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正态分布


第三章 正态分布及其应用
? 一、正态分布的概念和特征 ? 二、标准正态分布 ? 三、医学参考值范围的估计 ? 四、正态性判定

第一节 正态分布的概念和特征
一、概念与概率密度函数式 正态分布是医学和生物学中比较常见 的一种连续型分布,又叫Gauss分布,中间 高两头低,左右对称,呈坐钟型。其概率密 度函数式为:

1 f (X ) ? e ? 2?

? ( X ? ? )2 2? 2

-∞<X<∞

正态分布的图形

2002年某市150名20~29岁正常成年男子的尿酸浓度的频数分布

二、正态分布的特征
1 f (X ) ? e ? 2?
? ? ? ? ?

? ( X ? ? )2 2? 2

-∞<X<∞

正态分布以均数为中心左右对称; 曲线在横轴上方 曲线在均数处最高,在X=μ±σ处为两个拐点,拐点以 上曲线向外凸,拐点以下曲线向内凹; 正态分布有2个参数, N(μ ,?2) 曲线下的面积分布有一定规律。

曲线下面积

正态曲线下的面积分布规律

横轴上曲线下的面积恒等于1或100%; ? 曲线下,横轴上X>μ 与X< μ的面积相等,各占50%; ? 曲线在以下各区间的面积占总面积的比例: (μ-σ,μ+σ) 68.27% (μ-1.645σ,μ+1.645σ) 90.00% (μ-1.96σ,μ+1.96σ) 95.00% (μ-2.58σ,μ+2.58σ) 99.00%
?

第二节 标准正态分布及其应用
?

?

X ?? 标准正态变换 u ? ? 若X服从正态分布N(μ ,?2),经 变换后,则u服从均数为0,标准差为1的正态分布, 这种正态分布叫标准正态分布。 标准正态分布表 引入标准正态变换后,借助标准正态分布表,对 于任意正态分布N(μ ,?2),均可估计任意(X1,X2) 范围内的频数比例。 ①φ(u)是从-∞到u范围内的面积; ②标准正态分布表只给出了-∞到u (-3≤u≤0)的曲 线下的面积;对于u>0时,可利用正态分布对称性, 即φ(u)=1- φ(-u)求得任意范围内的面积。

习题1:某市2007年110名7岁男童的身高资料
已知:X= 119.95cm, S = 4.72cm. 试问:(1) 估计该地7岁男童身高在110cm以下者 占该地7岁男童的百分比。 (2) 估计该地7岁男童身高在130cm以上者占 该地7岁男童的百分比。 (3) 估计该地7岁男童身高在107.77cm到132.13 cm之间的占该地7岁男童的百分比。 习题2:1976年美国8岁男孩的平均身高为146厘米,标准差为8厘
米,估计在该研究中有百分之几的男孩平均身高在138与154之间? 又有多少在130到162之间?

第三节 医学参考值范围的制定
一、基本概念 医学参考值(medical reference value)是指 绝大多数“正常人”的某指标的波动范围。(解 剖、生理、生化等指标) 绝大多数:可以是80%、90%、95%、99%等。 所谓的“正常人” :指排除了对被研究指标有 影响的疾病和因素的人。

二、制定步骤
1、判断是否需要分组(目测或检验) 。 2、抽样(每组n≥100)。 3、测量样本的指标值(控制测量误差)。 4、决定取单侧还是双侧(根据指标的实际用途,有的指标 过高过低均属异常,需确定上下界值;某些指标过高为异常, 只需确定上限;某些指标过低为异常,只需确定下限)。 5、选定合适的百分限(根据指标的使用目的,如果是普查, 目的是减少漏诊,则取较低的百分限;如果是确诊,目的是 减少误诊,则取较高的百分限) 。 6、根据资料的分布类型,选择合适的方法估计正常值范围。

以下以95%界限为例
1、正态分布法(正态分布或近似正态分布资料 ) 双侧: X ? 1.96S 单侧: (过高异常) ? X ? 1.645S (过低异常) ? X ? 1.645S 2、百分位数法(偏态分布资料 ) ix Px ? Lx ? (nx% ? ?f L ) 双侧: P 2.5 ~ P 97.5 fx 单侧: (过高异常)<P95 (过低异常)>P5 3、对数正态分布法(倍数资料或对数正态分布资料) 双侧: lg?1 ( X ?1.96S )
lg x lg x

单侧: ( 过高异常) ?1 ( 过低异常) ? lg ( X lg x ? 1.645Slg x )

? lg ?1 ( X lg x ? 1.645Slg x )

第四节 正态性的判定
1、图示法(统计图):P-P图、Q-Q图、直方图、茎叶图、箱图等 2、计算法(统计指标):偏度系数、峰度系数;W值、D值等 (1)对偏度和峰度各用一个指标评定——矩法效率最高 (2)用一个指标综合评定——W检验法、W’检验法和D检验法

W检验法和W’检验:适用于样本含量少于100的资料 D检验法:适用于样本容量10-2000的资料


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