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信号与系统超有用知识总结3天之内学懂应对考试


第一次课: 第一次课:
自我介绍 课程安排

1.自己考研的一些经历,时间安排,复习重点 自己考研的一些经历,时间安排, 自己考研的一些经历
复习时间安排:总共复习 100 天,每天半小时——1 个半小时,越到后面花时间越少 每天复习内容:部分公式推导,题 3 道左右,题仅限历年考题,不再做多余的题,重点 在于通过做题还有自己推导公式,使自己对公式理解深刻,运用灵活 专业课特点:知识点少,用时少,分数高,是考验取得好成绩的可靠保障 考试要点:考前不用大量训练,但需要全面的回顾知识点及题型;考试时,题量小,所 以切记急躁,宁可做慢一点,因为大片大片地做错再去改非常影响考试状态;专业课考试没 有难题,考的是细心。

2.基础,基本概念,基本函数(离散的部分比较简略) 基础,基本概念,基本函数(离散的部分比较简略) 基础
2.1 系统: 系统:
其实就是一个函数 h(t ) ( H ( jw) …) 。它与输入信号 x (t ) 相卷积得到输出信号 y (t ) , 做题时,知道系统就是 h(t ) ,就可以了。重点把握:形如 e 0 , z0 的信号经过系统 h(t ) 后的 表达式为 e 0 H ( s0 ), z0 H ( z0 ) ,这也是 FS 的意义所在;另外要会列电路频域方程,解电路 的部分放在讲题的地方统一讲
s t n s t n

2.2 特殊函数: δ (t ), δ [n], u (t ), u[n], e jw0t , e jwo n ,
2.2.1

n = ?∞

∑ δ (t ? nT )

+∞



+∞

?∞

δ (t )dt = 1 , δ (t ) = 0(t ≠ 0) ,只需记住这个,具体定义不管

?1, t ≥ 0 , u (t ) = ? ?0, t < 0

δ (t ) =

t d u (t ), u (t ) = ∫ δ (τ )dτ ,这两个式子很少考,作为了解 ?∞ dt

用于移位: (t ) ? δ (t ? t0 ) = x (t ? τ )δ (τ ? t0 )dτ = x(t ? t0 ) , x 因为式中 τ 只能为 t0



时被积函数才不为 0 用于积分: x(t ) ? u (t ) = 为0 离散情况类似,求导对应差分,积分对应求和,不再重复 2.2.2 e
jw0t



+∞

?∞

x(τ )u (t ? τ )dτ = ∫ x(τ )dτ ,式中 τ < t 时被积函数不
?∞

t

,e

jw0 n

极其常见,用于各种地方,如基本公式,FS,移位等。

e jw0t 为周期函数,周期为

2π w0

e jw0 n 怎样理解它的周期性?若周期为 N,则 e jw0 N = e jw0 0 = 1 ,则 Nw0 必须是 2π 的
整数(m)倍,所以 w0 = 2π 但要理解 欧拉公式:cos( w0t ) =

m ,否则为非周期。离散的情况不是很重要,考的几率很小, N
e jw0t + e ? jw0t e jw0t ? e ? jw0t ,我一般记这个表达式, , sin( w0t ) = 2 2j

因为用得较多,尤其用于信号的调制(时域做乘法,频域向两边移位移位) ,反变化较少使 用 2.2.4

n = ?∞

∑ δ (t ? nT ) 冲击串,很重要的函数,后面会细讲
+∞

+∞

2.3 卷积的性质: 卷积的性质:
x(t ) ? h(t ) = ∫ x(τ )h(t ? τ )dτ 基本公式一般有两种应用: 公式型的证明题; 已知图形,
?∞

求卷

x[n] ? h[n] =

m = ?∞

∑ x[m]h[n ? m] 除以上应用,也可能直接求,因为加法比较容易算
1 频域卷(注意系数) ,利用这 2π

+∞

运算律同四则运算:分配,交换,结合 卷积最重要的性质:时域卷——频域乘,时域乘——

个知识点与奇异函数的性质可以得到移位,微分,积分等性质。估计一半以上的题都多少会 用到这个性质。

3.各种变换,推导过程讲一部分,主要讲公式间的联系以及应用 各种变换,推导过程讲一部分,
FT 与 FS 联系,FT 与 LT 联系,DTFT 与 ZT 联系,LT 的收敛域与 ZT 收敛域的联系,单 边变换与双边变换的联系,入手点还是最基础的 FT

3.1 FT
3.1.1 基本变换式:

X ( jw) = ∫ x(t )e ? jwt dt
?∞

+∞

1 x(t ) = 2π



+∞

?∞

X ( jw)e jwt dw

这个是最基础的东西,应用非常广,这个记不住就别考了,在一些其他公式记不清的 时候,用这个去推,熟练后是非常快的 3.1.2 e ? at u (t ) →

1 1 ,a > 0 , e at u (?t ) → a + jw a ? jw
+∞

推导:



+∞

?∞

e ? at u (t )e ? jwt dt = ∫ e ?( a + jw )t dt =
0

0 ?1 1 = ? (a + jw) a + jw

常用于已知频域函数 H ( jw) =

Y ( jw) 反求时域:先拆成简单因子相加的形式,如 X ( jw)

A B + ,再严格套用上面的公式 a ± jw b ± jw
3.1.3 δ (t ) → 1, u (t ) →

1 + πδ ( w) ,基础,注意 u (t ) 的频域表达式 jw

sign(t ) = u (t ) ? u (?t ) ?
过 u (t ) 去推导

2 1 ,看到 就该想到这个,想要少记一个公式也可以通 jw jw

δ (t ? t0 ) → e ? jwt , e jw t → 2πδ ( w ? w0 ) ,常用于移位,之所列出第二个公式,是由于
0 o

在题中,时域往往要乘上 cos( w0t ) ,再用欧拉公式………… 之前已提到:卷积 δ (t ? t0 ) 等效于移位;通过这些联系,避免记错移位方向及正负号 3.1.4 应用欧拉公式, cos( w0t ), sin( w0t ) 的性质即可得到,这里有两点需要注意:一是 要注意系数,欧拉公式本身有系数

1 jw t ,再加上 e o → 2πδ ( w ? w0 ) 存在系数 2π ,所以有 2

cos( w0t ) ? π (δ ( w + w0 ) + δ ( w ? w0 )) , 而 这 个 变 换 往 往 应 用 于 信 号 调 制 , 即

x(t ) cos( w0t ) , 时 域 乘 法 对 应 了
cos( w0t ) x(t ) ?

( X ( w + w0 ) + X ( w ? w0 )) ; 第二要注意 sin 变换中的 j 的位置和 X 正负号 2

1 2π

频 域 卷 积 , 所 以 有

的问题,sin( w0t ) ?

π (δ ( w ? w0 ) ? δ ( w + w0 ))
j

,我一般习惯把 j 放在分母,这样,正半轴

为正冲击,负半轴为负冲击。可以按自己的习惯来,但这两点一定要注意,非常容易出错。 3.1.5 门函数 → 2

sin wT sin w0t , → 门函数 w πt 1 2

首先要把系数记牢,其次要记得门限为 ± T ,± w0 ,而没有

由于图形简单,有图的题里经常出现,可以算是必考,考到注意多用用图形 3.1.6 冲击串-采样函数

n = ?∞

∑ δ (t ? nT ) ?

+∞

2π T

n = ?∞

∑ δ (w ? nw )
0

+∞

最重要的用途:通过卷积,将非周期与周期信号联系起来,通过乘法,将连续与离散 信号联系起来,不过多一个 δ 的增益。常出现于公式推导型证明题,画图题

做周期信号的 FT,

xT (t ) = x(t ) ?

n = ?∞

∑ δ (t ? nT ) ?

+∞

2π T

n = ?∞

∑ δ ( w ? nw )X ( jw ) ,一
0 0

+∞

般能量无限信号的 FT 是没有意义的,但是周期信号还是可以通过上面这样去求 FT

3.2 FS ak = 1 T

∫x
T +∞

T

(t )e ? jkw0t dt
jkw0t k

xT (t ) =

k = ?∞

∑a e

FS 与 FT 的联系:设 xT (t ) = x(t ) ?

n = ?∞

∑ δ (t ? nT ) , x(t ) ? X ( jw) 则有:
X ( jkw0 ) T

+∞

ak =

1 T



T

xT (t )e ? jkw0t dt =

1 T



+∞

?∞

x(t )e ? jkw0t dt =

由于 FS 限于周期信号,所以没什么需要记的变换对,考试基本也仅限于它的基本变 换公式

3.3 LT
X ( s ) = ∫ x(t )e ? st dt
3.3.1
?∞ +∞

1 x(t ) = 2π

∫σ

σ + j∞
? j∞

正变换掌握,反变换只需了解
st

X ( s )e ds

3.3.2 注意由时域求频域有唯一表达式,但需标明收敛域,而由频域求时域的时候,根 据收敛域不同(右边、左边、右边+左边或有限信号,没有无限信号) ,会求出不同的时域 表达式,如:

1 s+a

收敛域为 Re{s} > ?a ,则为 e ? at u (t ) ,若为 Re{s} < ? a ,则为 ? e ? at u ( ?t ) ,

一般考题收敛域以大于为主(一般都是因果的) ,但小于的情况也必须知道。另外,这个 a 一般为实数,不需 a>0,与 FT 区别 3.3.3 δ (t ) ? 1, Re{s}: ( ?∞,+∞)

1 n! u (t ) ? , t n u (t ) ? n+1 , Re{s} > 0 s s
推 导 : 第 一 个 只 需 记 住 , 同 时 注 意 与 FT 的 频 域 相 区 别 ; 第 二 个 推 导 过 程 :

u (t ) ?

1 1 1 ? ?tu (t ) ? (?1) 2 ? (?t ) n u (t ) ? (?1) n n +1 ? 由这个推导得到的启示在于, s s s

每当我们在做题时看到如下形式 t n h(t ), s n H ( s ) ,要求 LT 变换时(一般 n 比较小,其中

h(t ), H ( s ) 为已知的,常用的变换对) ,应该想得到用求导的方法。另外,第二个公式很少
会考到,推导也简单,可不记。

cos( w0t )u (t ) ?
3.3.4

s 2 s + w0
2

sin( w0t )u (t ) ?

w0 , Re{s} > 0 2 s + w0
2

cos( wot )u (t ) =
推导

e jwo t u (t ) + e ? jwot u (t ) 1 1 1 s ? ( + )= 2 2 2 2 jwo + s ? jwo + s w0 + s

e jwot u (t ) ? e ? jwot u (t ) 1 1 1 w sin( wot )u (t ) = ? ( ? )= 2 0 2 2j 2 j ? jwo + s jwo + s w0 + s

,很

容易得到,熟悉推导过程,注意区别,避免记错分子。 考试中可能遇到的变换对,一定可以根据基本公式和常用变换对再加上移位、求导、 积分等性质得到,注意掌握他们的特点,下面只列出已知频域求时域的情况:因子 s → 求 导;

1 1 ? → 积分; e ? st0 → 移位; → e ? at u (t ) ; 2 → cos w0t , sin w0t 2 s a+s s + w0

3.3.5 收敛域。不包含极点,一般先求出极点,然后根据时域信号判断,右边信号--> 极点右边,左边信号-->极点左边,双边信号-->两极点之间(这里举个 3 个极点的例子) ,有 限信号,能量有限-->全域;此外,注意两个性质,因果-->右边,稳定(有 FT)-->包含 jw 轴

1 1 2 + 4( ) ? 6( ) 2 2s 2 + 4s ? 6 s s ,我一般习惯将式子化为这 3.3.6 画图,举例 H ( s ) = 2 = s + 3s + 2 1 + 3( 1 ) + 2( 1 ) 2 s s 1 种形式(分母常数项为 1) ,因为画图中要用到积分器 。分为分子分母画图,然后结合 s
3.3.7 单边 LT X I ( s ) =



+∞

0?

x(t )e ? st dt = ∫ x(t )u (t )e ? st dt 可不写收敛域,凡是求 X I (s )
?∞

+∞

都可以通过 u (t ) 变为求 X ( s ) ,例求 e ? a ( t +1) u (t + 1) 的单边变换

x' (t )u (t ) ? sX I ( s ) ? x(0 ? )
不严密推导: x (t )u (t ) ? X I ( s ) ? ( x (t )u (t ))' = x ' (t )u (t ) + x(t )u ' (t ) ? sX I ( s )

? x' (t )u (t ) ? sX I ( s ) ? x(0) 便于理解,强化记忆



t

?∞

x(τ )dτu (t ) ?

X I ( s ) ∫?∞ x(τ )dτ + ,解电路 s s
+∞ +∞ ?∞ ?∞

0?

推导:



t
?

0

x(τ )dτu (t ) = ∫ x(τ )u (t ? τ )u (τ )dτu (t ) = ∫ x(τ )u (t ? τ )u (τ )dτ = x(t )u (t ) ? u (t ) ? X I (s) s

单边变换应用较少,只需记住基本概念和上面两式

3.4 ZT
X ( z) =

n = ?∞

∑ x[n]z

+∞

?n

反变换不管

a nu[n] →

1 1 , z > a ,? a nu[? n ? 1] → ,z<a, 基本公式, 收敛域不同, ?1 1 ? az 1 ? az ?1

推导过程其实就是简单的序列求和,一般也是右边序列使用较多,其他可根据这个来推导 收敛域,性质类似于 LT,但对于有限信号,可能不包含 0 点和无穷点 画图,同 LT 单边 ZT X I ( z ) =

∑ x[n]z ?n =
n =0 +∞

+∞

n = ?∞

∑ x[n]u[n]z
+∞ ?1

+∞

?n

下面给一个简单推导便于理解

举例

x[n ? 1]u[n] ? ∑ x[n ? 1]z ? n = ∑ x[m]z ? m z ?1 = x[?1] + z ?1 ∑ x[m]z ? m
0 0

+∞

= x[?1] + z ?1 X I ( z )
这个比单边 LT 还冷门,基本就不会考,掌握基本概念就够了

3.5 DTFT(不重要) (不重要)
X (e jw ) = x[n] = 1 2π

n = ?∞

∑ x[n]e ∫ π X (e
2

+∞

? jwn

jw

)e jwn dw
jw

一般变换对参照 Z 变换,将 Z 换成 e

得到,如:

a nu[n] ?

1 , a < 1, 1 ? ae ? jw
e jw0 n ? 2π

另外注意频域一定为周期信号,例如

m = ?∞

∑ δ (w ? w

+∞

0

? 2πm)

4.一些性质 一些性质
4.1 线性,略

x(t ? t0 ) = x(t ) ? δ (t ? t 0 ) ? X ( jw)e ? jwt 0
4.2 时移,频移

x(t )e jw0t ?

1 X ( jw) ? 2πδ ( w ? w0 ) = X ( j ( w ? w0 )) 2π

联系 δ 函数,注意正负号,考试中会频繁使用 4.3 对偶,卷积 对偶步骤: w 变为 t , t 变为 ? w ,变换后的频域乘上 2π ,有时题上要求的东西和我 们所记的公式形式相反,这时用对偶的方法可以快速求出对应的公式。

卷积定理不再重复 4.4 奇偶虚实
* 由于 x ( ?t ) ? X (? jw) ,且对于实信号 X ( ? jw) = X ( jw) 推出其他公式:

x(t ) + x(?t ) X ( jw) + X * ( jw) ? = Re{X ( jw)} 2 2 x(t ) ? x(?t ) X ( jw) ? X * ( jw) ? = j Im{X ( jw)} 2 2
看到求实部虚部的题就用这个了 4.5 尺度 x ( at ) ?

1 jw X( ) a a

考得较少,记一下 4.6 微分,积分 微分通过基本公式可以推导求,例如

dx(t ) 1 = dt 2π

∫ X ( jw)e

jwt

jwdw ? X ( jw) jw ,应该熟悉这个过程,以免正负号记错

积分通过奇异函数 u (t ) 来求,例如



t

?∞

x(τ )dτ = x(t ) ? u (t ) ? X ( jw)(

1 X ( jw) + πδ ( w)) = + πX ( j 0)δ ( w) 注意与 LS jw jw

区别,同时,LS 更常用一些 做题过程中,对于积分微分不能直接求的信号,都是转换为另一域来求 4.7 能量守恒,初值终值



+∞

?∞

x(t ) dt =
2

1 2π



+∞

?∞

X ( jw) dw
2 k

2

1 T



T

xT (t ) dt =
2

n = ?∞

∑a
2

+∞

n = ?∞

∑ x[n]

+∞

2

=

1 2π

∫π

X (e jw ) dw

2

以上三式,注意区别,尤其是 FS,凡是发现对信号的平方求积分,必定会用

x(0 + ) = lim sX ( s ), x(∞ ) = lim sX ( s )
s →∞ s →0

x[0] = lim X ( z ), x[∞] = lim( z ? 1) X ( z )
z →∞ z →1

以上两式,只用于 t , n < 0 时,信号为 0 的情况,用得很少,稍微记一下

第二次课: 第二次课:
讲题,详讲一道,其余略讲 给出的解题思路也是,一道详细,其余简略 范围:2009—2010 真题 另外,下面的解题思路都是我在看答案前自己的想法,有些地方和答案不同,大家可以进行 对比。 题型 1:推公式证明题,给少量已知条件, (1)证明一个等式; (2)计算一个表达式 (2009—4,2010—7) 常用:基本变换公式;

n = ?∞

∑ δ (t ? nT ) ?

+∞

2π T

n = ?∞

∑ δ (w ? nw ) ;积分;求和;卷积
0

+∞

2009-4:已知 f (t ) ? F ( w)

(1)证:

n = ?∞ +∞



+∞

f (t + nT ) = 2

1 +∞ ∑ F (kw0 )e jkw0t T k = ?∞

(2)求

k = ?∞

∑ 1 + (2kπ )

2

思路: (1)等式左边是一个周期信号,等式右边是求和,并注意因子 e FS 的基本公式。因此只需证明 ak =

jkw0t

。由此可以想到

F (kw0 ) ; T

(2)证明题两问一般都会联系,考虑用(1)的公式来解。看到都有求和,我们考虑 把

2 代入(1)式,观察发现只能代入右边 F ( kw0 ) 的部分(一个小技巧,求和因 1 + (2kπ ) 2

子为 k ,而等式右边也为 k ,多半是右边) 。另 w0 = 2π , T = 1 ,带入后得

n = ?∞


+∞

+∞

f (t + n) =

k = ?∞

∑ 1 + (2kπ )

+∞

2

2

e j 2πkt ,为得到我们要求的式子,需使 t = 0 ,得到

+∞ 2 2 , = ∑ f (n) ,因此我们需要得到 f (n) 的表达式,考虑到 F ( w) = ∑ 1 + (2kπ ) 2 n=?∞ 1 + w2 k = ?∞

通过反变换得到 e
+∞

?t

(这个算是比较典型的变换对,可以记住,也可以拆分

2 推导出) 1 + w2

+∞ 2 1 + e ?1 ?n 最后得到 ∑ = ∑e = 2 1 ? e ?1 k = ?∞ 1 + ( 2kπ ) n = ?∞

2010-7:已知 z x (t ) = x (t ) +

π∫

j

x(τ ) dτ ?∞ t ? τ
+∞

(1)证 g (t ) = x(t ) ? f (t ) 时, z g (t ) =

1 z x (t ) ? z f (t ) 2

(2)若 x (t ) = cos( w1t ) cos( w2t ),0 < w1 < w2 ,算 z x (t ) 思路: (1)首先,考虑到第一问里有很多卷积,条件中的积分含因子 τ , t ? τ ,因此也变为 卷积 z x (t ) = x (t ) +

j ? x(t ) 。我发现直接求似乎并不复杂,于是有了以下的尝试: πt j z g (t ) = x(t ) ? f (t ) + ? x(t ) ? f (t ) πt j2 j j z x (t ) ? z f (t ) = x(t ) ? f (t ) + x(t ) ? f (t ) + * * x(t ) ? f (t ) πt πt πt j j j ? = δ (t ) ,通过频域即可得证( ? sign(w) ) 对比以上两式,发现只需证 πt πt πt
(2)通过频域,画图。

题型 2:关于系统的题,往往已知关于系统的一些条件以及输入 x (t ) ,求 y (t ) 或某些特殊式 子,如能量(2009-5,2009-9) 常用:基本变换对中的 δ (t ? t0 ) ,三角函数和门函数;时频对应关系——卷积和乘法,往往 换一条道路解题会简单很多;题稍难的时候再反变换时可能用到积分微分相关性质 2009-5:已知 h1 (t ) =

1 d δ (t ) , h2 (t ) = (图画黑板上) dt π (t ? 2)

(1)求 H ( jw) ,画 H ( jw) (2)若 x (t ) =
+∞ sin(πt ) ,求 ∫ y 2 (t ) dt ?∞ πt
? j 2w

思路: (1)无需思路,直接求 H ( jw) = jw ? ( ? je

sign( w)) = w e ? j 2 w

(2) 看到平方的积分, 且明显频域信号更简单, 用能量公式。 根据所记变换对,X ( jw) 的门限为 π ,幅度为 1, Y ( jw) = w , w ∈ ( ?π , π ) ,代入能量公式:



+∞

?∞

y 2 (t )dt =

1 2π

∫π
?

π

w 2 dw =

π2
3

,这种属于送分题,仔细点就可以了,比如 h2 (t ) 的变换,

能量公式的系数,往往做题做高兴了就容易出错。 2009-9:已知 x1 (t ) = cos(t ) , x2 (t ) = cos( 3t ) , H ( jw) = (1)求 y1 (t ), y 2 (t )

1 因果稳定 1 + jw

(2) y1 (t ) = A1 x1 (t ? t1 ), y2 (t ) = A2 x2 (t ? t 2 ) ,比较 A1 , t1 与 A2 ,t 2 大小,说明原因 思路: (1)可以通过频域求,但是考虑到输入为 e
jw0t

的形式,求输出的时域,输出为

e jw0t H ( w0 ) ,所以有

π 1 e jt e ? jt 1 e jt + e ? jt e jt ? e ? jt 1 1 y1 (t ) = ( + )= [ + ] = (cos t + sin t ) = cos(t ? ) 2 1+ j 1? j 2 2 2j 2 4 2
同理, y2 (t ) =

1 π cos( 3 (t ? )) 。 2 3 3
j∠H ( w )

(2)要比较的是时域幅度增益与延时,将 H ( w) 变为 H ( w) e

的形式,得到

H ( w) =

1 e ? jatg ( w ) , 同 时 已 知 w1 = 1, w2 = 3 , 带 入 H (w) 得 A1 > A2 。 时 延 为 1 + w2

atg ( w) ,单调减函数,所以 t1 > t 2 w
题型 3:画图求解的题,一般也必定会涉及系统,利用图形求 x (t ), h(t ), y (t ) 或某些特殊式 子,一般这种题用画图解会很简单(2009-7,2010-4) 常用:时频——卷积和乘法的转换,图形求卷积,图形的移位、尺度变换等,门函数,三角 函数,

n = ?∞

∑ δ (t ? nT ) ?
π

+∞

2π T

n = ?∞

∑ δ (w ? nw ) 即图形的周期化(总的来说,和题型 2 用到的
0 +∞

+∞

差不多,因为都是关于系统的题) 2009-7: x (t ) = sin( t ), g (t ) = ∑ δ (t ? 2n) ,且 h(t ), H 1 ( jw) 如图 4 n = ?∞ (1)画出 r (t ) 的频谱 (2)求 y1 (t ) 的表达式 (3)画出 y 2 (t ) 的图 思路: (1)周期化,三个要点:正负号,幅度,周期 (2)截取一段,反变换, y1 (t ) =

1 π 3π (sin t ? sin t) 2 4 4

(3)h(t ) 时域为方波, 频域很复杂, 因此还是用时域,r (t ) =
+∞

n = ?∞

∑ δ (t ? 2n) sin( 2 n) ,

+∞

π

r (t ) ? h(t ) =

∑ h(t ? 2n) sin( 2 n) = (?1) n n∑ h(t ? 2(2n + 1)) ,画图 n = ?∞ = ?∞

π

+∞

2010-4:已知 x (t ) = sin(7.5t ) + 2 cos(9t ), p (t ) = 画出 R ( jw) ,求 y (t )

n = ?∞

∑ δ (t ? 2 n), H ( jw) = ?0, w > 2
?

+∞

π

?1, w < 2

思路:此题画图时有一点比较特殊,就是在周期化的时候,周期小于信号宽度,因此会产生 重叠。然后通过 H ( jw) 截取一个周期,反变换得到 y (t ) 题型 4:电路。实际就是求 H (s ) ,再进行一些后续运算,不过通过电路求稍微特殊一点, 所以单独列出(2009-8(2010-6 和此题几乎一模一样,除了求 H (s ) 的方式变为微分方程。 由此也可以看出,电路仅仅是用来求 H (s ) ,不再涉及更难的运算,而后续的几问只是单纯 的计算问题) ) 常用:电路频域图;基本的解电路方法,串联分压,并联分流 2009-8:如图,已知 L = 1, C = 1 ,电流 x (t ) 输入,电压 y (t ) 输出 (1)求 H (s ) 。讨论如何选择 R 取值,使极点为复数 (2) R = 1 ,求 H ( jw) 最大值 H ( jw0 ) max ,指出 w0 ( w0 ≥ 0) (3)令 H ( jw1 ) = H ( jw2 ) = 求-3dB 带宽 ?w = w2 ? w1 思 路 : 1 ) 主 要 是 画 频 域 图 与 解 电 路 , R → R, L → Ls, C → (

1 H ( jw0 ) max ,且 w1 < w0 < w2 ,R、L、C 不变, 2

X ( s)

1 Rs = Y ( s) ? H (s ) = 2 1 / R + 1 / Ls + Cs Rs + s + R
(2)H ( jw) =
2

1 。对于本题,则有 Cs 1 R> 2 2 , 极点为复数, 1 ? 4 R < 0 , 则

jw 1 , H ( jw) = , 求导求最值, w0 = 1 , 得 2 ? w + jw + 1 1 / w ? 1 + w2

H ( jw0 ) = 1
(3)要求 w1 , w2 ,令

1 1/ w ?1+ w
2 2

=

1 ± 5 ±1 ,解得 w = ,根据已知条件 2 2

w1 < w0 < w2 ,取 w0 左右两点,所以 w1 =
关键是解好第一步,其余是数学问题。

5 ?1 5 +1 , w2 = , ?w = 1 2 2

题型 5:通过微分、差分方程求系统函数 H ( s ), H ( z ) ,画方框图,零、极点图,判断收敛 域, 是否因果, 是否稳定; 一般这些还不够一道题的分量, 所以还要加一点其他运算 (2010-9, 2010-6,2009-10) 常用:标准方框图的画法,零极点图画法;各种判决准则;常用变换对 2010-9:已知线性因果系统 y[ n] ?

1 1 y[n ? 2] = x[n ? 2] ? x[n] 4 4

(1)画图零极点图,指出系统是否稳定 (2)求系统单位阶跃响应 (3)输入 x[ n] = u[ n] ? u[ n ? 5] ,计算

n = ?∞

∑ y [n]
2

+∞

思路: (1)求得 H ( z ) =

z ?2 ? 1 / 4 ,画图 1 ? z ?2 / 4 u[n] = 1 1 ? z ?1 ,做乘法后拆分为

(2)显然,用时域求和方法很复杂,因此用频域,

1 ? 15 / 8 5/8 15 1 5 1 + + ? u[n] ? ( ) n u[n] + (? ) n u[n] ?1 ?1 ?1 1? z 1? z / 2 1+ z / 2 8 2 8 2
(3)用能量公式

n = ?∞

∑ y [n] = 2π ∫
2

+∞

1

+∞

?∞

Y ( jw) dw =
2

1 2π



+∞

?∞

X ( jw) H ( jw) dw ,分别
1 2π

2

考虑 X ( jw) , H ( jw) , X ( jw) 比较复杂, H ( jw) 为 1,所以变为



+∞

?∞

X ( jw) dw ,

2

由于 X ( jw) 复杂而 x[ n] = u[ n] ? u[ n ? 5] 非常简单,因此再用能量公式,得

n = ?∞

∑ y [ n] = 5 。
2

+∞

这一问很好地考察了频域和时域的灵活转换,所以做题时,遇到某一域比较复杂时, 与其耐心地解出来,不如花一点时间考虑另一域是否简单。 2010-6:已知因果系统

d2 d d 2 y (t ) + b y (t ) + w0 y (t ) = b x(t ) 2 dt dt dt

(1)求 H (s ) ,画方框图; 后面两问省略,和前面一样 2009-10:这个不讲了,大同小异 题型 6:纯计算题,主要都是单纯地根据已知条件去求某些表达式的值,有些很简单,有些 需要灵活运用所学知识(2010-5,2009-6,2010-8) 常用:各种性质 2010-5:已知 x (t ) ? X ( jw) ,如图 (1)求 x (t )

(2)另 y (t ) ? Y ( jw) = X ( j 2 w) ,计算



t y (t ) cos( )dt ?∞ 2

+∞

思路: (1)这一问显然不需要用图形去求解,由于已知条件只有 X ( jw) ,先把他转换为表

? we jπ / 2 ? jw = ? = jw, w ∈ (?2,2) ,如果没有 w ∈ (?2,2) ,则时域非常容易 达式 X ( jw) = ? ? jπ / 2 ? jw ?? we
得 到 , 用 一 个 门 函 数

G ( jw)





X ( jw) = jwG ( jw)



x(t ) =

d d sin 2t 2t cos(2t ) ? sin(2t ) g (t ) = = 。这题也可以直接用基本公式去求,稍微 dt dt πt πt 2

复杂一点。 (2)看到要求的表达式,想到用频域 w = 0 去求。尺度变换得到 Y ( jw) ,频域做卷积

1 1 1 Y ( jw) ? π (δ (t + ) + δ (t ? )) , 通过图形得到 w = 0 时为 1。 笔记上用的是奇偶虚实的 2π 2 2
性质,难易度差不多,感觉要难想到一点。 2009-6:已知离散时间 LTI 系统(1)若在 3 ≤ n ≤ 7 区间外 x[ n] = 0 ,则在 n < 3, n > 9 区间 ( ( 一 定 有 y[ n] = 0 ; 2 ) 若 x[ n] = ( ?1) n , 则 y[ n] = 0 ; 3 ) 单 位 阶 跃 响 应 s[n] 有 :

s[1] = 3, s[7] = 4
(1)计算 h[n] ,并画图; (2)画系统方框图; (3)若 H (e jw ) = H (e jw ) e jθ ( w) ,求 H (e jw ) , θ ( w) 思路: 1) ( 根据条件 1, 通过画图, 得到 h[n] 从 0 到 2。 根据条件 2, 得到 h[0] ? h[1] + h[ 2] = 0 。 根据条件 3,得到 h[0] + h[1] = 3, h[0] + h[1] + h[ 2] = 4 ,所以 h[0] = 1, h[1] = 2, h[ 2] = 1 。 (2) H ( z ) = 1 + 2 z ?1 + z ?2 ,图略。 (3) H ( z ) = 1 + 2e ? jw + e ? j 2 w = e ? jw (e jw / 2 + e ? jw / 2 ) 2 = 4 cos 2 ( w / 2)e ? jw 第一问是这道题特别的地方,后面都已讲过了。 2010-8:已知 X ( s ) =

1 , Re{s} > 0 s (e + e ? s )
s

(1)求 x (t ) 并画图; (2)若 h(t ) = u (t ) ? u (t ? 2) ,画出 y (t ) = x (t ) ? h(t ) 的图。

思路: (1)看到因子 e ,能想到的变换对只有一个,

?s

∑ δ (t ? nT ) ? 1 ? e
0



1
? sT

,因此进行

变换 X ( s ) =
+ ∞ +∞

1 e?s 1 e ? s 1 ? e ?2 s ,通过移位、积分的性质可以得到 = = s (e s + e ? s ) s 1 + e ?2 s s 1 ? e ?4 s
+∞ +∞

到这一 x(t ) = ∫ (∑ δ (t ? 1 ? 4n) ? ∑ δ (t ? 3 ? 4n))ds = ∑ (u (t ? 1 ? 4n) ? u (t ? 3 ? 4n)) ,
?∞ n =0 n=0 n=0 +∞

步,就可以很容易地得到图形,同时还可以进一步化简为

∑ (?1) u (t ? 1 ? 2n) 。我在做这
n n =0

一题时没有想到

+∞ 1 也有与其对应的变换 ∑ ( ?1) n δ (t ? 2n) ,而是严格的套用公式,还 1 + e ?2 s n =0

是能够得到正确结果。 (2)图形都很简单,因此直接用图形求积分,题上不要求 h(t ) 的表达式,因此没必 要写出。 2010-10:已知 φ xx [ n] =

k = ?∞

∑ x[k ]x[k + n]

+∞

(1)求 Φ xx (z ) 与 X (z ) 的关系; (2)证明 φ xx [n] 最大值为 φ xx [0] ; (3)若 x[ n] = ( ) u[ n] ,求 Φ xx (e ) 表达式以及 φ xx [1] 。
n
jw

1 2

思路: (1)形式像卷积,但差个负号,因此做变换 相当于 x[ ? n] ? x[ n] ,因此 Φ xx ( z ) = X ( z ) X ( z ) 。
?1

k = ?∞

∑ x[k ]x[k + n] =

+∞

k = ?∞

∑ x[?k ]x[n ? k ] ,

+∞

(2)完全是个数学问题。几乎没有任何已知条件,我们需要构造一个显然成立的不等 式,往往考虑“平方>0”的形式,结合本题,考虑
+∞

k = ?∞

∑ ( x[k ] ? x[k + n])

+∞

2

> 0 ,展开后得到

k = ?∞

∑ ( x [k ] + x [k + n] ? 2 x[k ]x[k + n]) = 2φ
2 2

xx

(0) ? 2φ xx (n) > 0 ,得证。 1 1 ?1 1? z / 2 1? z / 2

(3) 时域卷积明显不好算, 用频域, 用到第一问的结论, Φ xx ( z ) = 则

=

1 1 1 ,因此 Φ xx (e jw ) = 。由于 Z 变 = ? jw jw 5/ 4? z / 2? z / 2 5 / 4 ? 1 / 2(e + e ) 5 / 4 ? cos( w)
?1

换 反 变 换 不 要 求 , 不 可 能 通 过 频 域 来 求 φ xx [1] , 因 此 直 接 用 时 域 求 , 因 此 有

φ xx [1] =

+∞ 1 1 1 2 ( ) k u[k ]( ) k +1 u[k + 1] = ∑ ( ) 2 k +1 = ∑ 2 2 3 k = ?∞ k =0 2

+∞

第三次课: 第三次课:
题型 1:证明题。 2008-4:设 y (t ) = x (t ) ? h(t ) ,且 S y = (1)试证明: S y = S x × S h ; (2)设 x (t ) =
+∞ +∞ +∞



?∞

y (t )dt , S x = ∫ x(t )dt , S h = ∫ h(t )dt 。
?∞ ?∞

sin(πt ) , h(t ) = (2 ? t )[u (t + 1) ? u (t ? 1)] ,计算 S y 的值。 t

思路: (1)令他们的 FT 为 X ( jw), Y ( jw), H ( jw) ,则有 Y ( jw) = X ( jw) H ( jw) ,同时, 看到没有平方的一个简单积分如



+∞

?∞

x(t )dt 的形式,应该立即想到想到 X ( j 0) ,因此我们得

到 X ( j 0) = S x , Y ( j 0) = S y , H ( j 0) = S h ,所以 Y ( j 0) = X ( j 0) H ( j 0) ,所以 S y = S x × S h 。 注:笔记上用基本公式求,显然比较复杂。 (2)用到上一问的结论,由于 S x = X ( j 0) = π ,

S h = ∫ (2 ? t )[u (t + 1) ? u (t ? 1)]dt = 2 ∫ (2 ? t )dt = 3
?∞ 0

+∞

1

所以 S y = S x × S h = 3π 注:证明题中,后面的小问最容易用到前面的结论,使得解答过程变得很简单。否则, 以此题为例,若想先求出 Y ( jw) ,再利用 S y = Y ( j 0) 来解,求 H ( jw) 的步骤会比较复杂。 题型 2:关于系统。 2007-5:已知系统如图。

sin(πt ) 时,求 y (t ) ; t 3 x(t ) = 1 + cos( πt ) + sin(3πt ) (2)当 ,求 y (t ) 并画粗略图形。 2
(1)当 x(t ) = 思路: (1)此题唯一需要注意的就是系统的相位问题,在明白这一点的前提下,先求出
?j w 2
?j w 2

Y ( jw) = X ( jw) H ( jw) e j∠H ( jw) = πe
y (t ) =

, w ∈ (?π , π ) ,e

相当于时域右移

1 ,因此得到 2

sin(π (t ? 1 / 2)) t ?1/ 2

(2) X ( jw) = 2πδ ( w) + π [δ (t ?

3 3 πt ) + δ (t + πt )] + ?? ,由于 sin(3πt ) 得部分在 2 2
?j j 3 3 πt )e 2 + δ (t + πt )e 2 ] , 2 2

门限以外,所以可以忽略。因此 Y ( jw) = 2πδ ( w) + π [δ (t ? 化简 Y ( jw) = 2πδ ( w) + π [ ? jδ (t ? 2008-9:系统如图。 (1)求单位阶跃响应 s (t ) ,并画图。

π

π

3 3 3 πt ) + jδ (t + πt )] ? 1 + sin( πt ) 2 2 2

(2)若输入 x (t ) = u (t ) ? u (t ? 2T ) ,画出 y (t ) 的波形。 (3)若 y (t ) = u (t ) ? 2

∑ (?1)
n =1



n

u (t ? nT ) ,求输入因果信号 x(t ) 。

思路: (1)直接把 u (t ) 代入系统,则 f (t ) = u (t ) ? u (t ? T ) ,为一方波,积分后明显要分段,

1 s (t ) = T



t

?∞

? 0, t < 0 ? f (τ )dτ = ? t , 0 ≤ t < T ,图略。 ?T , t ≥ T ?

(2)由线性, y (t ) = s (t ) ? s (t ? 2T ) ,不用求表达式,直接画图。 (3)需要求到系统单位冲击响应,输入 δ (t ) ,得到 h(t ) =

1 [u (t ) ? u (t ? T )] ,所以 T

H ( s) =

1 1 ? e ? sT (1 ? e ? sT ) ,同时求出 Y ( s ) = (1 ? 2 ) ,所以得到 Ts s 1 + e ? sT

e ? sT 1+ 2 ? sT +∞ Y (s) 1 + e ? sT = T 1 + 3e ← T [δ (t ? 2nT ) + δ (t ? 2nT ? T )] ,其 X ( s) = =T ?→ ∑ X ( s) 1 ? e ? sT 1 ? e ? s 2T n=0
中用到了条件“输入因果信号” 。 注 1:开始做第(3)问时也考虑过直接用时域,但是发现 f (t ) 得到以后,由于其波形 并不特殊, x(t ) ? x(t ? T ) = f (t ) , x(t ) 并不好求,观察法既不容易看出结果,也不够严谨, 所以才考虑用频域。 注 2:第(3)问结果与笔记不同,笔记上的解答似乎看错一个正负号,其结果对应于

y (t ) = u (t ) + 2∑ (?1) n u (t ? nT ) ,同学们可以下来仔细看看。
n =1



题型 3:画图题。 2008-7:已知条件如图

(1)画出 r (t ) 的频谱 R (w) 。并求 w(t ) 表达式。 (2)画出 g (t ) 的频谱 G ( jw) 。 (3)设计理想低通滤波器 H 3 ( w) ,使 y (t ) = x(t ) 。给出 H 3 ( w) 的图形和截止频率 的可选范围。 思路:按照系统由输入到输出的顺序,依次画图,由于题中用到 sin ,注意符号的问题。 题型 4:电路。 2006-6:LTI 电路如图 (1)求 H ( s ) ,如何选择 R、L、C 的关系才能使阶跃响应不产生振荡信号? (2)若 R=2,L=1,C=1,求单位冲击响应。 (3)求阶跃响应 s (t ) 的初值 s (0 + ) 和终值 s (∞) 。 思路: (1)画出频域图,根据串联分压, H ( s ) =

1 / Cs 1 = 。要使 R + Ls + 1 / Cs 1 + CRs + CLs 2

阶跃响应不产生振荡信号,则极点为实数(我也没管为什么,当时就这样记了) 。容易得到

C 2 R 2 ? 4CL ≥ 0 ? R 2 ≥
(2) H ( s ) =

4L 。 C

1 1 ,实际的系统肯定是因果系统,这相当于一个隐藏 = 2 1 + 2s + s (1 + s ) 2

的条件。

1 1 ? e ?t u (t ) ? ? ? ?te ?t u (t ) , h(t ) = te ? t u (t ) 。 2 1+ s (1 + s ) 1 1 ,s (0 + ) = lim( s × )=0, 2 s →∞ s (1 + s ) s (1 + s ) 2

(3)根据初值终值定理,需要得到 S ( s ) =

s (∞) = lim( s ×
s →0

1 ) =1 s (1 + s ) 2

题型 5:微分、差分方程,零极点,收敛域,方框图相关问题。 2008-8:已知双边信号 x (t ) ←?→ X ( s ), Re[ s ] : (α , β ) , X (s ) 为有理分式并仅有两个极点
LT

和一个零点,分布如图,且 X (0) = 1 。 (1)求 x (t ) 的表达式。 (2)若另一因果信号 g (t ) , G ( jw) = X ( jw) ,画出 G (s ) 的零、极点图,求 g (t ) 。 思路: (1)由条件 X ( s ) =

a ( s ? b) ,根据图与 X (0) = 1 ,得到 ( s ? c)( s ? d )

X ( s) = ?

1 ?2t 5 t ( s + 4) 1/ 3 ? 5 / 6 根据收敛域,得 x (t ) = e u (t ) + e u ( ?t ) 。 = + 3 6 2( s + 2)( s ? 1) s + 2 s ? 1

注 1:答案与笔记不同。 (2)根据性质,因果信号—>右边信号,有频谱说明包含 jw 轴。考虑前面用到过的

w2 + b 2 a ( s ? b) , X ( jw) = a ,可以看出在零、极点以及 式子 X ( s ) = ( w2 + c 2 )( w 2 + d 2 ) ( s ? c)( s ? d )
幅度 a 绝对值相等时,频谱幅度相等。所以 G ( s ) = ± 注 2:笔记上采用全通函数 A( s ) = 注 3:笔记上的答案只有 G ( s ) = ±

( s ± 4) ,再求反变换。 2( s + 2)( s + 1)

s ?1 , Re[ s ] : (?1, ∞) , G ( s ) = X ( s ) A( s ) s +1

( s + 4) ,并且注明只有这种情况才给分。但是若 2( s + 2)( s + 1)

给出全通函数 A( s ) =

( s ? 1)( s ? 4) , Re[ s ] : (?1, ∞) ,就可以得到另外一种结果。 ( s + 1)( s + 4)

2008-10:已知因果离散序列 x[ n] = [

1 7 j ∑e 8 l =0

2π nl 8

]u[n]

(1)求 x[n] 的 Z 变换 X (z ) ,画出收敛域,零极点图。 (2)将 x[n] 输入差分方程如下的因果系统: y[ n] + 0.5 y[ n ? 1] = x[ n] ,计算系统零 状态响应在 n = 10 处的数值。 思路: (1)我们记的常用变换对只有 a n u[n] ,其他的都是直接用基本公式求。看到题中的
2π nl 8

1 表达式,需要先化简: ∑ e 8 l =0
得到 x[ n] =
+∞

7

j

?1, n = 8r + ∞ 1 1? e = =? = ∑ δ [n ? 8r ] 。由此,我们 2π j n 8 ?0, n ≠ 8r r = ?∞ 8 1? e
+∞ +∞ ?n

j

2π n×8 8

∑ δ [n ? 8r ] 。 X ( z) = ∑∑ δ [n ? 8r ]z
r =0 n = 0 r =0

= ∑ z ?8 r =
r =0

+∞

1 。 1 ? z ?8

零点: z ?8 无穷大,则 z = 0 ,注意是 8 阶的; 极点: z 8 = 1 , z = 1 ,所以 z k = e
+∞
j 2π k 8

, k = 0,1,? 7 图略。
+∞

注 1:我们往往习惯于

∑ δ (t ? nT ) 的形式,即连续的形式,遇到离散 ∑ δ [n ? rT ] 往往做
n =0 r =0

起来会觉得比较别扭,应该要通过练习来习惯。

注 2:

LT ∑ δ (t ? nT ) ←?→ n =0

+∞

+∞ 1 1 ZT , ∑ δ [ n ? rT ] ←?→ ,一般从左向右大家会 ? sT 1? e 1 ? z ?T r =0

觉得很简单,并且根本不需要记。而由于 LT 和 ZT 反变换基本式是不要求的,所以在做反 向运算的时候,没有记住这个公式会比较恼火,这里建议还是背下来。 (2) H ( z ) =
+∞ 1 , h[ n] = ( ?0.5) n u[ n] ,零状态响应 y[ n] = ∑ x[ m]h[ n ? m] , 1 + 0.5 z ?1 m =0 10 2

所以 y[10] = ( ?0.5) + ( ?0.5) = 题型 6:计算。

1 1 257 + 2 = 。 10 2 2 1024
?w

2008-5:已知实偶信号 f (t ) ←?→ F ( w) = e
FT



(1)计算 f (t ) 的能量。 (2)令 y (t ) = (3)令 g (t ) =

d f (t ) ,求 y (t ) 表达式,画出频谱相位图。 dt

n = ?∞

∑ f (t ? 2πn) ,计算 g (0) 。

+∞ ?∞

+∞

思路: (1)算能量用能量公式:
?t

f 2 (t )dt =

1 +∞ 1 2 ∫?∞ F (w) dw = π 2π



+∞

0

e ? 2 w dw =

1 2π

(2)由 e

FT ←?→

2 1 2 ? 2t ?w FT ,得到 ←?→ e , y (t ) = 。 2 2 1+ w 2π 1 + t π (1 + t 2 ) 2

d π ?w FT f (t ) ←?→ jwF ( w) = jwe , 因此相位只有两个值, w > 0 时, 当 相位为 , w < 0 当 dt 2
时,相位为 ?

π

2

,图略。

(3)由 g (t ) =

n = ?∞
+∞



+∞

f (t ? 2πn) = f (t ) ?

n = ?∞

FT ∑ δ (t ? 2πn) ←?→ F ( w) ∑ δ ( w ? n) n = ?∞

+∞

+∞

g ( 0) =

1 2π



+∞

?∞

G ( jw)dw =

1 2π



+∞ ? w

?∞

e

n = ?∞ +∞

∑ δ ( w ? n)dw =
1

1 2π
+∞

n = ?∞

∑e

+∞

?n

=

1 1 + e ?1 。若不用 2π 1 ? e ?1
,不好算。

此方法,直接进行计算,则有 g (0) =

n = ?∞

∑ f (2πn) = 2π ∑ 1 + (2πn)
n = ?∞

2

2

2007-8:某连续时间稳定实系统单位冲击响应 h(t ) 满足如下条件: (a) h(t ) 为偶函数; (b) H (s ) 有四个极点,没有零点;

(c) H (s ) 的一个极点在 s1 = (d)

1 j4 e 2

π



+∞

?∞

h(t )dt = 4 。

试求 H (s ) ,并说明该系统是哪一类滤波器。 思路: 由于我们所熟悉的奇偶虚实性质都是对于 FT 而非 LT, 所以可以自己推导 LT 的性质。 首先, h(t ) 为实,则有 H ( s ) = H ( s ) 。
* *

根据条件(a) H ( s ) = H ( ? s ) , 根据条件(b) ,有 H ( s ) =

A 。 ( s ? s1 )( s ? s2 )( s ? s3 )( s ? s4 )
π

根据条件(c) ,有 s1 =

1 j4 e 。 2

根据以上条件,已经可以确定四个极点的值,由于

H * ( s* ) =

π A 1 ?j * = H ( s ) , s2 = s1 = e 4 也是系统的极点。再由 * * * * ( s ? s1 )( s ? s2 )( s ? s3 )( s ? s4 ) 2 π π

1 j 1 ?j H ( s ) = H (? s ) ,得到 s3 = ? e 4 , s4 = ? e 4 也是极点。 2 2
最后,根据条件(d) ,



+∞

?∞

h(t )dt = H (0) = 16 A = 4 , A =
1 ,低通。 4( w + 1 / 16)
4

1 。 4

为了得到滤波器类型,求出 H ( jw) = 注 1:结果与笔记不同。 总结: 1.求能量:



+∞

?∞

x 2 (t )dt ,几乎是必用能量公式,甚至用两次。用了之后会发现积分非常容易
+∞

得到。如 2010-9,2009-5 2.求积分: 过



+∞

?∞

x(t )dt ,复杂一点可能是 ∫ x(t ) cos(t )dt 。也不会让大家直接求,一般是通
?∞



+∞

?∞

x(t )dt = X ( j 0) 这种变换来求 (当然也可能有其他方法, 但是推荐此方法) 如 2010-5。 ,

反之,求 x (0), X ( j 0) 也应懂得变换,而不是直接算。 3.求幅度, 相位,H ( jw) e
jθ ( w )

。 一般 H ( jw) 形式都比较特殊, 如实数、 纯虚、 + 2e 1

jw

+ e j 2w 。

若 H ( jw) 很 复 杂 , 往 往 只 要 求 H ( jw) 而 不 要 求 相 位 , 直 接 用 定 义 求 即 可 。 如

2010-6,2009-5,2009-8 4.已知微分、差分方程、电路图,求 H ( s ), H ( z ) ,并画方框图、零极点图、收敛域。此类 题非常死板,记住方法即可。如 2010-9 5.已知 x (t ), p (t ) ,求一个中间信号 r (t ) = x (t ) p (t ) ,并且往往是求频谱并画图。这种问题中

p (t ) 只可能是 cos( w0t ), sin( w0t ),

n = ?∞

∑ δ (t ? nT ) ,偶尔也可能是 e

+∞

jw0t

。这些都是对频域的移

位,应重点把握,注意移位后幅度,对于 sin( w0t ) 时尤其注意。比较难的情况在于移位的幅 度小于 X ( jw) 的宽度,这种时候要画清楚坐标,以免出错。如 2010-4,2009-7 。由于离散图形比较直观,最好结合图 6.根据已知条件求离散信号 x[n] (或信道冲击响应) 形来分析。如 2009-6 7.证明题第一问, 几乎都和卷积有关, 所以往往需要灵活变换时域与频域; 证明题的第二问, 几乎必用第一问结论,而且不用就会很难做。 8.方波(低通滤波器) 。无论时域还是频域,方波出现在哪边就通过哪边进行计算。 9.反 变换 时, LT 常 出现 ,因 此以 LT 为 例: s → 求 导;

1 → 积 分 ; e ? st0 → 移 位; s

+∞ 1 ? 1 → e ? at u (t ) ; 2 → cos w0t , sin w0t ; → ∑ δ (t ? nT ) 。不仅如此,我 2 a+s s + w0 1 ? e ? sT n=0

们还需要知道如

1 。总之,通过拆分、积分、求导、移位和已知变换对灵活解题。 (a + s) 2

10.所有知识都应该牢记并能推导,仔细做题。


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