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2.2.1直线与平面平行的判定


复习引入

直线与平面有几种位置关系?
空间直线和平面的 基本关系 直线在平面内 图形表示 符号表示

?
A

a
a

a ??
a ??A
a

直线与平面相交

?
直线与平面平行

?

a ?

定义:一条直线和一个平面没有公共点, 叫做直线与平面平行.

直观感知

怎样判定直线与平面平行呢?

?

引入新课

怎样判定直线与平面平行呢? 根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判 定直线与平面有没有公共点.但是,直线无限延长, 平面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢? a

?

实例感受

在生活中,注意到门扇的两边是平行的.当门扇 绕着一边转动时,另一边始终与门框所在的平面没有 公共点,此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人 以平行的印象.

操作确认

门扇转动的一边与门框所在的平面之间 的位置关系.
A1

A
B

?

B1

操作确认

将一本书平放在桌面上,翻动书的 硬皮封面,封面边缘AB所在直线与桌 面所在平面具有什么样的位置关系?
A A

B

B

操作确认

如果平面 ? 内有直线 b 与直线 a 平行,那么直线 a 与平面 ? 的位置关系如何? 是否可以保证直线 a 与平面 ? 平行?
a
b

?

抽象概括:
直线与平面平行的判定定理:

若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行. a
a?? b ?? b//a a //?

?

b

简述为:线线平行?线面平行
平面问题 空间问题

直线与平面平行判定 怎样判定直线与平面平行? (1)定义法:证明直线与平面无公共点; (2)判定定理: 证明平面外直线与平面内直线平行.

应用巩固:
例1.空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的 中点,试判断EF与平面BCD的位置关系,并予 以证明. A E D B F C

解:EF∥平面BCD。 证明:如图,连接BD。在△ABD中, E, F分别为AB,AD的中点,

∴EF ∥BD,
BD

? 平面BCD,

又EF ? 平面BCD,

∴EF ∥平面BCD。

解后反思:通过本题的解答,你可以总结出什么解题 思想和方法?

反思1:要证明直线与平面平行可以运用判定定理; 线线平行 线面平行

反思2:能够运用定理的条 a ? ? 件是“线在面外、线在面内、 b ?? 线面平行”。

a //?

a//b

反思3:运用定理的关键是找平行线。找平行线又经 常会用到三角形中位线定理。

变式训练:

如图,四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB, BC,CD,AD的中点.试指出图中满足线面平行位 置关系的所有情况. A E B F H D G C

2、如图,在正方体ABCD——A1B1C1D1 中,E、F分别是棱BC与C1D1的中点。 求证:EF//平面BDD1B1.
D1 A1 B1 F C1 A1 D1 F C1

M
B1

N
A

D

C

D E A B

C

M
B

E

如何证明线面平行?
线线平行 线面平行
条件

面内 面外

平行 (1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行四边形对边平行 (4)平行线分线段成比例 关键:找平行线

2、如图,在长方体ABCD—— A1B1C1D1中,E为DD1的中点。试判 断BD1与平面AEC的位置关系,并说 明理由。
D1 A1 E D A
F

C1 B1 C B

随堂练习
1.如图,长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, (1)与AB平行的平面是 平面 A?B?C?D? 平面 CC?D?D ; (2)与 AA?平行的平面是平面 B?BCC? 平面 CC?D?D ; (3)与AD平行的平面是 平面 A?B?C?D? 平面 B?BCC? ;
D? A? B?

C?

D A

C

B

思考交流:

如图,正方体ABCD ? A 1B 1C 1D 1中,P 是棱 A 1B 1 的中点,过点 P 画一条直线使之与截面 A1BCD1 平行.
D1 A1 D A P ? B1 C C1

B

知识小结 1.证明直线与平面平行的方法:

(1)利用定义; 直线与平面有没有公共点
(2)利用判定定理. 线线平行 线面平行

2.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题

小结:
1.直线与平面平行的判定: (1)运用定义; (2)运用判定定理: 线线平行?线面平行 2.注意六个字:

(1)面外,(2)面内,(3)平行。
3.关键是找平行线
方法一:三角形的中位线定理;

方法二:平行四边形的平行关系。

:p61 A组:1 3

直线与平面平行

平面 ? 外有直线 a 平行于平面 ?内的直线 b . (1)这两条直线共面吗? 共面 (2)直线 a 与平面 ? 相交吗? 不可能相交
a

?

b

思辨论证 a?? b ?? a//b
β a p b

a

a //?

b α

c α

证明:假设直线a不平行 于平面α,则a∩α=P。如 果点P∈b,则和a∥b矛盾; ? a和b成异 如果点P∈b,则 面直线,这也与a∥b矛盾。 所以a∥α。

2、如图,在正方体
ABCD——A1B1C1D1中,

O是底面ABCD对角线的交点.
求证:C1O//平面AD1B1.
3、已知ABC-A1 B1C1是 底面是正三角形的棱柱, D是AC的中点, 求证:AB1 // 平面DBC1.
B1 E B A1 A D C1 C


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