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江苏省启东中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


江苏省启东中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷
一、填空题: (本大题包括 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案写在答题纸相应的横线上) 1.已知集合 M ? ?0, x? , N ? ?1,2? , 若 M ? N ? {1}, 则M ? N ? 2.函数 y ? .

1 6 ? x ? x2

的定义域是

.

3.函数 f ( x) ? ?

? x ? 3( x ? 4) ,则 f (?1) ? ? f ( x ? 3)(x ? 4)
.

.

4.函数 y ? x ? 1 ? 2 x 值域为 5. 27 ? 2
2 3 log 2 3

1 ? log 2 ? 2lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) ? 8

.

6 . 若 函 数 f ( x) ? x 2 lg a ? 2 x ? 1 的 图 像 与 x 轴 有 两 个 交 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 7.方程 lg x .

? 4 ? 2 x 的根 x ? ? k , k ? 1? , k ? Z ,则 k ?

.

8.对 a, b ? R ,记 max ?a, b? ? ? 是 .

?a, a ? b , 函数 f ( x) ? max ? x ? 1 , x ? 2 ? ( x ? R) 的最小值 ?b, a ? b

9.函数 y ? log a ? 2 x ? 3? ?

2 图象恒过定点 P , P 在幂函数 f ? x ? 图象上,则 2

f ?9? ?



10.函数 f ?x? ? ax2 ? ?a ? 2b?x ? a ? 1 是定义在 ?? a,0? ? ?0,2a ? 2? 上的偶函数,则

? a2 ? b2 f? ? 5 ?

? ? ?? ?

.

11 .已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x? ? x ? 2 ,那么不等式

2 f ? x ? ?1 ? 0 的解集是

.

?a x ( x ? 0), 12.函数 f ( x) ? ? 满足 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )](x1 ? x2 ) ? 0 对定义域中的任意 ?(a ? 3) x ? 4a( x ? 0)
两个不相等的 x1 , x2 都成立,则 a 的取值范围是 .

-1-

13 .已知 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x?2 ,若对任意实数 x ?1

?1 ? t ? ? , 2? , 都 有 f ?t ? a ? ? f ?t ?1? ? 0 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 ?2 ?
是 .

14.已知函数 f ( x) ? log a x ? 1 ( a ? 0, a ? 1) ,若 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则

1 1 1 1 ? ? ? ? x1 x2 x3 x4

.

二、解答题:(本大题包括 6 小题,共 90 分. 请在答题纸的指定区域内答题,并写出必要的 计算、证明、推理过程) 15.( 本 题 满 分 14 分 ) 设 全 集

U ?{ x | x ? 5且 x ? N *}, A ? {x | x2 ? 5x ? q ? 0} ,

B ? {x | x2 ? px ? 12 ? 0} 且 (CU A) ? B ? {1,3,4,5} ,求实数 p , q 的值.

16. (本题满分 14 分) 已知集合 A ? x y ?

?

B ? {x | y ? lg(? x 2 ? 7 x ? 12)} , x2 ? 5x ?14 ,

?

C ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} .
(1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? A ,求实数 m 的取值范围.

17. (本题满分 15 分)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天 内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图 1 所示的一条折线表示,西红柿的种植成本 与上市时间的关系用图 2 所示的抛物线表示。 (注:市场售价和种植成本的单位:元/kg, 时间单位:天)

-2-

(1)写出图 1 表示的市场售价与时间的函数关系式 P ? f (t ) ;写出图 2 表示的种植成本 与时间的函数关系式 Q ? g (t ) ; (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?为多少?
P 300 200 100 250 200 150 100 50 Q

o

100

200 图1

300

t

O

50 100 150 200 250 300 t 图2

18.(本题满分 15 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? m ? (1)判断并证明函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) 是奇函数,求 m 的值;

2 5 ?1
x

(3)若 f ( x) 的值域为 D,且 D ? [?3,1] ,求 m 的取值范围.

19.(本题满分 16 分)已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? ?2 x ? 1 且 f (2) ? 15 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)令 g ( x) ? (2 ? 2m) x ? f ( x) ①若函数 g ( x) 在 x ??0,2? 上是单调函数,求实数 m 的取值范围; ②求函数 g ( x) 在 x ??0,2? 的最小值.

-3-

20. (本题满分 16 分)已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b( a ? 0 ) 在区间 [2,3] 上有最大值 4
2

和最小值 1 .设 f ( x ) ? (1)求 a 、 b 的值;

g ( x) . x

(2)若不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)若 f | 2 x ? 1 | ? k ?

?

?

2 ? 3k ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. | 2 ?1|
x

-4-

江苏省启东中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷答案 一、填空题: 1. ?0,1, 2? 6. 0 ? a ? 1或1 ? a ? 10 11. x x ? ? 或0 ? x ? 二、解答题: 15.解:∵ 2 ? CU A ,∴ 2 ? A ;将 x ? 2 带入 x ? 5x ? q ? 0 得: q ? 6 ;
2

2. (?3, 2) 7.1

3. 2 8.

4. (??, ] 9.

1 2

5.19 10.3

3 2

1 3

?

3 2

5? ? 2?

12. (0, ]

1 4

13. ? ??, ?3? ? ? 0, ???

14.2

∴ A ? {x | x ? 5x ? q ? 0} ? {x | x ? 5x ? 6 ? 0} ? {2,3} , CU A ? {1, 4,5} ;
2 2

又∵ (CU A) ? B ? {1,3,4,5} ,∴ 3 ? B ,将 x ? 3 带入 x ? px ? 12 ? 0 得: p ? ?7 ;
2

∴ B ? {x | x

2

? px ? 12 ? 0} ? {x | x2 ? 7 x ? 12 ? 0} ? {3,4}

适合 (CU A) ? B ? {1,3,4,5} ;所以得: p ? ?7 , q ? 6 16.解: (1)∵ A ? (??,?2] ? [7,??) , B ? (?4,?3) , (2) ∵ A ? C ? A ∴C ? A. ∴ A ? B ? (?4,?3) .

① C ? ? , 2 m ? 1 ? m ? 1 ,∴ m ? 2 . ② C ? ? ,则 ?

? m ? 1 ? 2m ? 1 ? m?2 ? m?2 ,即 ? 或? ?2m ? 1 ? ?2 ?m ? 1 ? 7 ?2m ? 1 ? ?2或m ? 1 ? 7

∴m ? 6 .

综上, m ? 2 或 m ? 6 17.解: (1)由图 1 可得市场售价与时间的函数关系为 f (t ) ? ? 由 图 2
2

?300 ? t (0 ? t ? 200) ?2t ? 300(200 ? t ? 300)

可 得 种 植 成 本 与 时 间 的 函 数 关 系 为

g (t ? )

1 t? ( 200

? 1 5 0 ? t )?

1 0 0 ( 0

3 0 0 )

-5-

P 300 200 100

250 200 150 100 50

Q

o

100

200 图1

300

t

O

50 100 150 200 250 300 t 图2

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t ) ,则由题意得 h(t ) ? f (t ) ? g (t ) ,

? 1 2 1 175 ? t ? t? (0 ? t ? 200) ? ? 200 2 2 即 h(t ) ? ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 (200 ? t ? 300) ? 2 2 ? 200
当 0 ? t ? 200 时,配方整理,得 h(t ) ? ?

1 (t ? 50) 2 ? 100 200

∴当 t ? 50 时, h(t ) 取得区间 [0, 200] 上的最大值 100; 当 200 ? t ? 300 时,配方整理,得 h(t ) ? ?

1 (t ? 350) 2 ? 100 200

∴当 t ? 350 时, h(t ) 取得区间 (200,300] 上的最大值 87.5; 综上可知 h(t ) 在区间 [0,300] 上可以取到最大值 100,此时, t ? 50 ,即从二月一日开始的第 50 天时,上市的西红柿收益最大 100。

18.解: (1)判断:函数 f ( x) 在 R 上单调递增 证明:设 x1 ? x 2 且 x1 , x2 ? R

2 2 2(5 x1 ? 5 x2 ) 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m ? x ? ( m ? x2 ) ? x1 5 1 ?1 5 ?1 5 ? 1 5 x2 ? 1

?

??

?

? x1 ? x2 ?5 x1 ? 1 ? 0,5 x2 ? 1 ? 0,5 x1 ? 5 x2 ? 0
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

-6-

? f ( x) 在 R 上单调递增
(2)? f ( x) 是 R 上的奇函数

? f ( x) ? f (? x) ? m ?
即 2m ? (

2 2 ? m ? ?x ?0 5 ?1 5 ?1
x

2 2 ? 5x ? ) ? 0 ? 2m ? 2 ? 0 5x ? 1 5x ? 1

?m ? 1
(3) 由 5 ? 0 ? 0 ?
x

2 2 ? 2? m?2? m? x ?m 5 ?1 5 ?1
x

D ? (m ? 2, m)

? D ? ?? 3,1?

?m ? 2 ? ?3 ?? ? ?1 ? m ? 1 ?m 的取值范围是 ?? 1,1? m ? 1 ?
19. 解(1)由条件设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 则 f ( x ? 1) ? f ( x) ? a( x ? 1)2 ? bx ? c ? (ax2 ? bx ? c) ? 2ax ? a ? b ? ?2x ? 1

? 2a ? ?2, a ? b ? 1,? a ? ?2, b ? 1
又? f (2) ? 15? c ? 15 ∴函数的解析式为 f ( x) ? ? x ? 2 x ? 15 .
2

(2)①∵ f ( x) ? ? x ? 2 x ? 15 ,
2

∴ g ( x) ? (2 ? 2m) x ? f ( x) ? x ? 2mx ?15 ,
2

而 g ( x) 在 x ? [0, 2] 上是单调函数, ∴对称轴 x ? m 在的左侧或右侧,∴ m ? 0 或 m ? 2 . ② g ( x) ? x ? 2mx ?15, x ?[0, 2] ,对称轴 x ? m ,
2

当 m ? 2 时, g ( x)min ? g (2) ? 4 ? 4m ?15 ? ?4m ?11 , 当 m ? 0 时, g ( x)min ? g (0) ? ?15 , 当 0 ? m ? 2 时, g ( x)min ? g (m) ? m ? 2m ?15 ? ?m ?15 .
2 2 2

-7-

??4m ? 11 ? m ? 2 ? ? 综上所述: g( x)min ??15 ? m ? 0 ? ? 2 ??m ? 15 ? 0 ?m ? 2 ?

20.解: (1) g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 1 ? b ? a , 因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [2 , 3] 上是增函数, 故?

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ?b ? 0 ? g (3) ? 4
1 ?2, x 1 ? 2 ? k ? 2x , x 2

(2)由已知可得 f ( x) ? x ?

x 所以 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 可化为 2 ?

1 1 ? 1 ? 2 化为 1 ? ? x ? ? 2 ? x ? k ,令 t ? x ,则 k ? t ? 2t ? 1 , 2 2 ?2 ?
因 x ? [?1 , 1] ,故 t ? ?

2

?1 ? ,2 , ?2 ? ? ?1 ? , 1 ,故 h ?t ?min ? 0 , ?2 ? ?

2 记 h(t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为 t ? ?

所以 k 的取值范围是 ? ?? ,0? . (3)原方程可化为 | 2 ? 1 | ?(3k ? 2)? | 2 ? 1 | ?(2k ? 1) ? 0 ,
x 2 x

令 | 2 ? 1 |? t ,则 t ? (0 , ? ?) ,
x

t 2 ? (3k ? 2)t ? (2k ? 1) ? 0 有两个不同的实数解 t1 , t 2 ,
其中 0 ? t1 ? 1, t 2 ? 1 ,或 0 ? t1 ? 1 , t 2 ? 1 .

? ?2 k ? 1 ? 0 ?2k ? 1 ? 0 ? 2 记 h(t ) ? t ? (3k ? 2)t ? (2k ? 1) ,则 ? ① 或 ?h(1) ? ? k ? 0 ?h(1) ? ?k ? 0 ? 3k ? 2 ?0 ? ?1 2 ?



解不等组①,得 k ? 0 ,而不等式组②无实数解.所以实数 k 的取值范围是 (0 , ? ?) .

-8-


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