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湖北2000年初1第1单元第1节课—数学


2014 版高三数学一轮精品复习学案:第一章集合与常用逻辑用语
第二节 【高考目标导航】
一、考纲点击 1、理解命题的概念; 2、了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系; 3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。 二、热点、难点提示 1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点; 2、多以选择题、填空题的形式出现,由于知识载体丰富,具有较强的综合性,属于中、低档题目; 有时也在解答题中出现,考查对概念的理解与应用,难度不会太大。

命题及其关系、充分条件与必要条件

【考纲知识梳理】
1、命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判 断为假的语句叫做假命题。 2、四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 (2)四种命题间的相互关系 表述形式 若 p,则 q 若 q,则 p 若 ? p ,则 ? q 若 ? q ,则 ? p

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为命题,它们的真假性没有关系; 注:否命题是命题的否定吗?答:不是。命题的否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命 题的否定只否定命题的结论。 3、充分条件与必要条件 (1) “若 p,则 q”为真命题,记 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。 (2)如果既有 p ? q ,又有 q ? p ,记作 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件,q 也是 p 的充要条件。

【要点名师透析】
一、命题的关系与真假的判断 1、相关链接 (1)对于命题真假的判定,关键是分清命题的条件与结论,只有将条件与结论分清,再结合所涉及 的知识才能正确地判断命题的真假。 (2)四种命题的关系的应用 掌握原命题和逆否命题,否命题和逆命题的等价性,当一个命题直接判断它的真假不易进行时,可以 转而判断其逆否命题的真假。 注:当一个命题有大前提而写出其他三种命题时,必须保留大前提,大前提不动。 2、例题解析 〖例 1〗设原命题是“已知 p、q、m、n 是实数,若 p=q,m=n,则 p+m=q+n”写出它的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断其真假. 解:逆命题:“已知 p、q、m、n∈R,若 p+m=q+n,则 p=q,m=n(假). 原命题:“已知 p、q、m、n∈R,若 p≠q,m≠n,则 p+m≠q+n”(假)

逆否命题:“已知 p、q、m、n∈R,若 p+m≠q+n,则 p≠q 或 m≠n”(真) 注,否命题“若 p≠q,m≠n”应理解为“p≠q 或 m≠n” 即是指:①p≠q,但 m=n,②p=q 但 m≠n,而不含 p≠q 且 m≠n.因为原命题中的条 件: “若 p=q, m=n. ”应理解为“若 p=q 且 m=n, ”而这一语句的否定应该是“p≠q 或 m≠n”.
〖例 2〗以下列命题为原命题,分别写出它们的逆命题,否命题和逆否命题.

①内接于圆的四边形的对角互补; ②已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d; 分析:首先应当把原命题改写成“若 p 则 q”形式,再设法构造其余的三种形式命题. 解析:对①:原命题: “若四边形内接于圆,则它的对角互补” ; 逆命题: “若四边形对角互补,则它必内接于某圆” ; 否命题: “若四边形不内接于圆,则它的对角不互补” ; 逆否命题: “若四边形的对角不互补,则它不内接于圆” . 对②:原命题: “已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d” ,其中“已知 a、 b、c、d 是实数”是大前提, “a=b,c=d”是条件, “a+c=b+d”是结论.所以: 逆命题: “已知 a、b、c、d 是实数,若 a+c=b+d,则 a=b,c=d” ; 否命题: “已知 a、b、c、d 是实数,若 a≠b 或 c≠d,则 a+c≠b+d”(注意“a=b,c=d” 的否定是“a≠b 或 c≠d”只需要至少有一个不等即可); 逆否命题: “已知 a、b、c、d 是实数,若 a+c≠b+d 则 a≠b 或 c≠d” . 逆否命题还可以写成: “已知 a、b、c、d 是实数,若 a+c≠b+d 则 a=b,c=d 两个等式至 少有一个不成立” 说明:要注意大前题的处理.试一试:写出命题“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc”的逆命 题,否命题,逆否命题,并分别判定其真假.

二、充分条件与必要条件的判定 1、相关链接 (1)利用定义判断 ①若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件; 注:“p 是 q 的充分条件”是指有 p 就有 q,但无 p 也可能有 q.如“两个三角形全等”是“两个三角形面 积相等”的一个充分(不必要)条件, 但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”, 如“两个三角形 同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件. ②若 q ? p ,则 p 是 q 的必要条件; 注:ⅰ “q 是 p 的必要条件”是指有 q 才能有 p,但有 q 未必有 p.如,一个偶数未必能被 6 整除(q: 为偶数,p:能被 6 整除). ⅱ ③若 p ? q 且 q ? p ,p 是 q 的充要条件; ④

⑤ ⑥
(2)利用集合判断

p 是 q 的必要而不充分条件.

记条件 p、q 对应的集合分别为 A、B,则: 若 A ? B, 则p是q的充分条件; 若A

B ,则 p 是 q 的充分不必要条件;

若 A ? B, 则p是q的必要条件; 若B

A ,则 p 是 q 的必要不充分条件;

若 A=B,则 p 是 q 的充要条件;

注:p 与 q 之间的关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆。 2、例题解析 〖例 1〗 “ m ? 的( ) B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 ”是“直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0与直线(m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直” 2

A.充分必要条件 C.必要而不充分条件 答案:B; 解析: 当m ?

1 时两直线斜率乘积为 ?1 从而可得两直线垂直,当 m ? ?2 时两直线一条斜率为 0 一条斜 2
1 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。 2

率不存在,但两直线仍然垂直.因此 m ?

注:对于两条直线垂直的充要条件① k1 , k2 都存在时 k1.k2 ? ?1 ② k1 , k2 中有一个不存在另一个为零对 于②这种情况多数考生容易忽略。 〖例 2〗已知 p:x1,x2 是方程 x2+5x-6=0 的两根,q:x1+x2=-5,则 p 是 q 的[ A.充分但不必要条件 C.充要条件 分析:利用韦达定理转换. 解析:∵x1,x2 是方程 x2+5x-6=0 的两根, ∴x1,x2 的值分别为 1,-6, ∴x1+x2=1-6=-5. B.必要但不充分条件 ]

D.既不充分也不必要条件

因此选 A. 说明:判断命题为假命题可以通过举反例. 三、充要条件的证明 〖例 1〗(12 分)求证方程 ax +2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为 a≤0 或 a=1. 分析:(1)讨论 a 的不同取值情况; (2)利用根的判别式求 a 的取值范围. 解答:充分性:当 a=0 时,方程变为 2x+1=0,其根为 x= ? 当 a=1 时,方程为 x +2x+1=0.其根为 x=-1, 方程只有一个负根。 当 a<0 时,Δ =4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且 必要性:若方程 ax +2x+1=0 有且仅有一个负根。 当 a=0 时,适合条件。 当 a≠0 时,方程 ax +2x+1=0 有实根, 则 Δ =4(1-a)≥0,∴a≤1, 当 a=1 时,方程有一个负根 x=-1.
2 2 2 2

1 ,方程只有一个负根; 2

1 <0,方程有一正一负根。 a

?a ? 1 ? 若方程有且仅有一负根,则 ? 1 ∴a<0 ?0 ? ?a
综上方程 ax +2x+1=0 有且仅有一负根的充要条件为 a≤0 或 a=1 注:(1)条件已知证明结论成立是充分性,结论已知证明条件成立是必要性; (2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性。证明时,不要认为它是推理过程的“双 向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件下的两次证明; (3)证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是结论。 〖例 1〗给出下列各组条件: (1)p:ab=0,q:a2+b2=0; (2)p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|; (3)p:m>0,q:方程 x2-x-m=0 有实根; (4)p:|x-1|>2,q:x<-1. 其中 p 是 q 的充要条件的有[ A.1 组 B.2 组 C.3 组 ] D.4 组
2

分析:使用方程理论和不等式性质. 解析: (1)p 是 q 的必要条件 (2)p 是 q 充要条件 (3)p 是 q 的充分条件 (4)p 是 q 的必要条件.选 A. 说明:ab=0 指其中至少有一个为零,而 a2+b2=0 指两个都为零.

【感悟高考真题】
〖例 1〗 (2011·安徽高考理科·T7)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是 .. (A)所有不能被 2 整除的整数都是偶数 (B)所有能被 2 整除的整数都不是偶数 (C)存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 (D)存在一个不能被 2 整除的整数不是偶数 【思路点拨】此命题为全称命题,全称命题的否定为相应的特称命题. 【精讲精析】选 D. 全称命题的否定为相应的特称命题,即将所有变为存在,并且将结论进行否定. 〖例 2〗(2011· 福建卷理科· T2)若 a ? R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)”=0 的( (A).充分而不必要条件 (C).充要条件 (B)必要而不充分条件 (D).既不充分又不必要条件 )

【思路点拨】解决本题的关键是判断“a=2”与“(a-1)(a-2)=0”两者之间满足怎样的推出关系. 【精讲精析】选 A .由 (a ? 1)(a ? 2) ? 0 得 a ? 1 或 a ? 2 ,所以 a ? 2 ? (a ? 1)(a ? 2) ? 0 而 (a ? 1)(a ? 2) =0 ? a ? 2 ,故 a ? 2 是 (a ? 1)(a ? 2) ? 0 的充分而不必要条件.

〖例 3〗 (2011· 江西高考理科· T8) 已知 平面 的(

?1,?2 ,?3 是三个相互平行的平面, ? ,? d 平面 1 2 之间的距离为 1 ,

a2 ,?3 之前的距离为 d 2 ,直线 l 与 ?1 ,?2 ,?3 分别相交于 P 1, P 2, P 3 .那么“ P 1P2 ? P2 P 3 ”是“ d1 ? d 2 ”
) B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、充分不必要条件 C、充分必要条件

【思路点拨】先根据面面平行的性质定理得出,线线平行,再根据平行线分线段成比例这一性质,易得两 者之间的关系. 【精讲精析】选 C. 如图所示,由于

?2 / / ?3 ,同时被第三个平面P1P3 N所截,故有P2 M / /P3 N, 再由平行线分 PP d 线段成比例易得,1 2 ? 1 ,因此P1P2 =P2 P3 ? d1 =d 2 . P2 P3 d 2

〖例 4〗 (2011·山东高考理科·T5)对于函数 y=f(x) ,x∈R, “y=|f(x)|的图像关于 y 轴对称”是“y=f (x)是奇函数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 【思路点拨】考察充分必要条件 【精讲精析】选 B.“y=f(x)是奇函数” ,图象关于原点对称,所以“y=|f(x)|的图像关于 y 轴对称” “y=|f(x)|的图像关于 y 轴对称” , y=f(x)的图象关于 y 轴对称或者关于原点对称,所以 y=f(x)不一 定为奇函数 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

〖例 5〗 (2010 湖南文数)2. 下列命题中的假命题 是 ... A. ?x ? R,lg x ? 0 C. B. ?x ? R, tan x ? 1 D. ?x ? R,2x ? 0

?x ? R, x3 ? 0

【答案】C 【解析】对于 C 选项 x=1 时, ? x ? 1? =0 ,故选 C
2

〖例 6〗 (2010 陕西文数)6.“a>0”是“ a >0”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

[A]

解析:本题考查充要条件的判断

? a ? 0 ? a ? 0, a ? 0 ? a ? 0 ,? a>0”是“ a >0”的充分不必要条件
〖例 7〗 (2010 浙江文数) (6)设 0<x< (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 解析:因为 0<x<

π 2 ,则“x sin x<1”是“x sinx<1”的 2
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

π 2 2 ,所以 sinx<1,故 xsin x<xsinx,结合 xsin x 与 xsinx 的取值范围相同,可知答 2

天姿国色黑岩 雁门关外 http://www.lanseshuba.com/seshu/31888/index.html 案选 B,本题主要考察了 必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想和处理不等关系的能力,属中档题

【考点模拟演练】
(1) ( (2011 届·成都高三摸底(理) ) )已知命题 p:若 x=y,则 x ?

y ,那么下列叙述正确的是

(A)命题 p 正确,其逆命题也正确 (C)命题 p 不正确,其逆命题正确 答案:C

(B)命题 p 正确,其逆命题不正确 (D)命题 p 不正确,其逆命题也不正确

(2) (2011 届·湖南省长沙市一中高三月考(理) )5.若命题“ ?x ? R, 使x2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ”是假命 题,则实数 a 的取值范围为 A. 1 ? a ? 3 答案:D (3)记等比数列 {an} 的公比为 q ,则“ q ? 1 ”是“ an?1 ? an (n ? N * ) ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:D 解析:可以借助反例说明:①如数列: ?1, ?2, ?4, ?8,? 公比为 2 ,但不是增数列; ②如数列: ?1, ? , ? , ? ,? 是增数列,但是公比为 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 B. ?1 ? a ? 1 ( ) D. ? 1 ? a ? 3

C. ?3 ? a ? 3

1 2

1 4

1 8

1 ? 1. 2

(4) (2011 届·长沙市一中高三月考(文) )已知命题 p :关于 x 的函数 y ? x2 ? 3ax ? 4 在[1,+∞)上
x 是增函数,命题 q :关于 x 的函数 y ? (2a ? 1) 在 R 上为减函数,若 p 且 q 为真命题,则 a 的取值范

围是 A. a ? 答案:C





2 3

B. 0 ? a ?

1 2

C.

1 2 ?a? 2 3

D.

1 ? a ?1 2

2 (5) (2011 届·湖南嘉禾一中高三学情摸底) “x>1”是“ x ? x ”成立的





A.充要条件 C.充分不必要条件 答案:C

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

(6) ( 2011 届 · 湖 南 省 长 沙 市 一 中 高 三 月 考 ( 理 ) ) 若 集 合 A ? {1, m }, B ? {2, 4}, 则" m ? 2" 是
2

" A ? B ? {4}" 的
A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:A



) B.必要不充分条件 D.既不充分也不 必要条件

(7)2011 届·温州市高三八校联考(文) “ a ? 2 ”是“直线 (a2 ? a) x ? y ? 0 和直线 2 x ? y ? 1 ? 0 互 相平行”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:A

(8)已知 a , b , c , d 为实数,且 c > d .则“ a > b ”是“ a - c > b - d ”的 A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 【答案】B 【解析】显然,充分性不成立.又,若 a - c > b - d 和 c > d 都成立,则同向不等式相加得 a > b 即由“ a - c > b - d ” ? “ a > b ” B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

“?2 ? a ? 2” (9) 是“实系数一元二次方程 x ? ax ? 1 ? 0 有虚根”的
2

(A)必要不充分条件 (C)充要条件 答案:A

(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

“?2 ? a ? 2” 解析:△= a -4<0 时,-2< a <2,因为 是“-2< a <2”的必要不充分条件,故选 A
2

(10)2011 届·汕头华侨中学高三摸底(理)已知 a ? 1 , f ( x ) ? a 必要条件是( A. 0 ? x ? 1 C. ?2 ? x ? 0 答案:B ) B. ?1 ? x ? 0 D. ?2 ? x ? 1

x2 ? 2 x

,则 f ( x ) ? 1 成立的一个充分不

(11) (2011 届·怀柔区一模(理))若 a =(1,2,-3), b =(2,a-1,a -
2

1 ), 则“a=1”是“ a ? b ” 3

的 A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(12) (2011 届·东城区一模(文) )给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,则这两个平面互相平行; ②若两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面互相平行; ③若两个平面互相垂直,则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面; ④若两个平面互相平行,则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面. 其中为真命题的是 ( )

A.①和② 答案:D 二、填空题 (1) 若不等式 答案: ??

B.②和③

C.③和④

D.②和④

成立的充分不必要条件是

,则实数

的取值范围是

? 1 4? , ? ? 2 3?

(2) (2011 届·湖北监利一中高三月考(文) )若 p : ( x ? 3)( x ?1) ? 0 , q : 1 ? x ? 2 ,则 p 是 q 的 ______________ 条件。 (填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要” ) 答案:必要不充分 (3)p:平行四边形是轴对称图形.则 p 的否定命题 ? p 是:_平行四边形不都是轴对称图形__. (4) (2011 届·贵州省高三上第二次五校联考(理) )条件甲: “ | 2 x ? 1 |? 1” ;条件乙: “ | 2 x ? 1 |? m ” .若 条件甲是条件乙成立的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是 答案: (1,??) 三、解答题 (1) (2011 届·湖南长沙一中高三月考(理) ) (本小题满分 12 分) 设 p :函数 f ( x) ? 2| x?a| 在区间(4,+∞)上单调递增; q : log a 2 ? 1 ,如果“ ? p ”是真命题, “p 或 q ”也是真命题,求实数 a 的取值范围。 解析: p : ? f ( x) ? 2
| x ?a|



在区间(4,+∞)上递增, ????(3 分) ????(6 分) ????(8 分)

? u ?| x ? a | 在(4,+∞)上递增,故 a ? 4.
q : 由 loga 2 ? 1 ? loga a ? 0 ? a ? 1或a ? 2.
如果“ ? p ”为真命题,则 p 为假命题,即 a ? 4. 又因为 p或q 为真,则 q 为真,即 0 ? a ? 1或a ? 2 由?

?0 ? a ? 1或a ? 2 可得实数 a 的取值范围是 a ? 4. ?a ? 4

????(12 分)

(2)设方程 x2-5x+3+a=0 在区间(1,3)上有实根,求实数 a 的取值范围. 解答: 1 ? a ?

13 4

方法 1:其充要条件是

?? ? 13 ? 4a ? 0 ? ? 5 ? 13 ? 4a 5 ? 13 ? 4a ? 3或1 ? ?3 ?1 ? 2 2 ?
方法 2:利用函数思想和数形结合思想 ? 充要条件

? ?1? ?f? ??0 ? ?2? ? f ?? 1? ? 0 ?
方法 3:原命题 ? 在区间(1,3)上求函数 a=-x2+5x-3 的值域.


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