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任意角的三角函数(单位圆定义法)



任意角的三角函数(第一课时)教学设计
一、学情分析 教学对象是高一的学生(按照 1、4、5、2、3 的顺序讲解) ,他们在初中学 学习过锐角三角函数.因此本课的内容对于学生来说,有比较厚实的基础,新课 的引入会比较容易和顺畅.学生要面对的新的学习问题是,角的概念推广了,原 先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢? 二、教学目标 1. 知识与技能目标 理解任意角的三角函数的单位圆定义法;了解终边定义法. 理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2. 过程与方法目标 通过三角函数的几何表示,进一步加深对数形结合思想的理解. 3. 情感与态度价值观 激发学生探求新知欲望; 体会数学数学概念的严谨性和科学性. 三、教学重、难点 重点:任意角的三角函数的定义. 难点:①由初中锐角三角函数的定义过渡到任意角三角函数的定义; ②在直角坐标系中用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数; ③三角函数定义的应用. 四、教学设计思路 (一)创设情境,提出问题(三角函数的产生背景) 由匀速直线运动引出一次函数; 由自由落体和抛物运动引出二次函数; 客观世界中还存在着大量循环往复、周而复始的现象,比如,地球自转引起 的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化等, 其中圆周运动就是一种具有这种 现象的最简单的周期性运动。 它的变化规律该用什么函数模型来描述呢?——三 角函数. (二)新课讲解
1

1.复习初中学过的锐角三角函数的定义 (1)初中学过的锐角三角函数的定义
对 边 α 邻边 sinα=,conα=,tanα= tanα=

(图 1)

(2)把角放在直角坐标系中研究引出坐标表示 提出问题:三角函数能否用终边上的点的坐标来表示? ①在 ? 的终边上任选一点 P(a,b) , | OP |? a 2 ? b 2 ? r ? 0
y · P(a,b)
sinα===,conα===,

?
O

M

x

tanα===

(图 2)

② sin ? 、 cos? 、 tan ? 的值与 P 点的位置无关(相似) 为了研究的方便,取 r=1(圆心在原点,r=1 的圆称为单位圆).则 sin ? ? b 、
b . a

cos? ? a 、 tan ? ?
2.任意角 (1)理论基础
任意角 ?

唯一对应 唯一对应 ???? ??的终边的位置 ???? ? 终边与单位圆的交点坐标
唯一对应 ???? ? 终边与单位圆的交点坐标

即任意角 ?

(2)沿用初中的三角函数的名称 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y) ,那么: ① ② ③ 正弦 sin ? ? y ; 余弦 cos? ? x ; 正弦 tan ? ?
y ( x ? 0) . x

即:正弦、余弦、正切都是以角(实数)为自变量,以单位圆上点的坐标或 坐标的比值为函数值的函数,我们称它们为三角函数.(单位圆定义法) ①正弦函数 y ? sin x ,定义域为 R,值域[-1,1];
2

②余弦函数 y ? cos x ,定义域为 R,值域[-1,1];

? ? ? ③正切函数 y ? tan x ,定义域为 ? x | x ? ? k? , k ? ? ? ,值域 R. 2 ? ?
3.应用 例 1.求 解:
5? 的正弦、余弦和正切值. 3

1 3 5? 与单位圆的交点坐标为 ( , ? ) , 2 2 3

则 sin

5? 1 5? 5? 3 ?? ? , tan ?? 3. , cos 3 2 3 2 3

例 2.已知角 ? 的终边经过点 P0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 分析: 解法一: 用单位圆定义法, 先利用相似三角形求出角 ? 的终边与单位圆的交 点坐标. 解法二:补充终边定义法. 4.课堂小结 重要知识点:三角函数的终边定义法与单位圆定义法 方法及思想:数形结合思想 5.分层作业 必做题:课本 P15 练习 1、2 选做题:课本 P20 2

3



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