3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

必修四 1.2 1.2.1 第一课时 三角函数的定义


返回

根据锐角三角函数的定义,设锐角α的顶点与原点O重 合,始边与x轴的非负半轴重合,在角α的终边上取任意一点 b a b P(a,b),令OP=r,则sin α = ,cos α = ,tan α = . r r a 问题1:取α=60°时,可取终边上一点P(1, 60° 角的正弦、余弦和正切分别是什么?
提示:OP=r=2,sin 60°= tan 60°= 3. 3 1 ,cos 60°= , 2 2

3 ),问

返回

问题2:在锐角α的终边上取一点P(a,b),其正弦、余弦 和正切值分别是什么?
b a b 提示:设OP=r,则sin α= r ,cos α= r ,tan α=a.
问题3:在问题2中取OP=1时,正弦、余弦和正切怎样 表示?
b 提示:sin α=b,cos α=a,tan α=a.

返回

1.任意角三角函数的定义

(1)单位圆:在直角坐标系中,以 原点O 为圆心,
以 单位长度 为半径的圆称为单位圆.

返回

(2)单位圆中任意角的三角函数的定 义:设α 是一个任意角,它的终边与单 位圆交于点P(x,y),那么 y 叫做α的正 弦,记作sin α ,即sin α = y ; y x 叫做α的余弦,记作cos α ,即cos α = x ; 叫做α x y 的正切,记作tan α ,即tan α = x (x≠0).

返回

2.三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点

的 坐标或坐标的比值 为函数值的函数,它们统称为三角
函数.

返回

问题1:若角α是第二象限角,则它的正弦、余弦和

正切值的符号分别怎样?
提示:若角α为第二象限角,则x<0,y>0, sin α>0, cos α<0,tan α<0. 问题2:当角α是第四象限角时,它的正弦、余弦和正 切值的符号分别怎样? 提示:sin α<0,cos α>0,tan α<0. 返回

问题3:取角α分别为30°,390°,-330°,它们的三角
函数值是什么关系?为什么?

提示:相等,因为它们的终边重合.
问题4:取α=90°,-90°时,它们的正切值存在吗? 提示:不存在.

返回

1.三角函数的定义域
三角函数 sin α cos α tan α
? ? π ?α|α≠ ? 2 ?

定义域

R

R

+ kπ

? ? ,k∈Z? ? ?

返回

2.三角函数值的符号

返回

3.终边相同的角的同一三角函数值的关系

即终边相同的角的同一三角函数值 相等 .

返回

在平面直角坐标系中,任意角α的终边与单位圆交于 点P,过P作PM⊥x轴,过A(1,0)作AT⊥x轴,交终边或

其反向延长线于点T.
问题1:根据上面叙述画出α分别取135°,30°,

225°和-60°时的图形.
返回

提示:

返回

问题2:由上面图形结合三角函数定义,可以得到 sin α,cos α,tan α与MP,OM,AT的关系吗? 提示:可以,|sin α|=|MP|,|cos α|=|OM|,|tan α| =|AT|.

返回

1.有向线段
带有 方向 的线段叫做有向线段.

返回

2.三角函数线

图示

返回

α终边与单位圆交于P,过P作PM垂直x轴,有向

正弦线
线段 MP 即为正弦线 余弦线 有向线段 OM 即为余弦线 过A(1,0)作x轴的垂线,交α的终边或α的终边的 正切线 反向延长线于T,有向线段 AT 即为正切线

返回

1.三角函数也是一种函数,它是从一个角的集合到一 个比值的集合的对应.因为角的集合与实数集之间可以建 立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数 的函数. 2.设P(x,y)是任意角α的终边上的任意一点,它到原 y x y 点的距离为r,则sin α =r ,cos α = r ,tan α =x.

返回

3.三角函数值在各象限的符号规律概括为下面的口 诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,意为:第一 象限各三角函数值均为正;第二象限只有正弦值为正,其 余均为负;第三象限只有正切值为正,其余为负;第四象 限只有余弦值为正,其余皆为负. 4.在公式(一)中,要注意α是任意角,k是任意整 数.利用公式(一),可以把求任意角的三角函数值,转化为 求0~2π 内角的三角函数值.

返回

5.正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切 函数的几何表示,三角函数线的长度等于三角函数值的绝 对值.方向表示三角函数值的正负.

返回

返回

返回

[例 1]

根据下列条件求 sin α ,cos α ,tan α .

π (1)α=- ; 3 (2)角 α 的终边经过点 P(-4a,3a)(a≠0). π [思路点拨] (1)求出- 的终边与单位圆的交点坐标,再 3

用三角函数的定义求解. (2)用 a 表示 r 即|OP|,因 为 a 的符号不确定,所以要分 a >0 和 a<0 讨论.

返回

π [精解详析] (1)∵角- 的终边 3 1 3 与单位圆交于P( ,- ),∴sin α =- 2 2 3 1 ,cos α = ,tan α =- 3. 2 2 (2)因为x=-4a,y=3a, 所以r= (-4a)2+(3a)2=5|a|. 当a>0时,r=5a,角α为第二象限角,所以

返回

y 3a 3 x -4a 4 sin α =r = = ,cos α = r = =- , 5a 5 5a 5 y 3a 3 tan α =x= =- ; 4 -4a 当a<0时,r=-5a,角α为第四象限角,所以 y 3a 3 x -4a 4 sin α = = =- ,cos α = = = , r -5a r -5a 5 5 y 3a 3 tan α = = =- . x -4a 4

返回

[一点通] 已知角α终边上任意一点的坐标,求其三角函 y 数值的步骤是:①求r=|OP|= x +y ;②利用sin α= r ,
2 2

x y cos α= r ,tan α=x求值. 当角α终边上的点的坐标含参数时,为确定r的值要根据 情况进行分类讨论.

返回

1.(1)已知角α的终边经过点P(-3,4),则sinα =________; y (2)设点A(x,y)是30°角终边上异于原点的一点,则 的值 x 为________.

返回

解析:(1)这里x=-3,y=4,∴r= (-3)2+42=5, 由三角函数的定义知, y 4 sinα=r = . 5 (2)根据三角函数的定义知 y 3 = tan 30 °= . x 3

4 答案:(1) 5

3 (2) 3

返回

2. 若角α的终边在直线y=-2x上,则sin α 等于 1 A.± 5 2 5 C.± 5 5 B.± 5 1 D.± 2

(

)

返回

解析:当终边在第二象限时,取P(-1,2),r= 5, 2 2 5 则sin α= = ;当终边在第四象限时,取P(1,-2), 5 5 2 5 r= 5,则sin α=- . 5

答案:C

返回

12 3.已知角α的终边过点P(5,a),且tan α =- ,求sin α + 5 cos α 的值.
a 12 解:根据三角函数的定义,tan α= =- , 5 5 ∴a=-12,∴P(5,-12),这时r=13, 12 5 ∴sin α=- ,cos α= , 13 13 7 从而sin α+cos α=- . 13

返回

[例 2]

(10 分)判断下列各式的符号:

(1)sin α ?cos α ;(α 是第二象限角) 23π (2)sin 3?cos 4?tan(- ). 4

[思路点拨]

根据三角函数值在各象限的符号规律求解.

返回

[精解详析] (1)∵α是第二象限角, ∴ sin α >0,cos α <0, ∴sin α ?cos α <0.? π 3π (2)∵ <3<π ,π <4< , 2 2 ∴sin 3>0,cos 4<0. 23π π 23π ∵- =-6π + ,∴tan(- )>0, 4 4 4 23 ∴sin 3?cos 4?tan(- π )<0.? 4 (10分) (5分)

返回

[一点通]

判断三角函数的符号时,首先要准确确定

角所在的象限,另外准确记忆三角函数值在各象限的符号是 解决这类问题的关键,这个问题是以后解决三角函数求值问 题的基础.

返回

sin α 4.若 <0,则角α的终边一定在 tan α A.第二或第三象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第二或第四象限

(

)

返回

? ? ?sin α>0, ?sin α<0, sin α 解析:∵ <0,∴? 或? ? tan α ?tan α<0, ? ?tan α>0.

根据三角函数值在各象限内的符号规律知,角α的终边应在 第二象限或第三象限.

答案:A

返回

5.判断下列各式的符号: (1)tan 191°-cos 191°; (2)sin 2?cos 3?tan 4.
解:(1)∵191°是第三象限角, ∴tan 191°>0,cos 191°<0. ∴tan 191°-cos 191°>0. (2)∵2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角. ∴sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0. ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.

返回

6.若sin 2α>0,且cos α<0.试确定α终边所在的象限.
解:因为 sin 2α>0,所以 2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z), π 所以 kπ<α<kπ+ (k∈Z). 2 当 k 为偶数时,α 是第一象限角;当 k 为奇数时,α 为第三象 限角.所以 α 为第一或第三象限角. 又因为 cos α<0,所以 α 为第三象限角.

返回

1.解已知角α的终边所在的直线,求α三角函数值时, 常用的解题方法有以下两种: (1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利 用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值. (2)注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取 射线上任意一点坐标(a,b),则对应角的正弦值sin b a b 2 2,余弦值cos α = 2 2 ,正切值tan α =a. a +b a +b α=

返回

2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据 问题的实际情况对参数进行分类讨论.

返回

点此进 入

返回


推荐相关:

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一) 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和...


苏教版高中数学必修四:第1章-三角函数1.2.1(1)课时作业(含答案)_数学_高中教育_教育专区。§ 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一) 课时...


2015-2016 学年高中数学 1.2.1 三角函数的定义课时作业 新人教 B 版必修 4 一、选择题 1.(2014?全国大纲文,2)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos...


【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第一三角函数 1.2.1(二) ...1.2.1 任意角的三角函数(二) 课时目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域...


高中数学必修四第一1.2.1任意三角函数(2)_数学_高中教育_教育专区。一.复习三角函数的定义:正弦函数sinα;余弦函数cosα;正切函数tanα; 二.三角函数值的符...


1.2.1 学习目标: 任意角的三角函数(2) 1.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值 相等. 2.正确利用与单位圆有关的有向线段,将...


三角函数 1.2 任意角的三角函数 第一课时 1.2.1 任意三角函数 1 教学目标 [1] 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解任意角的余切、正割、余割的定义。...


(人教A版,必修四) 第一章 三角函数 1.2.1(一) 课时作业_数学_高中教育_...掌握诱导公式(一)及其应用. 1.任意角三角函数的定义 设角 α 终边上任意一点...


§1.2.1 三角函数的定义导学案 新人教B版必修4_数学_高中教育_教育专区。§1.2.1 ◆ 课前导学 (一)学习目标 三角函数的定义 1. 熟练记忆三角函数的定义...


【新导学案】高中数学人教版必修四:1.2.2(1)《同角的三角函数的基本关系(1...【学法指导】 通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线,为本节所要...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com