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山东省烟台市2013年中考数学试题(word版


山东省烟台市 2013 年中考数学试卷 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1. 分) (3 (2013?烟台)﹣6 的倒数是( ) A. 1 B. 1 C.6 ﹣ 6 6

D. ﹣6

考点: 倒数. 分析: 根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数解答. 解答: 解:∵(﹣6)×(﹣)=1, 1 ∴﹣6 的倒数是﹣ . 6 故选 B. 点评: 本题考查了倒数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键. 2. 分) (3 (2013?烟台)以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对 称图形的是( ) A. B. C. D.

考点: 中心对称图形. 分析: 根据中心对称图形的定义,结合选项所给图形进行判断即可. 解答: 解:A、不是中心对称图形,故本选项错误; B、是中心对称图形,故本选项正确; C、不是中心对称图形,故本选项错误; D、不是中心对称图形,故本选项错误; 故选 B. 点评: 此题主要考查了中心对称图形的概念, 中心对称图形是要寻找对称中心, 旋转 180 度后与原图重合. 3. 分) (3 (2013?烟台)“厉行勤俭节约,反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示, 中国每年浪费食物总量折合粮食大约是 210000000 人一年的口粮. 210000000 用科学 将 记数法表示为( ) A.2.1×109 B.0.21×109 C.2.1×108 D.21×107 考点: 科学记数法—表示较大的数. 分析: 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式, 其中 1≤|a|<10, 为整数. n 确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解答: 解:将 210000000 用科学记数法表示为:2.1×108. 故选:C. 点评: 此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其 中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

4. 分) (3 (2013?烟台)下列水平放置的几何体中,俯视图不是圆的是( A. B. C. D.



考点: 简单几何体的三视图. 分析: 俯视图是从上往下看得到的视图,分别判断出各选项的俯视图即可得出答案. 解答: 解:A、俯视图是一个圆,故本选项错误; B、俯视图是一个圆,故本选项错误; C、俯视图是一个正方形,不是圆,故本选项正确; D、俯视图是一个圆,故本选项错误; 故选 C. 点评: 本题考查了俯视图的知识,注意俯视图是从上往下看得到的视图. 5. 分) (3 (2013?烟台)下列各运算中,正确的是( ) 4 2 3 2 3 2 6 A.3a+2a=5a B.(﹣3a ) =9a C.a ÷a =a

D.(a+2)2=a2+4

考点: 同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式. 分析: 根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则,分别 进行各选项的判断即可. 解答: 解:A、3a+2a=5a,原式计算错误,故本选项错误; B、 (﹣3a3)2=9a6,原式计算正确,故本选项正确; C、a4÷a2=a2,原式计算错误,故本选项错误; D、 (a+2)2=a2+2a+4,原式计算错误,故本选项错误; 故选 B. 点评: 本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方,解答本题的关键是熟练掌握 各部分的运算法则. 6. 分) (3 (2012?青岛)如图,将四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个 单位,那么点 A 的对应点 A′的坐标是( )

A.(6,1)

B.(0,1)

C.(0,﹣3)

D.(6,﹣3)

考点: 坐标与图形变化-平移. 专题: 推理填空题.

分析: 由于将四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,则点 A 也先向 左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,据此即可得到点 A′的坐标. 解答: 解:∵四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位, ∴点 A 也先向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,[来源:Zxxk.Com] ∴由图可知,A′坐标为(0,1) . 故选 B. 点评: 本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移,本题本题考查了坐标系中点、线段的平 移规律,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点 的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减. 7. 分) (3 (2013?烟台)一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为 720°, 那么原多边形的边数为( ) A.5 B.5 或 6 C.5 或 7 D.5 或 6 或 7 考点: 多边形内角与外角. 分析: 首先求得内角和为 720°的多边形的边数,即可确定原多边形的边数. 解答: 解:设内角和为 720°的多边形的边数是 n,则(n﹣2)?180=720, 解得:n=6. 则原多边形的边数为 5 或 6 或 7. 故选 D. 点评: 本题考查了多边形的内角和定理,理解分三种情况是关键. [来源:Z§xx§k.Com] 8. 分) (3 (2013?烟台)将正方形图 1 作如下操作:第 1 次:分别连接各边中点如图 2, 得到 5 个正方形;第 2 次:将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3,得到 9 个正 方形…, 以此类推, 根据以上操作, 若要得到 2013 个正方形, 则需要操作的次数是 ( )

A.502

B.503

C.504

D.505

考点: 规律型:图形的变化类. 分析: 根据正方形的个数 变化得出第 n 次得到 2013 个正方形, 4n+1=2013, 则 求出即可. 解答: 解:∵第 1 次:分别连接各边中点如图 2,得到 4+1=5 个正方形; 第 2 次: 将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3, 得到 4×2+1=9 个正方形…, 以此类推,根据以上操作,若第 n 次得到 2013 个正方形,则 4n+1=2013, 解得:n=503. 故选:B. 点评: 此题主要考查了图形的变化类, 根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键.

9. 分) (3 (2013?烟台)已知实数 a,b 分别满足 a2﹣6a+4=0,b2﹣6b+4=0,且 a≠b,则 的值是( A.7 ) B.﹣7 C.11 D.﹣11

考点: 根与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 根据已知两等式得到 a 与 b 为方程 x2﹣6x+4=0 的两根, 利用根与系数的关系求出 a+b 与 ab 的值,所求式子通分 并利用同分母分式的加法法则计算,再利用完全平 方公式变形,将 a+b 与 ab 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:根据题意得:a 与 b 为方程 x2﹣6x+4=0 的两根, ∴a+b=6,ab=4, 则原式= = =7.

故选 A 点评: 此题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握根与系数的关系是解本题的 关键. 10. 分) (3 (2013?烟台)如图,已知⊙O1 的半径为 1cm,⊙O2 的半径为 2cm,将⊙O1, ⊙O2 放置在直线 l 上,如果⊙O1 在直线 l 上任意滚动,那么圆心距 O1O2 的长不可能是 ( )

A.6cm

B.3cm

C.2cm

D.0.5cm

考点: 圆与圆的位置关系. 分析: 根据在滚动的过程中两圆的位置关系可以确定圆心距的关系. 解答: 解:∵⊙O1 的半径为 1cm,⊙O2 的半径为 2cm, ∴当两圆内切时,圆心距为 1, ∵⊙O1 在直线 l 上任意滚动, ∴两圆不可能内含, ∴圆心距不能小于 1, 故选 D. 点评: 本题考查了两圆的位置关系,本题中两圆不可能内含. 11. 分) (3 (2013?烟台)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为 x=﹣ 1,且过点(﹣3,0) .下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5, y1)(,y2)是抛物线上两点,则 , y1>y2.其中说法正确的是( )

A.①②

B.②③

C.①②④

D.②③④

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 根据图象得出 a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①②;把 x=2 代入抛物线的解析 式即可判断③,求出点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1) ,根据 当 x>﹣1 时,y 随 x 的增大而增大即可判断④. 解答: 解:∵二次函数的图象的开口向上, ∴a>0, ∵二次函数的图象 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上, ∴c<0, ∵二次函数图象的对称轴是直线 x=﹣1, ∴﹣ =﹣1,

∴b=2a>0, ∴abc<0,∴①正确; 2a﹣b=2a﹣2a=0,∴②正确; ∵二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为 x=﹣1,且过点(﹣3,0) . ∴与 x 轴的另一个交点的坐标是(1,0) , 2 ∴把 x=2 代入 y=ax +bx+c 得:y=4a+2b+c>0,∴③错误; ∵二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴为 x=﹣1, ∴点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1) , 根据当 x>﹣1 时,y 随 x 的增大而增大, ∵<3, ∴y2<y1,∴④正确; 故选 C. 点评: 本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生 的理解能力和辨析能力. 12. 分) (3 (2013?烟台)如图 1,E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点,点 P 从点 B 沿折线 BE﹣ED﹣DC 运动到点 C 时停止,点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止,它们运动的 速度都是 1cm/s. P, 同时开始运动, 若 Q 设运动时间为 (s) △ BPQ 的面积为 y cm2) 已 t , ( . 知 y 与 t 的函数图象如图 2,则下列结论错误的是( )

A.AE=6cm C. 当 0<t≤10 时,y=t2

B. sin∠EBC= D.当 t=12s 时,△ PBQ 是等腰三角形

考点: 动点问题的函数图象. 分析: 由图 2 可知,在点(10,40)至点(14,40)区间,△ BPQ 的面积不变,因此可 推论 BC=BE,由此分析动点 P 的运动过程如下: (1)在 BE 段,BP=BQ;持续时间 10s,则 BE=BC=10;y 是 t 的二次函数; (2)在 ED 段,y=40 是定值,持续时间 4s,则 ED=4; (3)在 DC 段,y 持续减小直至为 0,y 是 t 的一次函数. 解答: (1)结论 A 正确.理由如下: 解: 分析函数图象可知,BC=10cm, ED=4cm,故 AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm; (2)结论 B 正确.理由如下: 如答图 1 所示,连接 EC,过点 E 作 EF⊥BC 于点 F, 由函数图象可知,BC=BE=10cm,S△ BEC=40=BC?EF=×10×EF,∴EF=8, 4 ∴sin∠EBC= = = ; 5 (3)结论 C 正确.理由如下: 如答图 2 所示,过点 P 作 PG⊥BQ 于点 G, ∵BQ=BP=t, ∴y=S△ BPQ=BQ?PG=BQ?BP?sin∠EBC=t?t?=t2. (4)结论 D 错误.理由如下: 当 t=12s 时,点 Q 与点 C 重合,点 P 运动到 ED 的中点,设为 N,如答图 3 所示, 连接 NB,NC. 此时 AN=8,ND=2,由勾股定理求得:NB= ,NC= , ∵BC=10, ∴△BCN 不是等腰三角形,即此时△ PBQ 不是等腰三角形.

点评: 本题考查动点问题的函数图象,需要结合几何图形与函数图象,认真分析动点的 运动过程.突破点在于正确判断出 BC=BE=10cm. 二、填空题(本题共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分) 13. 分) (3 (2013?烟台)分解因式:a2b﹣4b3= b(a+2b) (a﹣2b)



考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 分析: 先提取公因式 b,再根据平方差公式进行二次分解.平方差公式:a2﹣b2=(a+b) (a﹣b) . 2 解答: 解:a b﹣4b3=b(a2﹣4b2) =b(a+2b) (a﹣2b) . 故答案为 b(a+2b) (a﹣2b) . 点评: 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二 次分解,注意分解要彻底.

14. 分) (3 (2013?烟台)不等式

的最小整数解是

x=3



考点: 一元一次不等式组的整数解. 分析: 先求出一元一次不等式组的解集,再根据 x 是整数得出最小整数解.

解答: 解:



解不等式①,得 x≥1, 解不等式②,得 x>2, 所以不等式组的解集为 x>2, 所以最小整数解为 3. 故答案为:x=3. 点评: 此题考查的是一元一次不等式组的整数解,正确解出不等式组的解集是解决本题 的关键.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大 大小中间找,大大小小解不了. 15. 分) (3 (2013?烟台)如图,四边形 ABCD 是等腰梯形,∠ABC=60°,若其四边满 足长度的众数为 5,平均数为 ,上、下底之比为 1:2,则 BD= .

考点: 等腰梯形的性质;算术平均数;众数. 分析: 设梯形的四边长为 5,5,x,2x,根据平均数求出四边长,求出△ BDC 是直角三 角形,根据勾股定理求出即可. 解答: 解:设梯形的四边长为 5, 5,x,2x, 则 = ,

x=5, 则 AB=CD=5,AD=5,BC=10, ∵AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB, ∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC, ∴∠ABD=∠DBC, ∵∠ABC=60°, ∴∠DBC=30°, ∵等腰梯形 ABCD,AB=DC, ∴∠C=∠ABC=60°, ∴∠BDC=90°, ∴在 Rt△ BDC 中,由勾股定理得:BD= =5 ,

故答案为:5 . 点评: 本题考查了梯形性质,平行线性质,勾股定理,三角形内角和定理,等腰三角形 的性质等知识点的应用,关键是求出 BC、DC 长和得出三角形 DCB 是等腰三角

形. 16. 分) (3 (2013?烟台)如图,?ABCD 的周长为 36,对角线 AC,BD 相交于点 O.点 E 是 CD 的中点,BD=12,则△ DOE 的周长为 15 .

考点: 三角形中位线定理;平行四边形的性质. 分析: 根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得,OB=OD,又因为 E 点是 CD 的中点,可得 OE 是△ BCD 的中位线,可得 OE=BC,所以易求△ DOE 的周长. 解答: 解:∵?ABCD 的周长为 36, ∴2(BC+CD)=36,则 BC+CD=18. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 相交于点 O,BD=12, ∴OD=OB=BD=6. 又∵点 E 是 CD 的中点, ∴OE 是△ BCD 的中位线,DE=CD, ∴OE=BC, ∴△DOE 的周长=OD+OE+DE=BD+(BC+CD)=6+9=15,即△ DOE 的周长为 15. 故答案是:15.

点评: 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质.解题时,利用了“平行四边形 对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质. 17. 分) (3 (2013?烟台)如图,△ ABC 中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC 的平分线与 AB 的垂 直平分线交于点 O,将∠C 沿 EF(E 在 BC 上,F 在 AC 上)折叠,点 C 与点 O 恰好重合,则∠OEC 为 108 度.

考点: 线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;翻折变换(折叠问题) . 分析: 连接 OB、OC,根据角平分线的定义求出∠BAO,根据等腰三角形两底角相等求 出∠ABC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 OA=OB,

根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO,再求出∠OBC,然后判断出点 O 是△ ABC 的外心,根据三角形外心的性质可得 OB=OC,再根据等边对等角求出 ∠OCB=∠OBC, 根据翻折的性质可得 OE=CE, 然后根据等边对等角求出∠COE, 再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解. 解答: 解:如图,连接 OB、OC, ∵∠BAC=54°,AO 为∠BAC 的平分线, ∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°, 又∵AB=AC, ∴∠ABC=(180°﹣∠BAC)=(180°﹣54°)=63°, ∵DO 是 AB 的垂直平分线, ∴OA=OB, ∴∠ABO=∠BAO=27°, ∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°, ∵DO 是 AB 的垂直平分线,AO 为∠BAC 的平分线, ∴点 O 是△ ABC 的外心, ∴OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC=36°, ∵将∠C 沿 EF(E 在 BC 上,F 在 AC 上)折叠,点 C 与点 O 恰好重合, ∴OE=CE, ∴∠COE=∠OCB=36°, 在△ OCE 中,∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°. 故答案为:108.

点评: 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等腰三角形 三线合一的性质,等边对等角的性质,以及翻折变换的性质,综合性较强,难度 较大,作辅助线,构造出等腰三角形是解题的关键. 18. 分) (3 (2013?烟台) 如图, 正方形 ABCD 的边长为 4, E 在 BC 上, 点 四边形 EFGB 也是正方形,以 B 为圆心,BA 长为半径画 4π . ,连结 AF,CF,则图中阴影部分面积为

考点: 正方形的性质;整式的混合运算. 分析: 设正方形 EFGB 的边长为 a, 表示出 CE、 然后根据阴影部分的面积=S 扇形 ABC+S AG, 正方形 EFGB+S△ CEF﹣S△ AGF,列式计算即可得解. 解答: 解:设正方形 EFGB 的边长为 a,则 CE=4﹣a,AG=4+a, 阴影部分的面积=S 扇形 ABC+S 正方形 EFGB+S△ CEF﹣S△ AGF = +a2+a(4﹣a)﹣a(4+a)

=4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2 =4π. 故答案为:4π. 点评: 本题考查了正方形的性质,整式的混合运算,扇形的面积计算,引入小正方形的 边长这一中间量是解题的关键. 三、解答题(本大题共 8 个小题,满分 46 分) 19. 分) (6 (2013?烟台)先化简,再求值: x2+x﹣2=0. 考点: 分式的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出 x 的值,把 x 的值代入进行 计算即可. 解答: 解:原式= ? ,其中 x 满足

= =

? ,

由 x2+x﹣2=0,解得 x1=﹣2,x2=1, ∵x≠1, ∴当 x=﹣2 时,原式= =.

点评: 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 20. 分) (6 (2013?烟台)如图,一艘海上巡逻船在 A 地巡航,这时接到 B 地海上指挥 中心紧急通知:在指挥中心北偏西 60°方向的 C 地,有一艘渔船遇险,要求马上前去救 援.此时 C 地位于北偏西 30°方向上,A 地位于 B 地北偏西 75°方向上,A、B 两地之间 的距离为 12 海里.求 A、C 两地之间的距离(参考数据: ≈1.41, ≈1.73, ≈2.45, 结果精确到 0.1)

考点: 解直角三角形的应用-方向角问题. 分析: 过点 B 作 BD⊥CA 交 CA 延长线于点 D, 根据题意可得∠ACB 和∠ABC 的度数, 然后根据三角形外角定理求出∠DAB 的度数,已知 AB=12 海里,可求出 BD、 AD 的长度,在 Rt△ CBD 中,解直角三角形求出 CD 的长度,继而可求出 A、C 之间的距离. 解答: 解:过点 B 作 BD⊥CA 交 CA 延长线于点 D, 由题意得,∠ACB=60°﹣30°=30°, ∠ABC=75°﹣60°=15°, ∴∠DAB=∠DBA=45°, 在 Rt△ ABD 中,AB=12,∠DAB=45°, ∴BD=AD=ABcos45°=6 , 在 Rt△ CBD 中,CD= =6 ,

∴AC=6 ﹣6 ≈6.2(海里) . 答:A、C 两地之间的距离为 6.2 海里.

点评: 本题考查了解直角三角形的知识,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角 函数的知识求解相关线段的长度,难度一般. 21. 分) (7 (2013?烟台)如图,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重 合,A、C 分别在坐标轴上,点 B 的坐标为(4,2) ,直线 y=﹣x+3 交 AB,BC 分别于 k 点 M,N,反比例 函数 y= 的图象经过点 M,N. x (1)求反比例函数的解析式; (2)若点 P 在 y 轴上,且△ OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等,求点 P 的坐标.

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题. 分析: (1)求出 OA=BC=2,将 y=2 代入 y=﹣x+3 求出 x=2,得出 M 的坐标,把 M 的 坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案; (2)求出四边形 BMON 的面积,求出 OP 的值,即可求出 P 的坐标. 解答: (1)∵B(4,2) 解: ,四边形 OABC 是矩形, ∴OA=BC=2, 将 y=2 代入 y=﹣x+3 得:x=2, ∴M(2,2) , k 把 M 的坐标代入 y= 得:k=4, x 4 ∴反比例函数的解析式是 y= ; x (2)∵S 四边形 BMON=S 矩形 OABC﹣S△ AOM﹣S△ CON =4×2﹣4=4, 由题意得: OP×AM=4, ∵AM=2, ∴OP=4, ∴点 P 的坐标是(0,4)或(0,﹣4) . 点评: 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式,一次函数与反比例函数的交点 问题,三角形的面积,矩形的性质等知识点的应用,主要考查学生应用性质进行 计算的能力,题目比较好,难度适中. 22. 分) (9 (2013?烟台)今年以来,我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为 焦点.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度,某校在学生中做了一次抽样调查,调 查结果共分为四个等级:A.非常了解;B.比较了解;C.基本了解;D.不了解.根 据调查统计结果,绘制了不完整的三种统计图表. 对雾霾了解程度的统计表: 对雾霾的了解程度 百分比 A.非常了解 5% B.比较了解 m C.基本了解 45% D.不了解[来源:Z。xx。k.Com]n 请结合统计图表,回答下列问题.

(1)本次参与调查的学生共有 400 人,m= 15% ,n= 35% ; (2)图 2 所示的扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是 126 度; (3)请补 全图 1 示数的条形统计图; (4)根据调查结果,学校准备开展关于雾霾知识竞赛,某班要从“非常了解”态度的小 明和小刚中选一人参加,现设计了如下游戏来确定,具体规则是:把四个完全相同的乒 乓球标上数字 1,2,3,4,然后放到一个不透明的袋中,一个人先从袋中随机摸出一个 球,另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球.若摸出的两个球上的数字和为奇数, 则小明去;否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平.

考点: 游戏公平性;扇形统计图;条形统计图;列表法与树状图法. 分析: (1)根据“基本了解”的人数以及所占比例,可求得总人数;在根据频数、百分比 之间的 关系,可得 m,n 的值; (2)根据在扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心 的度数与 360°的比可得出统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角; (3)根据 D 等级的人数为:400×35%=140;可得(3)的答案; (4)用树状图列举出所有可能,进而得出答案. 解答: (1)利用条形图和扇形图可得出:本次参与调查的学生共有:180÷45%=400; 解: m= ×100%=15%,n=1﹣5%﹣15%﹣45%=35%;

(2)图 2 所示的扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是:360°×35%=126°; (3)∵D 等级的人数为:400×35%=140; 如图所示:



(4)列树状图得:

所以从树状图可以看出所有可能的结果有 12 种,数字之和为奇数的有 8 种, 2 则小明参加的概率为:P= = , 3 1 小刚参加的概率为:P= = , 3 故游戏规则不公平. 故答案为:400,15%,35%;126. 点评: 此题主要考查了游戏公平性,涉及扇形统计图的意义与特点,即可以比较清楚地 反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系. 23. 分) (8 (2013?烟台)烟台享有“苹果之乡”的美誉.甲、乙两超市分别用 3000 元以 相同的进价购进质量相同的苹果.甲超市销售方案是:将苹 果按大小分类包装销售,其 中大苹果 400 千克,以进价的 2 倍价格销售,剩下的小苹果以高于进价 10%销售.乙超 市的销售方案是:不将苹果按大小分类,直接包装销售,价格按甲超市大、小两种苹果 售价的平均数定价.若两超市将苹果全部售完,其中甲超市获利 2100 元(其它成本不 计) .问: (1)苹果进价为每千克多少元? (2)乙超市获利多少元?并比较哪种销售方式更合算. 考点: 分式方程的应用. 分析: (1)先设苹果进价为每千克 x 元,根据两超市将苹果全部售完,其中甲超市获利 2100 元列出方程,求出 x 的值,再进行检验即可求出答案; (2)根据(1)求出每个超市苹果总量,再根据大、小苹果售价分别为 10 元和 5.5 元,求出乙超市获利,再与甲超市获利 2100 元相比较即可. 解答: (1)设苹果进价为每千克 x 元,根据题意得: 解: 400x+10%x( ﹣400)=2100,

解得:x=5, 经检验 x=5 是原方程的解, 答:苹果进价为每千克 5 元. (2)由(1)得,每个超市苹果总量为: 大、小苹果售价分别为 10 元和 5.5 元, 则乙超市获利 600×( ﹣5)=1650(元) , =600(千克) ,

∵甲超市获利 2100 元, ∴甲超市销售方式更合算. 点评: 此题考查了分式方程的应用,关键是读懂题意,找出题目中的等量关系,根据两 超市将苹果全部售完,其中甲超市获利 2100 元列出方程,解方程时要注意检验. 24. (2013?烟台)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,连接 AC 交⊙O 于点 D, E为 上一点,连结 AE,BE,BE 交 AC 于点 F,且 AE2=EF?EB.

(1)求证:CB=CF;
3 (2)若点 E 到弦 AD 的距离为 1,cos∠C= ,求⊙O 的半径. 5

考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质. 分析:[来 (1)如图 1,通过相似三角形(△ AEF∽△AEB)的对应角相等推知, 源:Zxxk.Com]∠1=∠EAB;又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3;最后根据等角 对等边证得结论; (2)如图 2,连接 OE 交 AC 于点 G,设⊙O 的半径是 r.根据(1)中的 相似三角形的性质证得∠4=∠5,所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知 点 E 是弧 AD 的中点,则 OE⊥AD;然后通过解直角△ ABC 求得 3 cos∠C=sin∠GAO= = ,则以求 r 的值. 5 解答: (1)证明:如图 1, ∵AE2=EF?EB, ∴ = .

又∠AEF=∠AEB, ∴△AEF∽△AEB, ∴∠1=∠EAB. ∵∠1=∠2,∠3=∠EAB, ∴∠2=∠3, ∴CB=CF; (2)解:如图 2,连接 OE 交 AC 于点 G,设⊙O 的半径是 r. 由(1)知,△ AEF∽△AEB,则∠4=∠5. ∴ = .

∴OE⊥AD, ∴EG=1. ∵cos∠C=,且∠C+∠GAO=90°, 3 ∴sin∠GAO= , 5 3 3 ∴ = ,即 = , 5 5 5 5 解得,r= ,即⊙O 的半径是 . 2 2

点评:

本题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质.解答(2)题的难点 是推知点 E 是弧 AD 的中点.

25. (10 分) (2013?烟台)已知,点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(不与 A, B 重合) ,分别过 A,B 向直线 CP 作垂线,垂足分别为 E,F,Q 为斜边 AB 的中点.

(1)如图 1,当点 P 与点 Q 重合时,AE 与 BF 的位置关系是 AE∥BF ,QE 与 QF 的数量关系式 QE=QF ; (2)如图 2,当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时,试判断 QE 与 QF 的数量关系,并 给予证明; (3)如图 3,当点 P 在线段 BA(或 AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立? 请画出图形并给予证明. 考点: 全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线. 分析: (1)证△ BFQ≌△AEQ 即可; (2)证△ FBQ≌△DAQ,推出 QF=QD,根据直角三角形斜边上中线性质求出即 可; (3)证△ AEQ≌△BDQ,推出 DQ=QE,根据直角三角形斜边上中线性质求出即

可. 解答: (1)AE∥BF,QE=QF, 解: 理由是:如图 1,∵Q 为 AB 中点, ∴AQ=BQ, ∵BF⊥CP,AE⊥CP, ∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ, 在△ BFQ 和△ AEQ 中

∴△BFQ≌△AEQ(AAS) , ∴QE=QF, 故答案为:AE∥BF,QE=QF. (2)QE=QF, 证明:如图 2,延长 FQ 交 AE 于 D, ∵AE∥BF, ∴∠QAD=∠FBQ, 在△ FBQ 和△ DAQ 中

∴△FBQ≌△DAQ(ASA) , ∴QF=QD, ∵AE⊥CP, ∴EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线, ∴QE=QF=QD, 即 QE=QF. [来源:学,科,网 Z,X,X,K] (3) (2)中的结论仍然成立, 证明:如图 3, 延长 EQ、FB 交于 D, ∵AE∥BF, ∴∠1=∠D, 在△ AQE 和△ BQD 中 , ∴△AQE≌△BQD(AAS) , ∴QE=QD, ∵BF⊥CP, ∴FQ 是斜边 DE 上的中线, ∴QE=QF.

点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质的应用,注意: ①全等三角形的判定定理有 SAS,ASA,AAS,SSS,②全等三角形的性质是: 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 26. (2013?烟台)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是边长为 2 的正方形,二 次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A,B,与 x 轴分别交于点 E,F,且点 E 的坐标为(﹣ 2 ,0) ,以 0C 为直径作半圆,圆心为 D. 3 (1)求二次函数的解析式; (2)求证:直线 BE 是⊙D 的切线; (3) 若直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P, 是线段 CB 上的一个动点 M (点 M 与点 B, C 不重合) 过点 M 作 MN∥BE 交 x 轴与点 N, , 连结 PM, PN, CM 的长为 t, PMN 设 △ 的面积为 S, S 与 t 的函数关系式, 求 并写出自变量 t 的取值范围. 是否存在着最大值? S 若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)根据题意易得点 A、B 的坐标,然后把点 A、B、E 的坐标分别代入二次函 数解析式,列出关于 a、b、c 的方程组,利用三元一次方程组来求得系数的值; (2)如图,过点 D 作 DG⊥BE 于点 G,构建相似三角形△ EGD∽△ECB,根据 它的对应边成比例得到 = ,由此求得 DG=1(圆的半径是 1) ,则易证得结论;

(3)利用待定系数法可求得直线 BE 的方程.则易求 P 点坐标.然后由相似三角

形△ MNC∽△BEC 的对应边成比例,线段间的和差关系得到 CN=t,DN=t﹣1. 所 以 S=S△ PND+S 梯形 PDCM﹣S△ MNC=﹣ +t(0<t<2) .由抛物线的性质可以求得 S 的

最值. 2 解答: 解: (1)由题意,得 A(0,2) ,B(2,2) 的坐标为(﹣ ,0) ,E , 3 则 ,

解得,



9 9 ∴该二 次函数的解析式为:y=﹣ x2+ x+2; 8 4

(2)如图,过点 D 作 DG⊥BE 于点 G. 由题意,得 ED=+1=,EC=2+=,BC=2, ∴BE= = .

∵∠BEC=∠DEG,∠EGD=∠ECB=90°, ∴△EGD∽△ECB, ∴ = ,

∴DG=1. ∵⊙D 的半径是 1,且 DG⊥BE, ∴BE 是⊙D 的切线;
2 ,0) ,B(2,2) . 3 设直线 BE 为 y=kx+h(k≠0) .则

(3)由题意,得 E(﹣



解得,


3 1 x+ . 4 2

∴直线 BE 为:y=

∵直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P,对称轴直线为 x=1, 5 5 ∴点 P 的纵坐标 y= ,即 P(1, ) . 4 4 ∵MN∥BE, ∴∠MNC=∠BEC. ∵∠C=∠C=90°, ∴△MNC∽△BEC, ∴ ∴ = ,

t 4 = ,则 CN= t, 2 3

∴DN=t﹣1, 1 5 5 ∴S△ PND= DN?PD= t ? . 2 6 8 1 2 S△ MNC= CN?CM= t2. 2 3 1 5 1 S 梯形 PDCM=( PD+CM)?CD= ? t . 2 8 2 ∵S=S△ PND+S 梯形 PDCM﹣S△ MNC=﹣ ∵抛物线 S=﹣ +t(0<t<2) .

+t(0<t<2)的开口方向向下,

2 ∴S 存在最大值.当 t=1 时,S 最大= . 3

点评: 本题考查了二次函数综合题,其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解 析式,相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法.注意配方法在(3)题 中的应用.


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