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2017-2018学年北师大版数学必修五第2章 章末综合测评2


章末综合测评(二)

解三角形

(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知△ABC 中,a= 2,b= 3,B=60° ,那么 A 等于( A.135° C.60° 【解析】 B.120° D.45° a b 2 3 由正弦定理sin A=sin B得sin A= , 3 2 )

2 可得 sin A= 2 , 又∵a= 2< 3=b, ∴A<B,A=45° . 【答案】 D )

3 2.在△ABC 中,若 sin A=4,a=10,则边长 c 的取值范围是(

【导学号:47172130】 ?15 ? A.? 2 ,+∞? ? ? C.(0,10) 【解析】 B.(10,+∞) 40? ? D.?0, 3 ? ? ? a c 10 40 由正弦定理sin A=sin C得 c= 3 · sin C= 3 · sin C, 4 40? ? 又 sin C∈(0,1],所以 c∈?0, 3 ?. ? ? 【答案】 D

3.如图 1,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 南偏西 40° ,灯塔 B 在观察站南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )

1

图1 A.北偏东 10° C.南偏东 80° B.北偏西 10° D.南偏西 80°

【解析】 由条件及图可知, A=B=40° , 又∠BCD=60° , 所以∠CBD=30° , 所以∠DBA=10° ,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80° . 【答案】 D

4.在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac, 则 B 的值是( π A.3 π 2π C.3或 3 【解析】 ) π B.6 π 5π D.6或 6 由余弦定理得 a2+c2-b2=2accos B.

∴2accos B· tan B=ac, 1 ∴sin B=2, π 5π ∴B=6或 6 . 【答案】 D

5.在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 A∶B=1∶2,a∶b =1∶ 3,则角 A 等于( A.45° C.60° 【解析】 ) B.30° D.75° a sin A 由正弦定理得b=sin B,

∵A∶B=1∶2,a∶b=1∶ 3, ∴ 1 sin A 1 =sin 2A=2cos A, 3

3 ∴cos A= 2 ,
2

即 A=30° . 【答案】 B

6.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 asin Asin B+ b bcos2A= 2a,则a等于( A.2 3 C. 3 【解析】 ) B.2 2 D. 2 ∵asin Asin B+bcos2A= 2a,

∴sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A, b sin B= 2sin A,∴b= 2a,∴a= 2. 【答案】 D

7.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc, sin C=2 3sin B,则 A=( A.30° C.120° 【解析】 ) B.60° D.150° 由 sin C=2 3sin B 及正弦定理, 【导学号:47172131】

得 c=2 3b, ∴a2-b2= 3bc=6b2,即 a2=7b2. b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 由余弦定理,cos A= 2bc = 2b· 2 3b = 6b2 3 2= 2 , 4 3b

又 0° <A<180° ,∴A=30° . 【答案】 A )

a+b+c 8. 在△ABC 中, A=60° , b=1, 其面积为 3, 则 等于( sin A+sin B+sin C A.3 3 8 3 C. 3 2 39 B. 3 39 D. 2

3

【解析】



a+b+c =2R, sin A+sin B+sin C

1 ∴由 S△ABC=2bcsin A 知 1 3=2×1×c×sin 60° , ∴c=4.又由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, a 2 39 得 a= 13.故 2R=sin A= 3 . 【答案】 B )

π 9.在△ABC 中,∠ABC=4,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=( 10 A. 10 3 10 C. 10 【解析】 10 B. 5 5 D. 5 2 由余弦定理可得 AC 2=9+2-2×3× 2× 2 =5, AC BC = , sin∠ABC sin∠BAC

所以 AC= 5,再由正弦定理得

2 3× 2 BC· sin∠ABC 3 10 所以 sin∠BAC= = = AC 10 . 5 【答案】 C

10.如图 2 所示,一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南 偏西 75° 距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这 只船航行的速度为( )

图2 17 6 A. 2 海里/时 B.34 6海里/时

4

17 2 C. 2 海里/时 【解析】

D.34 2海里/时

由题意知 PM=68,∠MPN=120° ,N=45° ,

PM MN 3 由正弦定理知sin 45° =sin 120° ,∴MN=68× 2 × 2=34 6, 34 6 17 6 ∴速度为 4 = 2 海里/小时. 【答案】 A

11.在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B· cos C,且 tan B· tan C=1- 2, 则角 A 的值为( π A.4 π C.2 【解析】 ) π B.3 3π D. 4 由题意知,sin A=- 2cos B· cos C=sin(B+C)

=sin B· cos C+cos B· sin C, ∴- 2cos B· cos C=sin B· cos C+cos B· sin C, 在等式两端同除以 cos B· cos C 得 tan B+tan C=- 2, tan(B+C)= tan B+tan C - 2 = =-1=-tan A, 1-tan B· tan C 2

π ∴tan A=1,即 A=4. 【答案】 A

12.如图 3 所示,在△ABC 中,已知 A∶B=1∶2,角 C 的平分线 CD 把三 角形面积分为 3∶2 两部分,则 cos A 等于( ) 【导学号:47172132】

图3 1 A.3 1 B.2

5

3 C.4

D.0

【解析】 在△ABC 中,设∠ACD=∠BCD=β,∠CAB=α,由 A∶B=1∶ 2 得∠ABC=2α,∵A<B,∴AC>BC, ∴S△ACD>S△BCD,∴S△ACD∶S△BCD=3∶2, 1 DC· sin β 2AC· 3 AC 3 ∴1 =2,∴BC=2. DC· sin β 2BC· AC BC AC BC 由正弦定理得sin B=sin A,sin 2α=sin α, AC sin 2α 3 ∴BC= sin α =2cos α,∴cos α=4, 3 即 cos A=4. 【答案】 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横 线上) 2π b 13.在△ABC 中,∠A= 3 ,a= 3c,则c =________. 【导学号:47172133】 【解析】 2π 在△ABC 中,∠A= 3 ,

2π ∴a2=b2+c2-2bccos 3 ,即 a2=b2+c2+bc. ∵a= 3c,∴3c2=b2+c2+bc,∴b2+bc-2c2=0, b ∴(b+2c)(b-c)=0,∴b-c=0,∴b=c,∴ =1. c 【答案】 1

sin 2A 14.在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 sin C =________. 【解析】 cos A= sin A a 由正弦定理得sin C=c ,由余弦定理得

b2+c2-a2 ,∵a=4,b=5,c=6, 2bc
6

2 2 2 sin 2A 2sin Acos A sin A 4 5 +6 -4 ∴ sin C = sin C =2· cos A=2×6× =1. sin C· 2×5×6

【答案】

1

15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面 1 积为 3 15,b-c=2,cos A=-4,则 a 的值为________. 【解析】 1 1 15 在△ABC 中,由 cos A=-4可得 sin A= 4 , 15

bc× =3 15, ? ?2 4 所以有?b-c=2, 1 ? ?a =b +c -2bc×???-4???,
2 2 2

?a=8, 解得?b=6, ?c=4.

【答案】

8

16 .已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,则该三角形的面积的最大值是 ________. 【解析】 如图,设 AB=AC=2x,

则在△ABD 中, 由余弦定理, 得 3=x2+4x2-4x2cos A, 5x2-3 所以 cos A= 4x2 . 所以 sin A= 1-cos2A = -9x4+30x2-9 , 4x2

1 所以 S△ABC=2(2x)2sin A 1 =2 -9x4+30x2-9. 5 故当 x2=3时,
7

1 (S△ABC)max=2 1 =2 16=2. 【答案】 2

5 ?5? -9×?3?2+30×3-9 ? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD= 2DC. sin B (1)求sin C; (2)若∠BAC=60° ,求∠B. 【解】 (1)由正弦定理,得

AD BD AD DC = , = sin B sin∠BAD sin C sin∠CAD. 因为 AD 平分∠BAC,BD=2DC, sin B DC 1 所以sin C=BD =2. (2)因为∠C=180° -(∠BAC+∠B),∠BAC=60° , 3 1 所以 sin C=sin(∠BAC+∠B)= 2 cos B+2sin B. 3 由(1)知 2sin B=sin C,所以 tan B= 3 , 所以∠B=30° . 3π 18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,∠A= 4 ,AB=6,AC=3 2,点 D 在 BC 边上,AD=BD,求 AD 的长. 【解】 设△ABC 的内角∠BAC,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,

由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccos ∠ BAC =(3 2)2 + 62 - 2×3 2 ×6×cos 3π 4 =18+36-(-36)=90, 所以 a=3 10. 又由正弦定理得 sin B= bsin ∠BAC 3 10 = = , a 3 10 10
8

π 由题设知 0<B<4, 所以 cos B= 1-sin2B= 1 3 10 1-10= 10 .

在△ABD 中,因为 AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B, AB· sin B 6sin B 3 故由正弦定理得 AD= =2sin Bcos B=cos B= 10. sin?π-2B? 19.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, A 2 5 → → 且满足 cos 2 = 5 ,AB · AC=3. (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值. 【解】 A 2 5 (1)∵cos 2 = 5 ,

A 3 4 ∴cos A=2cos2 2 -1=5,sin A=5. →· → =3, 又由AB AC 得 bccos A=3,∴bc=5, 1 ∴S△ABC=2bcsin A=2. (2)∵bc=5,又 b+c=6. ∴b=5,c=1 或 b=1,c=5, 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=20, ∴a=2 5. 20.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 2acos B=c,sin Asin B(2-cos C) C 1 =sin2 + ,试判断△ABC 的形状. 2 2 【解】 依题意得 2sin Acos B=sin C=sin(A+B),2sin Acos B-sin(A+B)

1 =sin(A-B)=0,因此 B=A,C=π-2A,于是有 sin2A(2+cos 2A)=cos2A+2,
2 1 3-2sin A 1 2 2 即 sin A(3-2sin A)=1-sin A+2= ,解得 sin A = ,因此 sin A = 2 2 2, 2 2 2

π 又 B=A 必为锐角,因此 B=A=4,△ABC 是等腰直角三角形.
9

21.(本小题满分 12 分)甲船在 A 处遇险,在甲船西南 10 海里 B 处的乙船收 到甲船的求救信号后,测得甲船正沿着北偏西 15° 的方向,以每小时 9 海里的速 度向某岛靠近.如果乙船要在 40 分钟内追上甲船,问乙船应以多大速度、向何 方向航行? ? 3 3? ?注:sin 21° 47′= 14 ?. ? ? 【解】 设乙船速度为 v 海里/时, 【导学号:47172134】

在△ABC 中,由余弦定理可知 BC2=AC2+AB2-2AC· AB· cos∠CAB, 2 ?2 ?2 ?2 ?2 ?3v? =?3×9? +102-2× ×9×10×cos 120° , 3 ? ? ? ? ∴v=21 海里/时. 又由正弦定理可知 BC AC = , sin∠BAC sin B

2 ×9 AC· sin∠BAC 3 3 3 ∴sin B= =2 ×sin 120° = 14 , BC 3×21 ∴B≈21° 47′, 即乙船应按北偏东 45° -21° 47′=23° 13′的方向航行. 22.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, cos A-2cos C 2c-a 已知 = b . cos B sin C (1)求 sin A的值; 1 (2)若 cos B=4,b=2,求△ABC 的面积 S. 【解】 a b c (1)由正弦定理,设sin A=sin B=sin C=k,

2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B
10

所以

cos A-2cos C 2sin C-sin A = , cos B sin B

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π, 所以 sin C=2sin A, sin C 因此sin A=2. sin C (2)由 sin A=2 得 c=2a. 1 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 及 cos B=4,b=2, 1 得 4=a2+4a2-4a2×4, 解得 a=1, 从而 c=2. 1 又因为 cos B=4,且 0<B<π. 15 所以 sin B= 4 , 1 1 15 15 因此 S=2acsin B=2×1×2× 4 = 4 .

11



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