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一道题的巧解


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高 中数 学教 与学  

2 o o 5  

。 短 文集 锦。 


道 题 ( 3 5巧 - 解 
游  磊  鞠红军  

( 扬州 大学 数学科 学 学 院 0 2级 , 2 2 5 0 0 2 )  
其 和 为 0+ 1 + 2+ … +9 = 4 5 . 则这 2   0 0 0个 数   的 个 位 数 字 之 和 为 S。 =4 5? 2 0 o= 9   0 0 0 .  

问题   将 l , 2 , …, 2   0 0 0 这2   0 0 0 个数 随意排  成 一行 , 得到一 个数 N, 求 证 N 一 定 能 被 3整 除 .  

这是一 条 关 于 整除 的数 学 竞赛 训 练题 ,  
下 面 我们 从 三 个 不 同 的角 度 来 思 考 .   分析 1   要 证 明 结论 成 立 , 只要 找 到 一 个 

( 2) 考虑这 2   0 0 0个 数 的 十位 数 字 之 和  以 1 0 0个 数 为 一 个 单 位 划 分 , 可分 为 2 0  
个单 位 . 每 个 单 位 的 数 字 均 为 0~ 9 , 各 出 现 

因子 P, 使 3? P = N, 则 问题 便 迎 刃 而 解 .   证法 1   因为 N 是 由 1, 2 , …, 2   0 0 0按 任 
意顺序排列 组成的 , 所 以可 以令 
N = 1× 1 0   - +2×1 0 " 2+ … + 是 ? 1 0  + … 

1 0次 , 其和为 4 5? 1 0: 4 5 0 . 由这 2   0 0 0个 数 的 
十 位 数 之 和 为 
Sz: 4 5 0× 2 0= 9   0 0 0.  

( 3 ) 考虑这 2   0 0 0个 数 的 百 位 数 字 之 和 
以 1   0 0 0个 数 为 一 个 单 位 划 分 , 可 分为 2  

+2   0 0 0× 1 0   , 其 中 是 ∈ Z, 1≤ 是≤ 2   0 0 0 .  
而 1 0   = ( 9+ 1 )  
= 9   + c  ?9  
= 3 ? P + 1.  

个单位 , 每 个 单 位 的数 字 均 为 0~ 9, 各 出现 
1 0 0= 4   5 0 0. 2   0 0 0个   1 0 0次 其数 和字 为之       则 这  数 的 百, 位 . 4 5× 1 : × 2 : 9 和 为 S  4   5 0 0       0 0 0.  

+ … + c 一   ?9 + 1  

其 中 P为整数 .  
令 1 0 _= 3 P, +1 , 则  :  
N = 1?( 3 Pl +1 )+ 2 ? ( 3 Pz+ 1 )+ … 
+2   0 0 0 ?( 3 P2   o o 0+ 1 )  


( 4 )考 虑 这 2   0 0 0个 数 的 千 位 数 字 之 和 
Sa: 1 × 1   0 0 0+2: 1   0 0 2.  

因 此 整 数 N 的各 位 数 字 之 和 为 
S = Sl+ S2+ S3+ S4  


3 ?Q + ( 1+2 + … + 2   0 0 0)  

9   0 0 0+ 9   0 0 0+9   0 0 0+ 1   0 0 2.  

其中 Q 为正整数 .  
显然, N 能 被 3整 除 当 且 仅 当 1+2+ … +   2   0 0 0能 被 3整 除 .   事实上 , l , 2, …, 2   0 0 0是 等 差 数 列 , 其 和 

S能 被 3整 除 , 即 N 能 被 3整 除 .   分析 3   同 分 析 2, 要 证 N 能 被 3整 除 , 即  要 证  的 各 数 位 上 数 字 之 和 能被 3 整除 . 考 虑 
数位上 1 0 个数 字 0 , 1 , 2, 3 , …, 9 , 其 中 0, 3, 6, 9  

s: L j 一  

}  ^  
二 

:2 一     0 0 1   0 0 0 能 H b   被3  

能 被 3整 除 , 可 以不考虑 , 其 余 6个 数 两 两 配 
对 , 有 1+ 2 = 3, 4+ 5 = 9 , 7+ 8 = 1 5都 是 3   的倍数 , 于 是 就 有 了 证 法 3.   证法 3 考 虑这 2   0 0 0个 数 的 个 、 十、 百 位  上 的数字除 0 , 3, 6, 9外 , 其 余 各 位 数 字 总 能 相  应 地 找 到 1和 2, 4和 5 , 7和 8配 对 .  

整除 . 故 N 能 被 3整 除 .   分析 2   一 个 整 数 能 被 3整 除 的 充 要 条   件 是 其 各 数 位 上 数 字 之 和 能 被 3整 除 , 因此 将 

N 的各 数位 上 数 字 之 和 求 出来 即 可 .  
证法 2   N 的各 数 位 上 数 字 之 和 与 1 , 2,  




2   0 0 0这 2   0 1 3 0个 数 的 排 列 顺 序 无 关 , 不 妨 
.  

即这 2   0 0 0个 数 除 千 位 数 字 以 外 其 余 各 
位 数 字 之 和 能 被 3整 除 .  

将 1 , 2 , …, 2   0 0 0按 从 小 到 大 的 顺 序 有 规 律 地  
排 成一列 , 然 后 分 4种 情 况 计 算 :  

因此 只要 证 明 这 2   0 0 0个 数 的 千 位 数 字 
之 和 能 被 3整 除 即 可 .   事实上 , 其 和 为 1× 1   0 0 0+ 2 = 1   0 0 2能   被 3整 除 , 故 N 能 被 3整 除 .  

( 1 ) 考虑这 2   0 0 0个 数 的 个 位 数 字 之 和 .   以 1 0个 数 为 一 个 单 位 划 分 , 可 分为 2 0 0个   单位 , 每 个单 位的 数字 均 为 0~ 9 , 各 出现 一 次 ,  
?

46 ?  


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