, 则 a 的取值范围是 ?x ? [?1,2] ,

▲ ▲

; 若 ?x1 ?[?1, 2] , .

?x2 ?[?1, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围是
1 ?1 3 ? lg 3 ? 1 = 13. (log 5 2016) ? (2 ) 2 ? lg 4 10
0



.

14. 已知函数 y ? 6 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的部分图象如右图所示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与 x 轴的交点,若 tan ?APB = 2 ,则 ? ? ▲ .

15. 在平面上 , AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 . 若 OP ? 范围是 ▲ .

????

???? ?

????

???? ?

??? ? ???? ???? ?

??? ?

??? ? 1 , 则 OA 的取值 2

三、解答题(14+15+15+15+15=74 分,请写出必要的解题步骤) 16.已知 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ? (1)求 sin(? ? ? ) 的值; 17.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x( x ? R). (1)当 x ? [0, ? ] 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若方程 f ( x) - t ? 1 在 x ? [0, 18. (本小题满分 15 分) 己知 ? ABC 的面积为 S,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, AB ? AC ? (l)求 cosA 的值; (2)若 a,b,c 成等差数列,求 sinC 的值。 19. (本小题满分 15 分) 对于函数 f (x) 若存在 x0 ? R , f (x0 )=x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.
3 1 , tan(? ? ? ) ? ? . 5 3

(2)求 cos ? 的值.

?
2

] 内恒有两个不相等的实数解,求实数 t 的取值范围.

??? ? ????

3 S。 2

(1)若函数 f (x)=ax ? (b ? 1) x ? b -1(a ? 0)
2

(a)当 a =1,b =-2 时,求函数 f (x) 的不动点; (b)若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (2)若函数 h( x) ? cx2 ? dx ? 1(c ? 0) 有两个不动点 x1 , x2 ,记函数 y ? h( x) 的图像 的对称轴为 x ? x0 ,求证,如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,那么 x0 ? ?1 . 20. (本小题满分 15 分) 设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (1)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t); (2)求 g(a);
1 (3)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a . a

杭西高 2015 年 10 月高三数学(理科)答卷 一、选择题(每题 5 分,共 40 分,每小题给出的选项中只有一个是符合要求的) 题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 D 5 B 6 C 7 D 8 D 二、填 空 题

(第 9, 10,11,12 题每空格 3 分;第 13,14,15 题每题 4 分) 9.

?? ?,2?

;

??

2, 2

?

10.

??

?
6

;

?1 ? 2 6 6

11.

1

;

-9

12.

(?5,2 2 ? 2) ;

5 (?? ? 5) ? ( ,?? ) 2

13.

1 3

14.

? 4

15.

(

7 , 2] 2

四、解答题(14+15+15+15+15=74 分,请写出必要的解题步骤) 16.(本小题满分 14 分) 已知 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ? (1)求 sin(? ? ? ) 的值;
3 1 , tan(? ? ? ) ? ? . 5 3

(2)求 cos ? 的值.

π π π 解: (1)∵ ? , ? ? (0, ) ,从而 ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 1 π 又∵ tan(? ? ? ) ? ? ? 0 ,∴ ? ? ? ? ? ? 0 . 3 2

?????3 分 ?????4 分

∴ sin(? ? ? ) ? ?

10 . 10

(2)由(1)可得, cos(? ? ? ) ?

3 10 . 10 3 4 ∵ ? 为锐角, sin ? ? ,∴ cos ? ? . 5 5

????????2 分 ????3 分

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
4 3 10 3 10 9 10 ? ? . ? ? (? )? 5 10 5 10 50

???????2 分

17.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x( x ? R). (1)当 x ? [0, ? ] 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若方程 f ( x) - t ? 1 在 x ? [0, 内恒有两个不相等的实数解,求实数 t 的取值范围.

?
2

]

解:(1) f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x = cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 = 2sin ? 2 x ? 令-

? ?

??

? ? 1 ?3 分 6?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,解得 2k? ?

2? ? ? 2 x ? 2k? ? 即 3 3
??????2 分

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ?Z

? 2? ? x ?[0, ? ] ,? f(x)的递增区间为 [0, ] , [ , ? ] 6 3
(2)依题意:由 2sin ? 2 x ?

??????2 分

? ?

??

?? ? ? ? 1 = t ? 1 ,得 t ? 2 sin ? 2 x ? ? , 6? 6? ?

即函数 y ? t 与 y ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??

? ? 的图象在 x ? [0, ] 有两个交点,??????3 分 2 6?

? ? 7? ? ? x ? [0, ] ∴ 2 x ? ? [ , ] , 6 6 6 2
当 2x ? 当 2x ?

?

? ? ?? 1 ? ? [ , ] 时, sin? 2 x ? ? ? [ ,1] , t ? [1,2] 6 6 2 6? 2 ?
? 7? ?? 1 ? ? [ , ] 时, sin ? 2 x ? ? ? [? ,1] , t ?[?1,2] 6 2 6 6? 2 ?
??????4 分 ??????1 分

?

故由正弦图像得: 1 ? t ? 2

AB ? AC ? 18. (本小题满分 15 分) 己知 ? ABC 的面积为 S, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b,c,
(l)求 cosA 的值; (2)若 a,b,c 成等差数列,求 sinC 的值。

??? ? ????

3 S。 2

19. (本小题满分 15 分)对于函数 f (x) 若存在 x0 ? R , f (x0 )=x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不

动点. (1)若函数 f (x)=ax ? (b ? 1) x ? b -1(a ? 0)
2

(a)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f (x) 的不动点; (b)若对任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (2)若函数 h( x) ? cx2 ? dx ? 1(c ? 0) 有两个不动点 x1 , x2 ,记函数 y ? h( x) 的图像 的对称轴为 x ? x0 ,求证,如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,那么 x0 ? ?1 解∵f(x)=ax +(b+1)x+b-1(a≠0) , (a)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x -x-3. 设 x 为其不动点,即 x -x-3=x.----------------------------2 分 则 x -2x-3=0.∴x1=-1,x2=3.即 f(x)的不动点是-1,3.----------------2 分 (b)由 f(x)=x 得:ax +bx+b-1=0. 由已知,此方程有相异二实根,△x>0 恒成立, 即 b -4a(b-1)>0.-------------------------------------------2 分 即 b -4ab+4a>0 对任意 b∈R 恒成立. ∴△b<0. ,----------------------------------------------------2 分 ∴16a -16a<0, ∴0<a<1.-----------------------------------------------------2 分
2 2 2 2 2 2 2 2

(2) 函数 h( x) ? cx2 ? dx ? 1(c ? 0) 有两个不动点 x1 , x2 ,即 h( x) ? cx 2 ? dx ? 1 ? x 有 两个根 x1 , x2 , 则令 g ( x) ? h( x) ? x ? cx 2 ? (d ? 1) x ? 1 有两个零点 x1 , x2 。满足 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,根 据抛物线可得

? g (2) ? 4c ? 2d ? 1 ? 0 ? ? g (4) ? 16c ? 4d ? 3 ? 0

求 x0 ? ?

d c

画出可行域,得到目标函数的值域。 证得 x0 ? ?1

20. (本小题满分 15 分)设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的

最大值为 g(a)。 (1)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (2)求 g(a)
1 (3)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a

(1)令 t ? 1 ? x ? 1 ? x 要使有 t 意义,必须 1+x≥0 且 1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ? [2, 4], t≥0 t 的取值范围是 [ 2,2]. -----------------------------------2 分

1 2 t ?1 2 1 2 1 2 ∴m(t)=a( t ? 1 )+t= at ? t ? a, t ? [ 2, 2] ----------------------2 分 2 2 1 2 (2)由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,分以下几种情况讨论。 a 2
由①得 1 ? x ?
2

(a)当 a>0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t ? ?

1 <0 知 m(t)在 [ 2,2]. 上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2-------------1 分 a

(b)当 a=0 时,m(t)=t, t ?[ 2, 2] ,∴g(a)=2. ------------1 分 (c)当 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若t ? ?

1 2 ? [0, 2] ,即 a ? ? 则 g (a) ? m( 2) ? 2 a 2 1 1 1 2 1 ? ( 2, 2] ,即 ? ? a ? ? 则 g ( a ) ? m( ? ) ? ? a ? a a 2a 2 2

若t ? ? 若t ? ?

1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 ---------1 分 a 2

? a ? 2, ? 1 2 1 ? , ? ? a ? ? , --------------------------1 分 综上有 g ( a ) ? ? ? a ? 2a 2 2 ? ? 2 ? 2, a?? 2
(3)情形 1:当 a ? ?2 时 由2?

a??

1 2

1 1 1 1 ? ? ,此时 g (a) ? 2 , g ( ) ? ? 2 a 2 a a

1 2 ,与 a<-2 矛盾。———————————1 分 ? 2解得a ? ?1 ? a 2
1 1 a 2 1 1 ? ? ? 时,此时 g (a) ? 2 , g ( ) ? ? ? a a 2 2 a 2

情形 2:当 ?2 ? a ? ? 2 ?

1 a 2 ? ? ? 解得, a ? ? 2 与 a ? ? 2 矛盾。——————————1 分 a 2
情形 3:当 ? 2 ? a ? ?

1 2 1 2 时,此时 g ( a ) ? 2 ? g ( ) , ? 2? ?? a 2 a 2

所以 ? 2 ? a ? ?

2 , ——————————1 分 2

情形 4:当 ?

1 1 2 1 ? a ? ? 时, ?2 ? ? ? 2 ,此时 g (a ) ? ? a ? , a 2a 2 2

1 1 2 2 g ( ) ? 2 ?a ? ? 2, 解得a ? ? , 与a ? ? 矛盾。———————1 分 a 2a 2 2

1 1 1 ? a ? 0 时, ? ?2 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? 2 a 2 a 1 由 a ? 2 ? 2 解得 a ? 2 ? 2, 与a ? ? 矛盾。——————————1 分 2 1 1 1 情形 6:当 a>0 时, ? 0 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? ? 2 a a a 1 由 a ? 2 ? ? 2解得a ? ?1 ,由 a>0 得 a=1. ——————————1 分 a
情形 5:当 ? 综上知,满足 g ( a ) ? g ( ) 的所有实数 a 为 ? 2 ? a ? ?

1 a

2 , 或 a=1—————1 分 2


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