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2001-2008历年成人高考文史类数学(2001-2008)试题(含答案与解答讲解提示)


历年成人高考文史类数学
(2001-2008)试题 (含答案与解答讲解提示)

1 / 34

成考数学试卷题型分类(文史类)
一、集合与简易逻辑
2001 年 (1) 设全集 M={1,2,3,4,5} , N={2,4,6} , T={4,5,6} ,则 (M ? T) ? N 是( (A) {2,4,5,6} (B) {4,5,6} (2) 命题甲:A=B,命题乙: sinA=sinB . 则( (C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件; 2002 年 (1) 设集合 A ? {1,2} ,集合 B ? {2,3,5} ,则 A ? B 等于( ) (A) {2} (B) {1, 2,3,5} (C) {1,3} (D) {2,5} (2) 设甲: x ? 3 ,乙: x ? 5 ,则( ) (A)甲是乙的充分条件但不是必要条件; (B)甲是乙的必要条件但不是充分条件; (C)甲是乙的充分必要条件; 2003 年 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. (C) {1,2,3,4,5,6} ) (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。 ) (D) {2,4,6}

(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (B) 甲是乙的充分必要条件;

(1)设集合 M ? ( x, y ) x ? y ? 1 ,集合 N ? ( x, y ) x ? y ? 2 ,则集合 M 与 N 的关系是
2 2 2 2

?

?

(A) M ? N=M

(B) M ? N=?

?

?

(C) N ? M

(D) M ? N

(9)设甲: k ? 1 ,且 b ? 1 ;乙:直线 y ? kx ? b 与 y ? x 平行。则 (A)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件; 2004 年 (1)设集合 M ? ?a, b, c, d? , N ? ?a, b, c? ,则集合 M ? N= (A) ?a, b, c? (B) ?d? (C) ?a, b, c, d? (D) ? (B)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件; (C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。

(2)设甲:四边形 ABCD 是平行四边形 ;乙:四边形 ABCD 是平行正方,则 (A)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件; (B)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件; (C)甲是乙的充分必要条件; 2005 年 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.

(1)设集合 P= ?1 , 2, 3, 4, 5? , Q=?2,4,6,8,10? ,则集合 P ? Q= (A) ?2, 4? (B) ?1 , 2,3,4,5,6,8,10?

(C) ?2?

(D) ?4?

(7)设命题甲: k ? 1 ,命题乙:直线 y ? kx 与直线 y ? x ? 1 平行,则 (A)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件; 2006 年 (1)设集合 M= ??1 , 01 , , 2? , N= ?1 , 2, 3? ,则集合 M ? N= (A) ?0, 1?
2

(B)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件;

(C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。

(B) ?0, 1, 2?

(C) ??1 , 01 , ?

(D) ??1 , 01 , , 2, 3?

(5)设甲: x ? 1 ;乙: x ? x ? 0 . (A)甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件; 2007 年
2 / 34

(B)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件;

(C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。

(8)若 x、 y 为实数,设甲: x2 ? y 2 ? 0 ;乙: x ? 0 , y ? 0 。则 (A)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件; 2008 年 (1)设集合 A= ?2, 4, 6? , B= ?1 , 2, 3? ,则 A ? B= (A) ?4? (4)设甲: x ? (B) ?1,2,3,4,5,6? (C) ?2,4,6? (D) ?1,2,3? (B)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件; (C)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。

?

6

, 乙 : sin x ?

1 ,则 2
(B)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件;

(A)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件;

(C)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件; (D)甲是乙的充分必要条件。

二、不等式和不等式组
2001 年 (4) 不等式 x ? 3 ? 5 的解集是( (A) {x | x ? 2} 2002 年 (14) 二次不等式 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集为( )
2

) (C) {x | x ? 0} (D) {x | x ? 2}

? x ? 3 ? 5???? ?5>x ? 3 ? 5?? ?8>x ? 2????x ? ?8??或 x ? 2?

(B) {x | x ? ?8??或 x ? 2}

(A) {x | x ? 0} 2003 年

(B) {x | 1 ? x ? 2} (C) {x | ?1 ? x ? 2} (D) {x | x ? 0}

(5) 、不等式 | x ? 1 |? 2 的解集为( ) (A) {x | x ? ?3或x ? 1} 2004 年 (5)不等式 x ?12 ? 3 的解集为 (A) x 12 ? x ? 15 2005 年 (2)不等式 ( B) {x | ?3 ? x ? 1} (C) {x | x ? ?3} (D) {x | x ? 1}

?

?

(B) x ?12 ? x ? 12

?

?

(C) x 9 ? x ? 15

?

?

(D) x x ? 15

?

?

?

3x ? 2 ? 7 的解集为 4 ? 5 x ? ?21
(B) ( ? ?,3) ? [5,+?) (C) (3,5) (D) [3,5)

(A) ( ? ?,3) ? (5,+?)

? 3x ? 2 ? 7 3x ? 9 ? 0 ? x1 ? 3 ? ? 4 ? 5x ? ?21 ? 5x ? 25 ? 0 ? (3x ? 9)(5x ? 25) ? 0 ? ? x ? 5 ? ? 2 ? ?
2006 年 (2)不等式 x ? 3 ? 1的解集是 (A) x ?4 ? x ? ?2 (B) x x ? ?2 (C) x 2 ? x ? 4 (D) x x ? 4 (9)设 a, b ? R ,且 a ? b ,则下列不等式中,一定成立的是 (A) a ? b
2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

(B) ac ? bc(c ? 0)

(C)

1 1 ? a b

(D) a ? b ? 0

2007 年 (9)不等式 3x ?1 ? 1 的解集是

3 / 34

(A) R 2008 年

2? (B) ? ? x x ? 0???或 x ? ? ? 3?

2? (C) ? ?x x ? ? 3? ?

2? (D) ? ?x 0 ? x ? ? 3? ?

(10)不等式 x ? 2 ? 3 的解集是 (A) x x ? ?5或x ? 1

?

?

(B) x ? 5 ? x ? 1

?

?

(C) x x ? ?1或x ? 5

?

?

?(D) x ? 1 ? x ? 5

?

?

(由 x ? 2 ? 3 ? ?3 ? x ? 2 ? 3 ? ?1 ? x ? 5 )

三、指数与对数
2001 年 (6) 设 a ? log0.5 6.7 , b ? log2 4.3 , c ? log2 5.6 , 则 a, b, c 的大小关系为( ) (A) b ? c ? a (B) a ? c ? b (C) a ? b ? c (D) c ? a ? b

b

b ? log2 x
b

c
x

a
b ? log0.5 x

( a ? log 0.5 x 是减函数, x >1 时, a 为负;b ? log2 x 是增函数,x >1 时 a 为正.故 log0.5 6.7<log2 4.3<log2 5.6 ) 2002 年 (6) 设 log3 2 ? a ,则 log2 9 等于( ) (A)

1 a

(B)

2 a

log3 9 2log 3 3 2 ? ? ? log 2 9 ? log 2 ? a ? a ? 3 ? ?

(C)

3 2 a 2

(D)

2 2 a 3

(10) 已知 f ( 2 x ) ? log 2

?
(16) 函数 y ? 2003 年

4 x ? 10 ,则 f (1) 等于( ) 3 14 1 (A) log 2 (B) (C)1 (D)2 3 2 f ( x) ? log2 4x / 2 ? 10 ? log2 2 x ? 10 ,f (1) ? log2 2 ?1 ? 10 ? log2 4 ? 2 3 3 3

?

2x ?

1 ? x 1 ? ?1 的定义域是 ? x x ? ?1? 。 ? 2 ? ? 0 ? x ? log 2 2 ? x ? ?1? 2 2 ? ?

(2)函数 y ? 5x ? 1 的反函数为 ( ?? - ? ? x ? ??) (A) y ? log5 (1 ? x), ( x ? 1) (C) y ? log5 ( x ? 1), ( x ? 1) (B) y ? 5 (D) y ? 5
x ?1

, (?? ? x ? ??) ? 1, (?? ? x ? ??)

1? x

? y ? 5x ? 1?? 5 x ? y ? 1 ? x log 5 5 ? log 5 ( y ? 1) ? x ? log 5 ( y ? 1) ? ? ? 按习惯自变量和因变量分别用x和y表示 ? y ? log 5 ( x ? 1);定义域:x ? 1 ? 0,??? x ? 1? ? ??????????????
(6)设 0 ? x ? 1 ,则下列不等式成立的是 (A) log0.5 x2 ? log0.5 x (B) 2 x ? 2
2 x

(C) sin x ? sin x
2

(D) x ? x
2

y

y ? 2x y ? 2 x2
y ? sin x2
4 / 34

y ? sin x

x

y ? log0.5 X

? ? y ? 2 x 2为增函数? 0? x?1 ? 值域(0, 2) ?? ? 2 x >2 x 2,排除(B); ? ? y ? 2 x 为增函数 ? ??? ? 值域(1, 2) ? ?? ? ?0 ? x ? 1 ? x 2 ? x,sin x 2 < sin x,排除(C); ? ?0 ? x ? 1 ? x 2 ? x,排除(D); ? ? ? 2 2 log 0.5 x ? log 0.5 x,故选(A)? ?0 ? x ? 1 ? x ? x, log 0.5 X 为减函数,
(8)设 log x 2 4 2 ?

?

5 ,则 x 等于 4
(A)10
4 4 1 4

(B)0.5
5 4

(C)2

(D)4

5 lg 2 5 5 5 4 [ log x 2 4 2= log( 2 ? 2 ) ? log 2 ? ? , lg x ? lg 2, lg x ? lg 2,x ? 2 ] x x lg x 4 4 4
2004 年 (16) 64 3 ? log 2 2005 年 (12)设 m ? 0 且 m ? 1,如果 log m 81 ? 2 ,那么 logm 3 ? (A) 2006 年 (7)下列函数中为偶函数的是 (A) y ? 2
x x
2

1 = 12 16

2 ? 2 ? 1 3 3 3 64 ? log ? 4 ? log 2 2?4 ? 42 ? 4 ? 12? ? ? 2 ? 16 ? ?

1 2

1 1 1 1? ? 4 ? log m 3 ? 4 log m 3 ? 4 log m 81 ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ?

(B) ?

1 2

(C)

1 3

(D) ?

1 3

(B) y ? 2 x (B) 0 ? y ? 1

(C) y ? log 2 x (C) y ? 3

(D) y ? 2 cos x

(13)对于函数 y ? 3 ,当 x ? 0 时, y 的取值范围是 (A) y ? 1
2

(D) 0 ? y ? 3 ? (C) (0,3) (D) ( ? 3,0)

(14)函数 f ( x) ? log3 (3x ? x ) 的定义域是 (A) ( ? ?,0) ? (3,+?)
1

? 3x ? x

(B) ( ? ?, ? 3) ? (0,+?)
2 2

>0 ? x ? 3 x <0 ? 0 ? x ? 3 ?

(19) log 2 8 ? 16 2 = ?1 2007 年

1 ? 2 l o g 8 ? 1 6 ? ? 2 ?

l2o 3 g? 2 ? 4

? 3 log ? 2? 4 ? ? 3? 4 2 ? ?

1

(x -1 ) (1)函数 y ? lg 的定义域为
(A)R (B) x x ? 0
0

?

?

(C) x x ? 2

?

?

(D) x x ? 1

?

?

?1? (2) lg 4 8 ? lg 4 2 ? ? ? = ?4?

5 / 34

(A)3

(B)2

(C)1 ?lg 4 8 ? lg 4 2 ? ? ? = lg 4 4 2 ? lg 4 4 2 ? 1=

? ? ?

?1? ?4?

0

3

1

? 3 1 ? ? 1=1? 2 2 ? ?

(D)0

(5) y ? 2x 的图像过点 (A) ( ? 3, ) (15)设 a ? b ? 1 ,则 (A) loga 2 ? logb 2
y
y ? log1.3 x

1 8

(B) ( ? 3, )

1 6

(C) ( ? 3, ? 8)

(D) ( ? 3, ? ?)

(B) log2 a ? log 2 b

(C) log0.5 a ? log0.5 b

(D) logb 0.5 ? loga 0.5

y ? log2 x

y ? log0.5 x

x

①同底异真对数值大小比较: 增函数真(数)大对(数)大,减函数真大对小如 . log 3 0.5 ? log 3 0.4, log 0.3 4 ? log 0.3 5; ②异底同真对数值大小比较: 同性时:左边[点(1,0)的左边 ]底大对也大,右边[点(1,0)的右边 ]底大对却小. 异性时:左边减(函数)大而增(函数)小,右边减小而增大. 如 log 0.4 0.5> log 0.3 0.5, log 0.4 5< log 0.3 5; log 0.4 0.5> log 3 0.5, log 4 5< log 3 5 ③异底异真对数值大小比较: 同性时:分清增减左右边,去同剩异作比较. 异性时:不易不求值而作比较,略. 如: log 3 6 ? log 4 8(log 3 6 ? 1 ?

y ? log0.77 x

lg 2 lg 2 lg 2 lg 2 , log 4 8 ? 1 ? , ? ? log 3 6 ? log 4 8) lg 3 lg 4 lg 3 lg 4

2008 年
0 (3) log 2 4 ? ( ) =

1 3

(A)9

(B)3

(C)2

(D)1 ?log 2 4 ? ( )0 =log 2 22 ? 1=2 ? 1=1?

? ?

1 3

? ?

(6)下列函数中为奇函数的是 (A) y ? log3 x (A) y ? x
2

(B) y ? 3x

(C) y ? 3x2

(D) y ? 3sin x

(7)下列函数中,函数值恒大于零的是 ?(B) y ? 2
x

(C) y ? log 2 x

(D) y ? cos x

(9)函数 y ? lg x ? 3- x 的定义域是 (A) (0,∞) (B) (3,∞) (C)(0,3] (D) (?∞,3]

[由 lg x 得 x >0 ,由 3- x 得 x ? 3 , x x ? 0 ? x x ? 3 = x 0<x ? 3 故选(C)] (11)若 a ? 1 ,则 (A) log 1 a ? 0
2
y ? ? ?1? a ?1 分析①: 设 y ? log a ?? ? ??? y ? 0,故选(A) ? ? 1 ? ? ? a, ?2? 2 ? ? ?分析②:y ? log a?是减函数,由y ? log a?的图像知在点(1,0)右边, y ? 0,故选(A) ? 1 1 ? ? 2 2 ? ?

?

? ?

? ?

?

(B) log2 a ? 0

(C) a

?1

?0

(D) a ? 1 ? 0
2

四、函数
2001 年 (3) 已知抛物线 y ? x ? ax ? 2 的对称轴方程为 x ? 1 ,则这条抛物线的顶点坐标为(
2



6 / 34

(A) (1,?3)

(B) (1,?1)

(C) (1,0)

(D) (?1,?3)

? ? ? x0 ? 1, ? ? ? a ? x0 ? ? 2 =1 ? a ? ?2 ? ? ? a 2 ? 4 ? (?2) (?2) 2 ? 4 ? (?2) ?? ? ? 3? ? y0 ? ? ? 4 4 ?
(7) 如果指数函数 y ? ?a x 的图像过点 (3,? ) ,则 a 的值为( (A) 2 (B) ? 2 (C) ? ) (C) (0,1] (D) (??,1]

1 8

) (D)

1 2

1 2

(10) 使函数 y ? log2 (2x ? x 2 ) 为增函数的区间是( (A) [1,??) (B) [1,2)

?2 x ? x2 ? 0 ? x2 ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 2? ? ? 2 ?∵ y ? 2 x ? x 开口向下,对称轴为: ? ? x?? b ?? 2 ? ?1 ? ? 2a 2 ? (?1) ? ? 2 1]为y ? log 2 (2 x ? x )的增区间. ? ?∴(0,
(13)函数 f ( x) ?

y

x

y =2 x ? x2
y ? log2 (2x ? x2 )

5 x ? 5? x ? 6x 是( 2

) (B) 是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数

(A) 是奇函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (16) 函数 y ?
3

log 1 (4 x ? 3) 的定义域为____________。
y
减函数,真数须在 (0,1]之间,对数才为正 ?log 1 (4 x ? 3) ? 0 ??????????? ? ? 3 ? ????? ? 3 ?0<4 x ? 3 ? 1 ? 3<4 x ? 4 ? ? x ? 1 ? ? 4 ?

x
(21) ( 本 小 题 11 分 ) 假 设 两 个 二 次 函 数 的 图 像 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 其 中 一 个 函 数 的 表 达 式 为

y ? x 2 ? 2x ? 1,求另一个函数的表达式。 2 解法一 函数 y ? x ? 2x ? 1 的对称轴为 x ? ?1 , ? 22 ? 4 ?1? (?1) ?? ? ?2 顶点坐标: x0 = ? 1 , y0 ? ? 4a 4 ?1 2 2 设函数 y ? x ? b?x ? c? 与函数 y ? x ? 2x ? 1 关于 x ? 1 对称,则 2 函数 y? ? x ? b?x ? c? 的对称轴 x? ? 3 ? ? ?2 ? =3 , y0 顶点坐标: x0 b? ? ? ?2 ?1? 3 ? ?6 , ? ? ? 得: b? ? ?2ax0 由 x0 2a
7 / 34

4ay0 ? b?2 4 ? (?2) ? 62 b?2 ? 4ac? ? y0 得: c ? ? ?7 4a 4a 4 所以,所求函数的表达式为 y? ? x2 ? 6 x ? 7 解法二 函数 y ? x 2 ? 2x ? 1 的对称轴为 x ? ?1 ,所求函数与函数 y ? x 2 ? 2x ? 1 关于 x ? 1 对称, 则 2 所求函数由函数 y ? x ? 2x ? 1 向 x 轴正向平移 4 个长度单位而得。 ? ?? 由 y0

?x ? x ? 4 ?x ? x ? 4 2 2 ,将 ? 0 代入 y0 ? x0 y0 ? x0 ? 2x0 ?1, ? 0 ? 2x0 ?1 y ? y y ? y ? 0 ? 0 得: y ? x2 ? 6x ? 7 .即为所求。 (22) (本小题 11 分) 某种图书定价为每本 a 元时,售出总量为 b 本。如果售价上涨 x %,预计售出总量 将减少 0.5 x %,问 x 为何值时这种书的销售总金额最大。 x 0.5x 解 涨价后单价为 a(1 ? ) 元/本,售量为 b(1 ? ) 本。设此时销售总金额为 y ,则: 100 100
y =a (1 ? x 0.5 x 0.5 x 0.5 x 2 0.5 x )b(1 ? )=ab(1 ? ? ) ,令 y?=ab( ? )=0 ,得 x ? 50 100 100 100 10000 100 10000

设 M ( x0 , y0 ) 是函数 y ? x 2 ? 2x ? 1 上的一点,点 N ( x, y) 是点 M ( x0 , y0 ) 的对称点,则

所以, x ? 50 时,销售总金额最大。 2002 年 (9) 若函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上单调,则使得 y ? f ( x ? 3) 必为单调函数的区间是( ) A. [a, b ? 3] B. [a ? 3, b ? 3] C. [a ? 3, b ? 3] D. [a ? 3, b]

因y ? f ( x)与y ? f ( x ? 3)对应关系相同,故它们的图像相同;因y ? f ( x)与y ? f ( x ? 3)的? ? ?自变量不同,故它们的图像位置不同,f ( x ? 3)的图像比y ? f ( x)左移3个长度单位. ? ? ? 因f (a) ? f ( x ? 3)时,必有x ? 3 ? a,即x ? a - 3; ? ? ? ???????????? f (b) ? f ( x ? 3)时,必有x ? 3 ? b,即x ? b - 3. ? ? ? ? ????????所以,y ? f ( x ? 3)的单调区间是[a ? 3, b ? 3] ? ? ? 4 x ? 10 (10) 已知 f ( 2 x ) ? log 2 ,则 f (1) 等于( ) 3 14 1 (A) log 2 (B) (C)1 (D)2 3 2

? f ( x) ? log 4 x / 2 ? 10 ? log 2 x ? 10 , f (1) ? log 2 ? 1 ? 10 ? log 4 ? 2 ? , 2 2 2 2 ? ? 3 3 3 ? ?
(13) 下列函数中为偶函数的是( ) (A) y ? cos(x ? 1) 为 2,求 b 的值。 解 设两个交点的横坐标分别为 x1 和 x2 ,则 x1 和 x2 是方程 x 2 得: x1 ? x2 (B) y ? 3
x

(C) y ? ( x ? 1)

2

(D) y ? sin x
2

(21) (本小题 12 分) 已知二次函数 y

? x2 ? bx ? 3 的图像与 x 轴有两个交点,且这两个交点间的距离
? bx ? 3=0 的两个根,

? ?b , x1 ?x2 ? 3

又得: x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 ?x2 ? b 2 ? 12 ? 2 , b= ? 4

(22) (本小题 12 分) 计划建造一个深为 4 m ,容积为1600m3 的长方体蓄水池,若池壁每平方米的造 价为 20 元,池底每平方米的造价为 40 元,问池壁与池底造价之和最低为多少元? 解 设池底边长为 x 、 y ,池壁与池底造价的造价之和为 u ,则 xy ?
8 / 34

1600 400 ? 400 , y ? x 4

u ? 40xy ? 20 ? 4(2x ? 2 y) ? 40 ? 400 ? 20 ? 4(2x ? 2 ?
20 2 ? ? ? 16000 ? 160 ?( x ? ) ? 40? x ? ?
故当 x ?

400 400 ) ? 16000 ? 160( x ? ) x x

20 ? 0 ,即当 x ? 20 时,池壁与池底的造价之和最低且等于: x
400 400 ) ? 16000 ? 160 ? (20 ? ) ? 22400(元) x 20

u ? 16000 ? 160 ? ( x ?

答:池壁与池底的最低造价之和为 22400 元 2003 年 (3)下列函数中,偶函数是 (A) y ? 3x ? 3? x
3 2

(B) y ? 3x2 ? x3

(C) y ? 1 ? sin x

(D) y ? tan x

(10)函数 y ? 2 x ? x ? 1 在 x ? 1 处的导数为 (A)5 (11) y ? (B)2 (C)3 (D)4

? ? y?

x ?1

? (6 x 2 ? 2 x)

x ?1

? 6 ? 2 ? 4? ?

lg( x 2 ? x ? 1) 的定义域是
(A) x x ? ?1

?

?

(B) x x ? 2

?

?
y

(C) x x ? ?1或x ? 2

?

?

(D) ?

2 2 2 ? ?lg( x ? x ? 1) ? 0 ? x ? x ? 1 ? 1 ? x ? x ? 2 ? 0 ? x ? ?1或x ? 2 ? ? x x ? ?1??或 x ? 2?? ?

x
(17)设函数 f (t -1) ? t 2 ? 2t ? 2 ,则函数 f ( x) ? x 2 ? 1 (20) (本小题 11 分) 设 f ( x) ? ax , g ( x) ? 解 依题意得:

b 1 1 1 , f (2) ? g( )= ? 8 , f ( ) ? g(3)= ,求 a、b 的值. x 2 3 3

? f (2) ? g ( 1 ) ? 2a ? 2b ? ?8 ?a ? b ? ?2 ? 2 , 即 ? ? 1 a b 1 ?a ? b ? 1 ? f ( ) ? g (3) ? ? ? 3 3 3 ? 3
解 依题意得:

① ②

, 解得 ?

?a1 ? 2 ?a ? ?1 , ???? 2 ?b1 ? ?1 ?b2 ? 2

(21) (本小题 12 分) 设 f ( x) ? ? x2 ? 2ax ? a2 满足 f (2) ? f (a) ,求此函数的最大值.

?4 ? 4a ? a 2 ? ?a 2 ? 2a 2 ? a 2 ,即 a 2 ? a ? 4 ? 0 ,得: a1 ? a2 ? 2

f ( x) ? ? x2 ? 4x ? 4 ? ?( x2 ? 4x ? 4) ? ?( x ? 2)2 ? 8 ,
可见,该函数的最大值是 8(当 x ? 2 时) 2004 年 (10)函数 f ( x) ? sin x ? x (A)是偶函数
3 3

(B)是奇函数 (A)27

(C)既是奇函数又是偶函数 (B)18
9 / 34

(D)既不是奇函数也又是偶函数 (D)12

(15) f ( x) ? x ? 3 ,则 f ?(3)= (C)16

(17) y ? 5sin x ? 12cos x ? ????13

5 ? y ? 13( 5 sin x ? 12 cos x) ? 13(sin x cos ? ? cos x sin ? )= sin (x ? ?),cos? = ? , ? 13 13 13 ? ? ?
(20) (本小题满分 11 分) 设函数 y ? f ( x) 为一次函数, f (1)=8 , f ( ? 2)= ? 1 ,求 f (11) 解 依题意设 y ? f ( x) ? kx ? b ,得

?

f (1) ? k ? b ? 8 k ?3 ,得 , f ( x) ? 3x ? 5 , f (11)=38 f (?2) ? ?2k ? b ? ?1 b?5

?

(22) (本小题满分 12 分) 在某块地上种葡萄, 若种 50 株, 每株产葡萄 70kg ; 若多种一株, 每株减产 1kg 。 试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值,并求出这个最大值. 解 设种 x ( x ? 50 )株葡萄时产量为 S,依题意得

S ? x?7 0 - (x - 5 ?) ?0

2 , x0 ? ? 1x2 ?0 x

b 120 ?? ? 60 , S0 =120 ? 60 ? 602 =3600(kg) 2a 2? (? 1 )

所以,种 60 株葡萄时产量达到最大值,这个最大值为 3600 kg . 2005 年 (3)设函数 f ( x) ? x2 ?1 ,则 f ( x ? 2) ? (A) x ? 4 x ? 5
2

(B) x ? 4 x ? 3
2

(C) x ? 2 x ? 5
2

(D) x ? 2 x ? 3
2

(6)函数 y ?

x ? 1 的定义域是

(A) x x ? 1

?

?

(B) x x ? 1

?

?

(C) x x ? 1

?

?

(D) x x ? ?1或x ? 1

?

?

? x ?1 ? 0 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1,即:x ? ?1 或 x ? 1?
(9)下列选项中正确的是 (A) y ? x ? sin x 是偶函数 (C) y ? x ? sin x 是偶函数 (18)设函数 f ( x) ? ax ? b ,且 f (1) ? (B) y ? x ? sin x 是奇函数 (D) y ? x ? sin x 是奇函数

5 , f (2) ? 4 ,则 f (4) 的值为 7 2

注: ?

5 3 ? ? 3 3 ? f (1) ? a ? b ? ?a ? 2 ????????? 2???????? f ( x) ? x ? 1???????? f (4) ? ? 4 ? 1 ? 7 2 2 ? ? ? f (2) ? 2a ? b ? 4 ?b ? 1

(23) (本小题满分 12 分)
x 已知函数 y1 ? x2 ? 2x ? 5 的图像交 y 轴于 A 点,它的对称轴为 l ;函数 y2 ? a 的图像交 y 轴 ( a ?1 )

于 B 点,且交 l 于 C. (Ⅰ)求 ?ABC 的面积 (Ⅱ)设 a ? 3 ,求 AC 的长 解(Ⅰ) y1 ? x2 ? 2x ? 5 的对称轴方程为: x ? ?
A

y

l

y2 ? 3x
y1 ? x2 ? 2x ? 5

b ?2 ? ? ?1 2a 2
B

C

依题意可知 A、B、C 各点的坐标为 A(0,5) 、 B(0,1) 、 C(1,a) 得: AB = (0 ? 0) ? (5 ? 1) =4
2 2

x

10 / 34

在 ?ABC 中,AB 边上的高为 1( x ? 1 ) ,因此, S?ABC =

1 ? 4 ? 1=2 2
2 2

(Ⅱ)当 a ? 3 时,点 C 的坐标为 C(1,3) ,故 AC = (0 ??) ? (5 ? ?) = 5 2006 年 (4)函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的一个单调区间是 (A) ?0, ? ?? (7)下列函数中为偶函数的是 (A) y ? 2x (A) y ? (B) y ? 2 x (B) y ? (C) y ? log 2 x (C) y ? 2 x ? 1 (D) y ? 2 cos x (D) y ? x ? 2 (8)设一次函数的图像过点(1,1)和(?2,0) ,则该函数的解析式为 (B) ?1, ? ?? (C) ? ??,2? (D) ? ??,3?

1 2 x? 3 3

1 2 x? 3 3

y ?1 1? 0 1 1 2? ? y ? y1 y1 ? y2 ? ? ? ? ? 3( y ? 1) ? x ? 1 ? y ? x ? ? ? x ? x x ? x x ? 1 1 ? ( ? 2) 3 3 3 ? 1 1 2 ?
(10)已知二次函数的图像交 x 轴于(?1,0)和(5,0)两点,则该图像的对称轴方程为 (A) x ? 1
3

(B) x ? 2

(C) x ? 3

(D) x ? 4 (D) 3x ? y ? 2 ? 0

(17)已知 P 为曲线 y ? x 上的一点,且 P 点的横坐标为 1,则该曲线在点 P 处的切线方程是 (A) 3x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 4 ? 0
x ?1

(C) 3x ? y ? 2 ? 0

? k ? y? ?

x ?1

? ? 3x 2 ?

? 3, P点的坐标: (1,1), y ? 1 ? 3( x ? 1) ? 3x ? y ? 2 ? 0? ?
?

(20)直线 y ? 3x ? 2 的倾斜角的度数为 60

? ? ? ?180 <? ? 0 ,??tan ? ? y? ? ?
2007 年

?

? ? 3x ? 2 ? 3, ? ? arctan 3 ? 60? ? ?

?

(x -1 ) (1)函数 y ? lg 的定义域为
(A)R (5) y ? 2 的图像过点
x

(B) x x ? 0

?

?

(C) x x ? 2

?

?

(D) x x ? 1

?

?

1 1 (B) ( ? 3, ) 8 6 2 (6)二次函数 y ? x ? 4x ? 5 图像的对称轴方程为 (A) x ? 2 (B) x ? 1
(A) ( ? 3, ) (7)下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数的是 (A) f ( x) ?

(C) ( ? 3, ? 8)

(D) ( ? 3, ? ?)

(C) x ? 0 (C) f ( x) ? cos

(D) x ? ?1

1 1 ? x2

(B) f ( x) ? x ? x
2

x 3

(D) f ( x) ?

2 x

? ?? f ( x) ? ?( x 2 ? x) ? 2 2 (B) f ( ? x ) ? ( ? x ) ? ( ? x ) ? x ? x ? ? ? ? ? f ( x) ? ?
0) ,则该二次函数的最小值为 (10)已知二次函数 y ? x ? px ? q 的图像过原点和点 (?4,
2

(A)-8

(B)-4

(C)0

(D)12

? ? ?q ? 0 ? y ? x 2 ? 4 x ? ( x ? 2) 2 ? 4 ? ymin ? ?4 ? ?函数图像过(0,0)和(?4,0) ? ? ?16 ? 4 p ? 0 ? p ? 4 ? ?
11 / 34

(18)函数 y ? x2 ? x 在点 (1,2) 处的切线方程为 y ? 3x ? 1

? ? k ? y?
(21)设 f ( ) ? 2008 年

x ?1

? (2 x ? 1)

x ?1

? 3,?? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? y ? 3 x ? 1? ?

x 2

1 2 1 ? ? x ? x ,则 f ( x) ? x2 ? 2 x ? f ( x) ? (2 x) 2 ? 2 x ? x 2 ? 2 x ? 4 4 ? ?

(5)二次函数 y ? x2 ? 2x ? 2 图像的对称轴方程为 (A) x ? ?1 (6)下列函数中为奇函数的是 (A) y ? log3 x (A) y ? x2
2

(B) x ? 0 (B) y ? 3x (B) y ? 2x (B)0 或 4

(C) x ? 1 (C) y ? 3x2 (C) y ? log 2 x (C)?1 或 1

(D) x ? 2 (D) y ? 3sin x (D) y ? cos x (D)3 或 7

(7)下列函数中,函数值恒大于零的是 (8)曲线 y ? x ? 1 与直线 y ? kx 只有一个公共点,则 k= (A)?2 或 2

y

x
y ? 2x
?2

? ????? y ? x 2 ? 1的切线y? ? 2 x就与y ? x 2 ? 1只有一个公共点, ? ? ? 2 ? y ? y ? x ?1 ? ? 2 ? y? ? x ? 2 x ? y ? 2 x ? ? y ? 2 x 2 ? x ? ?1, k ? y? ? ?2? ? ? ? ?

y ? ?2 x

(9)函数 y ? lg x ? 3- x 的定义域是 (A) (0,∞) (B ) (3,∞) ?(C)(0,3] (D) (?∞,3] [由 lg x 得 x >0 ,由 3- x 得 x ? 3 , x x ? 0 ? x x ? 3 = x 0<x ? 3 故选(C)] (13)过函数 y ?

?

? ?

? ?

?

6 上的一点 P 作 x 轴的垂线 PQ,Q 为垂足,O 为坐标原点,则 ?OPQ 的面积为 x
(A)6 (B)3 (C)12 (D)1 [设 Q 点的坐标为 x ,则 S ?OPQ ?

1 1 6 yx ? ? x ? 3 ] 2 2 x

五、数列
2001 年 (11) 在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 8 ,前 5 项之和为 10,前 10 项之和等于( (A) 95 注: S5 = (B) 125 (C) 175 (D) 70 )

5(a1 ? a5 ) 5(a5 ? 4d ? a5 ) 5(8 ? 4d ? 8) = = =10 , d =3 2 2 2 5(a ? a ) 5(a ? 5d ? a5 +d ) 5(2a5 ? 6d ) 5(2 ? 8 ? 6 ? 3) S10 =S5 ? 10 6 =S5 ? 5 =S5 ? =10 ? =95 2 2 2 2 ?a n ?1 ? 2a n ? 3bn n ? 1,2,3,......。 (23) (本小题 11 分) 设数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? 1 , b1 ? 0 且 ? ?bn ?1 ? a n ? 2bn
(i)求证 an ? 3bn 和 an ? 3bn 都是等比数列并求其公比; (ii)求 ?an ? , ?bn ? 的通项公式。

?

? ?

?

12 / 34

证(i) ?

? ? 3b ?: 1 , 2 ? 3, 7 ? 4 3, 29 ?15 3, ???, a ? 3b 可见 ? a ? 3b ?与 ? a ? 3b ?的各项都不为 0. a ? 3b =2a ? 3b ? 3a ? 2 3b =?2+ 3 ?a ? ?3 ? 2 3 ?b =?2+ 3 ??a ? 3b ? a ? 3b q= =?2+ 3 ? , 所以, ? a ? 3b ?是等比数列且其公比为 q=2+ 3 a ? 3 b ? ? a ? 3b =2a ? 3b ? 3a ? 2 3b =?2 ? 3 ?a ? ?3 ? 2 3 ?b =?2 ? 3 ??a ? 3b ? a ? 3b =2 ? 3 所以, ?a ? 3b ? 是等比数列且其公比为 q=2 ? 3 a ? 3b
n

?a ?a

? 1,,, 2 7 29, ???, 2an ?1 ? 3bn ?1 ??an?: 0 1 4 4 3 ???, an-1 ? 2bn-1 ? ??bn?:,,,

? 3bn : 1 , 2 ? 3, 7 ? 4 3, 29 ?15 3, ???, an ? 3bn
n
n n

n

n

n

n

n

n ?1

n ?1

n

n

n

n

n

n

n

n

n ?1 n

n ?1

n

n

n

n ?1

n ?1

n

n

n

n

n

n

n

n

n ?1 n

n ?1 n

n

n

(ii) 由 an ? a1q n?1 得

?an ? 3bn =(2 ? 3) n ?1 ? ? n ?1 ? ?an ? 3bn =(2 ? 3)
2002 年

1? ? n ?1 n ?1 ? ?an = 2 ?(2 ? 3) ? (2 ? 3) ? , 得: ? ?b = 3 ?(2 ? 3) n ?1 ? (2 ? 3) n ?1 ? ? ?n 6 ?

(12) 设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,且 a2 ? a4 ? 8 ,则 a1 ? a7 等于( ) (A)8 B.16 (C)32 (D)64

(a1 ? a7 ?

a2 ? a4 q 3 ? a2 a4 q 2 ? 8 ? 22 ? 32) q

( 24 ) ( 本 小 题 12 分 ) 数 列 {an } 和 数 列 {xn } 的 通 项 公 式 分 别 是 an ?

2 1?

2n ? 1 , n ? 2n ? 2
2

xn ? (n ? 1) 2 ?1?a1a2 ??? an 。
(Ⅰ)求证 {xn } 是等比数列; (Ⅱ)记 S n ? x1 ? x 2 ?? ? xn ,求 S n 的表达式。 证(Ⅰ)因 an >0 , (n ? 1) 2 ?1?>? ,故 {xn } 为正数列。当 n>2 时

(n ? 1) 2 ?1?a1a2 ??? an (n ? 1) 2 ?1? (n ? 1) 2 ?1? xn 2n ? 1 = = an = 2 1? 2 2 2 2 xn ?1 n ? 2n ? 2 n ?1?a1a2 ??? an ?1 n ?1? n ?1? = 2 (n ? 1) 2 ?1? n 2 ?1? n2 ? 1 = 2 n 2 ? 2n ? 2

2 ,故 {xn } 是等比数列。 x 3 (Ⅱ)由 x1 ? 5 ? 2 ? 1 ? ? 2 , q ? n ? 2 得: 5 xn?1
可见 {xn } 的公比是常数

Sn ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ?

a1 (1 ? q n ) 2(1 ? 2n ) ? ? 2( 2n ? 1)( 2 ? 1) ? ( 2n ? 1) ( 23 ? 2) 1? q 1? 2

? 2n ?3 ? 2n ? 2 ? 23 ? 2 ? ( 2) n ?3 ? ( 2) n ? 2 ? 2 2 ? 2
2003 年 (23)已知数列 (Ⅰ)求

?an ? 的通项公式,

?an ? 的前 n 项和 S

n

? 2an ? 3 .

13 / 34

(Ⅱ)设 bn ?

nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 2n

解(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 3 ,故 a1

? 3,

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn-1 ? 2an ? 3 ? (2an?1 ? 3) ? 2an ? 2an?1 , 故 an ? 2an?1 , q ?

an 2a ? n ?1 ? 2 ,所以, an ? a1qn?1 ? 3 ? 2n?1 an ?1 an ?1

(Ⅱ) bn ?

nan n ? 3 ? 2n ?1 3n ? ? , 2 2n 2n
,∴ ?bn ? 不是等比数列

3n bn n 2 ∵q ? ? ? bn ?1 3(n ? 1) n ? 1 2
∵ d ? bn ? bn?1 ?

3n 3(n ? 1) 3 ? ? , ∴ ?bn ? 是等差数列 2 2 2

3 3 (b1 ? bn ) ? n ( 2 ? 2 n)n 3n ? ? (n ? 1) ?bn ? 的前 n 项和: Sn ? 2 2 4
2004 年 (7)设 ?an ? 为等差数列, a5 ? 9 , a15 ? 39 ,则 a10 ? (A)?? (B)?? (C)?? (D)??

1 ? ? a10 ? a1 ? 9d ,??a5 ? a15 ? 2a1 ? 18d ? 2a10 ,??a10是a5和a15的等差中项,a10 ? (a5 ? a15 ) ? 24 ? ? 2 ? ?
(23) (本小题满分 12 分) 设 ?an ? 为等差数列且公差 d 为正数, a2 ? a3 ? a4 ? 15 , a2 , a3 ? 1, a4 成 等比数列,求 a1 和 d . 解 由 a2 ? a3 ? a4 ? 3a3 ? 15 ,得 a3 ? 5 , a2 ? a4 ? 10???????① 由 a2 , a3 ? 1, a4 成等比数列,得 a2 ? a4 ? (a3 ?1)2 ? (5 ?1)2 ? 16 由? 2005 年 (13)在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 1 , a8 ? 11 ,则 a13 ? (A)?? (B)?? (C)?? (D)?22



? ? a2 ? a4 ? 10????????① ?a2 1 ?? 2?????? ?d ? a3 ? a2 ? 5 ? 2 ? 3 ,得 ? ,? a ? 8( 大于 a , 舍去 ) ② ?a1 ? a2 ? d ? 2 ? 3 ? ?1 3 ? ? a2 ?a4 ? 16 ? 22

? a8 ? a3 ? (8 ? 3)d ? 1 ? 5d ? 11, d ? 2, a13 ? a3 ? (13 ? 3)d ? 1 ? 10d ? 1 ? 10 ? 2 ? 21? ? ? 2a8 =a13 +a3,a13 =2a8 ? a3 =2 ?11 ? 1=21 ?或者这样解:a8是a3和a13的等差中项, ?
(22) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)数列 ?an ? 的通项公式; 已知等比数列 ?an ? 的各项都是正数, a1 ? 2 ,前 3 项和为 14。求:

(Ⅱ)设 bn ? log2 an ,求数列 ?bn ? 的前 20 项之和。 解(Ⅰ) S3 ?

a1 (1 ? q3 ) 2(1 ? q3 ) 2(1 ? q)(1 ? q ? q 2 ) ? ? ? 14 , 1? q 1? q 1? q
2

得q ?q ? 6,?

?q1 ? 2 n?1 n?1 n ,所以, an ? a1q ? 2 ? 2 ? 2 q ? ? 3( 不合题意 , 舍去 ) ? 2
14 / 34

(Ⅱ) bn ? log2 an ? log2 2n ? n , 数列 ?bn ? 的前 20 项的和为 S 20 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 20 ? 2006 年 (6)在等差数列 ?an ? 中, a3 ? 1 , a5 ? ?7 ,则 a7 ? (A)?11 (B)?13 (C)?15

(1 ? 20) ? 20 ? 210 2

(D)?17

?a5 ? a3 ? (7 ? 3)d ? 1 ? 2d ? ?7, d ? ?4, a7 ? a5 ? 2d ? ?7 ? 2 ? (?4)= ?15? 1 (22) (本小题 12 分) 已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 16 ,公比 q ? 。求: 2
(Ⅰ)数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)数列 ?an ? 的前 7 项的和。 解(Ⅰ) a3 ? a1q 2 , a1 ? ? ? =16 , a1 =64 , an ? a1q n?1 ? 64 ? ? ?

?1? ?2?

2

?1? ? 2?

n ?1

? 27?n ? 26 ? 21?n ? 27?n

? ? 1 ?7 ? 64 ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ?7 ? a1 (1 ? q n ) 1 ? ? ?2? ? ? ? ? (Ⅱ) S7 ? ? ? 128 ?1 ? ? ? ? =128 ?1 ? ? ? 127 1 1? q ? 128 ? ? ? ?2? ? ? 1? 2
2007 年 (13)设等比数列 ?an ? 的各项都为正数, a1 ? 1 , a3 ? 9 ,则公比 q ? (A)3 (Ⅰ)求该数列的通项公式; 解(Ⅰ) 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn-1 ? n(2n ? 1) ? (n ? 1) ?2(n ?1) ? 1? ? 4n ?1 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1? (2 ?1 ? 1) ? 3 ,满足 an ? 4n ? 1, 所以, an ? 4n ? 1 (Ⅱ) an ? 4n ? 1 ? 39 ,得 n ? 10 . 2008 年 (15)在等比数列 ?an ? 中, a2 =6 , a4 =24 , a6 = (A)8 (B)24
2 (C)96 ? a2 a6 ? a4 ? a6 ? 4 ? ? 96 ? a2 6 ? ?

(B)2

(C)-2

(D)-3

(23) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n(2n ? 1) , (Ⅱ)判断 an ? 39 是该数列的第几项.

?

a2

242

?

(D)384

(22)已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 9 , a3 ? a8 ? 0 (Ⅰ)求等差数列的通项公式 (Ⅱ)当 n 为何值时,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最大值,并求该最大值 解(Ⅰ)设该等差数列的公差为 d ,则

a3 ? a1 ? 2d , a8 ? a1 ? 7d , a3 ? a8 ? a1 ? 2d ? a1 ? 7d ? 2a1 ? 9d ? 0 将 a1 ? 9 代入 2a1 ? 9d ? 0 得: d ? ?2 , 该等差数列的通项公式为 an ? a1 ? (n -1)d ? 9 ? (n -1) ? (?2) ? 11 ? 2n (Ⅱ)数列 ?an ? 的前 n 项之和
15 / 34

Sn ?

n( a1 ? an ) n(9 ? 11 ? 2n) ? ? 10n ? n 2 2 2
n?5

? ? 10 ? 2n ? 0 , n ? 5 , Sn max ? (10n ? n2 ) 令Sn

? 25

六、导数
2001 年 (22) (本小题 11 分) 某种图书定价为每本 a 元时,售出总量为 b 本。如果售价上涨 x %,预计售出总量 将减少 0.5 x %,问 x 为何值时这种书的销售总金额最大。 解

x 0.5x ) 元/本,售量为 b(1 ? ) 本。设此时销售总金额为 y ,则: 100 100 x 0.5 x 0.5 x 0.5 x 2 0.5 x y =a(1 ? )b(1 ? )=ab(1 ? ? ) , 令 y?=ab( ? )=0 ,得 x ? 50 100 100 100 10000 100 10000 所以, x ? 50 时,销售总金额最大。
涨价后单价为 a(1 ?

2002 年 (7) 函数 y ?

1 2 x ? x ? 3 的最小值是 2 5 7 (A) ? (B) ? (C) ?3 (D) ?4 2 2 1 1 2 1 7? ? ? y ? 2 x ? 1, x ? ? , ymin ? 2 ? (? ) ? (? ) ?3? ? ? ? 2 2 2 2? ?

(22) (本小题 12 分) 计划建造一个深为 4 m ,容积为1600m3 的长方体蓄水池,若池壁每平方米的造 价为 20 元,池底每平方米的造价为 40 元,问池壁与池底造价之和最低为多少元? 解 设池底边长为 x 、 y ,池壁与池底造价的造价之和为 u ,则 xy ?

1600 400 ? 400 , y ? x 4 400 400 u ? 40 xy ? 20 ? 4(2 x ? 2 y) ? 40 ? 400 ? 160( x ? y) ? 16000 ? 160( x ? ), u ?=160(1 ? 2 ) x x 400 令u ?=0,得1 ? 2 ? 0,x ? 20( x ? ?20舍去) x
400 ? ? umin ? ?16000 ? 160 ? ( x ? ) x ? ? ?
x ? 20

? 16000 ? 160 ? (20 ?

400 ) ? 22400(元) 20

答:池壁与池底的最低造价之和为 22400 元 2003 年 (10)函数 y ? 2 x3 ? x2 ? 1 在 x ? 1 处的导数为 (A)5 2004 年
3 (15) f ( x) ? x ? 3 ,则 f ?(3)=

(B)2

(C)3

? (D)4 ? ?y

x ?1

? (6 x 2 ? 2 x)

x ?1

? 4? ?

(A)27 2005 年

? f ?(3) ? 3x

2

x ?3

? 27 ?

(B)18

(C)16

(D)12

(17)函数 y ? x( x ? 1) 在 x ? 2 处的导数值为 5
3

? ? y?

x?2

? (2 x ? 1)

x?2

? 5? ?

(21)求函数 y ? x ? 3x 在区间 [0,2] 的最大值和最小值(本小题满分 12 分) 解 令 y? ? 3x ? 3 ? 3( x ?1) ? 3( x ? 1)( x ?1) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? ?1 (不在区间 [0,2] 内,舍去)
2 2

y

x?0

? 0, y

x?1

? 13 ? 3?1 ? ?2, y

x ?2

? 23 ? 3? 2 ? 2
16 / 34

可知函数 y ? x3 ? 3x 在区间 [0,2] 的最大值为 2,最小值为?2. 2006 年 (17)已知 P 为曲线 y ? x3 上的一点,且 P 点的横坐标为 1,则该曲线在点 P 处的切线方程是 (A) 3x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 4 ? 0 (C) 3x ? y ? 2 ? 0 (D) 3x ? y ? 2 ? 0

? k ? y? ?
2007 年

x ?1

? ? 3x 2 ?

x ?1

? 3, P点的坐标: (1,1), y ? 1 ? 3( x ? 1) ? 3x ? y ? 2 ? 0? ?

(12)已知抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到该抛物线的准线的距离为 5,则过点 P 和原点的直线的斜率为 (A) 或 ?

4 5

4 5

(B) 或 ?

5 4

5 4

(C) 1或 ? 1

(D) 3或 ? 3

1 y ? 2 ? 2 ?由y ? 2 px和y ? 4 x得p =2, x ? 2 p ? 5??? x ? 4 ? y ? ?4???? k ? x ? ?1? ? ?
(18)函数 y ? x2 ? x 在点(1,2)处的切线方程为 y ? 3x ? 1 [ k ? y? x?1 ? (2x ? 1) x?1 ? 3 , y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 y ? 3x ? 1 ] 2008 年 (8)曲线 y ? x2 ? 1 与直线 y ? kx 只有一个公共点,则 k ? (A)?2 或 2 (B)0 或 4 (C)?1 或 1 (D)3 或 7

y

x
y ? 2x
?2

? ????? y ? x 2 ? 1的切线y? ? 2 x就与y ? x 2 ? 1只有一个公共点, ? ? ? 2 ? y ? x ? 1 y ? ? ? 2 ? y? ? x ? 2 x ? y ? 2 x ? ? y ? 2 x 2 ? x ? ?1,??k ? y? ? ?2? ? ? ? ?

y ? ?2 x

? 2) ? 24 (25)已知函数 ( f x) ? x4 ? mx2 ? 5 ,且 f(
(Ⅰ)求 m 的值

f x) (Ⅱ)求 ( 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值和最小值

? x) ? 2) 解(Ⅰ) f( ? 4x3 ? 2mx , f( ? 4 ? 23 ? 2m ? 2 ? 24 , m ? ?2 ? x) (Ⅱ)令 f( ? 4x3 ? 2mx=4x3 ? 4x ? 0 ,得: x1 ? 0 , x2 ? ?1 , x3 ? 1
f x) 所以, ( 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 13,最小值为 4. ( f 0) =5 ,( f ? 1) =1 ? 2 ? 5=4 ,( f 1) =1 ? 2 ? 5=4 ,( f -2) =16 ? 8 ? 5=13 ,( f 2) =16 ? 8 ? 5=13

七、平面向量
2001 年 (18)过点 (2,1) 且垂直于向量 a ? (?1, 2) 的直线方程为 x ? 2 y ? 0 。

1 ? ? ? a ? ( ? 1, 2) 所在直线的斜率 k ? ? 2 , 与 a 垂直的直线的斜率 k ? ,所求直线y ? 1 ? k ?( x ? 2) ? ? 2 ? ?
2002 年 (17)已知向量 a ? (3,4) ,向量 b 与 a 方向相反,并且 | b |? 10 ,则 b 等于 b ? (?6, ?8) 。 解 设 b ? ( x, y) ,因向量 b 与 a 方向相反(一种平行) ,故

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? a ? b ? 3x ? 4 y ?| a || b | cos180? ? ? 32 ? 42 ?10 ? ?50??????②

3 4 ? ,即 4 x ? 3 y x y

①,

17 / 34

将①与②组成方程组: ? 也可这样简单分析求解:

? ① ?4 x ? 3 y ? x ? ?6 ,解得: ? ,故 b ? (?6, ?8) ? y ? ?8 ?3x ? 4 y = ? 50?????②

? ? ? ? ? ? ? ? 因 | a |? 5 , | b |? 10 , | b | 是 | a | 的二倍, b 与 a 方向相反,故 b ? ?2a= ? 2 ? (3,4)=( ?6, ?8)
2003 年 (13)已知向量 a 、 b 满足 | a | =4 , | b | =3 , ?a,b? =30? ,则 a ? b = (A) 3 2004 年 (14)如果向量 a ? (3, ?2) , b ? (?1, 2) ,则 (2a + b) ? (a - b) 等于 (A)28 (B)20 (C)24 (D)10
? (B) 6 3 ?a ? b= a ? b cos?a,b? =4 ? 3cos30 =6 3 ?

?

?

(C)6

(D)12

?2a =2(3, ?2)=(6, ? 4), 2a + b=(6, ? 4)+(?1, 2)=(5, ?2),a ? b=(3, ?2) ? (?1, 2)=(4, ? 4) ? ?(2a + b) ? (a ? b)=(5, ?2)? ? (4, ? 4)=28 ? ?
2005 年 (14)已知向量 a,b 满足 a ? 3 , b ? 4 ,且 a 和 b 的夹角为 120 ,则 a ? b ?
?

(A) 6 3 2006 年

(B) ?6 3

(C)?

(D)?6

(3)若平面向量 a ? (3, x) , b ? (4, ?3) , a ? b ,则 x 的值等于 (A)1 2007 年 (B)2 (C)3

(D)4 ?3? 4 ? (?3x) ? 0, x ? 4?

(3)已知平面向量 AB=(2, ? 4) , AC=( ?1,2) ,则 BC= (A) (3, ?6) 2008 年 (B) (1, ?2) (C) (?3, 6) ?( ?1,2) ? (2, ? 4)=( ? 3,6)? (D) (?2, ?8)

??? ?

??? ?

??? ?

(x ,) 2 ,b ? ( ? 2 ,) 3 , a // b ,则 x ? ? (18)若向量 a ?

4? x 2 4 ? , x?? ? ? ? 3 ? ?2 2 3?

八、三角的概念
2001 年

( ? 5, 12) (5) 设角的终边通过点 P ,则 cot ? ? sin ? 等于(

) (D) ?

7 (A) 13

7 (B) ? 13

79 (C) 156

79 156

? ?5 12 12 5 12 79 ? = , cot? ? sin? = ? ? = ?cot? = , sin? = ? 12 12 13 156 ? ? ( ? 5)2 ? 122 13 ? ? 1 7 (5) 已知 sin ? ? cos ? ? , sin ? ? cos ? ? ,则 tan ? 等于( ) 5 5 4 3 (A) ? (B) ? (C)1 (D)-1 3 4

18 / 34

? ?sin ? ? cos ? ? 1 ?? 5 ?? 7 ?sin ? ? cos ? ? ? 5 ??
2003 年 (4)已知

? 8 ① ? 2sin? = 8 ?①+②得: ? 2sin ? 4 5 5 , tan ? = , ? = =? ? 2cos ? ? 6 3 ② ?①-②得: 2cos? = ? 6 ? 5 5 ? ?

?
2

<? <? ,则 sin2 ? ? sin 4 ? =
(A) sin ? co? (B) ? sin ? co? (C) sin 2? (D) ? sin 2?

? (sin ? cos ? >0时) ? ?sin ? cos ?, 2 4 2 ( 1 ? sin 2 ?) = sin 2 ? cos 2 ? = sin ? cos ? = ? ? sin ? ? sin ? = sin ? ? ?? sin ? cos ? ,(sin ? cos ? <0)时? ? ? ? ? ∵ <? <? , ∴sin ? >0??,??cos ? <0, sin ? cos ? <0, ∴ sin 2 ? ? sin 4 ? = ? sin ? cos ? ? ? ? 2 ?
2007 年 (11)设 sin ? =

1 , ? 为第二象限角,则 cos? = 2
(B) ?

? ? =150? ? 3? (A) ? ? ?? ? 2 ? cos150? = ? ? ? ?

2 2

(C)

1 2

(D)

3 2

九、三角函数变换
2002 年 (3) 若 x ? [? ,2? ] , cos x ? ? (A)

7? 11? (D) 6 6 ? ? ? x 2n? ? 150? (x在第二象限时) ? 7? ? x?[? ,2? ] ? ? ? x ? arccos( ? 3 )= ? ???? ? x ? 210 ? 210 ? ? ? ? 2 180? 6 ? x 2n? ? 210? (x在第三象限时) ? ? ? ?

? ?

3 ,则 x 等于( ) 2 4? 5? (B) (C) 3 3

? ?

2003 年 (19)函数 y ? cos3x ? sin 3x 的最大值是 2

? y 2 ? cos2 3x ? sin 2 3x ? 2cos3x? sin3x ? 1 ? sin 6 x, y = ? 1 ? sin 6 x , ymax ? y ?
2004 年 (9) sin

sin 6 x ?1

? 2? ?

?
12

cos

?
12
1 2

=
(B)

(A)

1 4

1 ? 1? ? 原式 ? sin ? ? ? 2 6 4? ?

(C)

3 2

(D)

3 4

(17)函数 y ? 5sin x ? 12cos x 的最小值为????13

5 ? y ? 13( 5 sin x ? 12 cos x) ? 13(sin x cos ? ? cos x sin ? )=sin (x ? ?),cos? = ? ? ? 13 13 13 ? ?
2005 年 (10)设 ? ? (0, ) , cos? = ,则 sin2? =

?

2

3 5

19 / 34

(A)

8 25

(B)

9 25

(C)

12 25

(D)

24 25

2 ? ? 3 ? 3 24 ? ?∵ ? ? (0, ), ∴sin? >0, sin2? =2sin? cos? =2 1 ? cos2? cos? =2 1 ? ? ? 5 ? ? 5 = 25 ? 2 ? ? ? ? ? ?

2006 年 (??)在 ?ABC 中, ?C=30 ,则 cos AcosB ? sinAsinB 的值等于?
?

(A)

1 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D) ?

3 2

? ? ?原式= cos Acos(150? ? A) ? sinAsin(150? ? A) ? ? ? = cos A(cos150? cos A ? sin150?sinA) ? sinA(sin150?cosA ? cos150?sinA) ? ? ? ? 3 2 ? 2 ? ? ? ? = cos Acos150 ? sin Acos150 =cos150 = ? ? ? ? 2 ?
2007 年 (19) sin (45? ? ? )cos ? ? cos(45? ? ? )sin ? 的值为
? ? ? ? ? ?sin (45 ? ? ) cos ? ? cos (45 ? ? ) sin ? = sin (45 ? ? ? ? )= sin 45 ? ? 十、三角函数的图像和性质

2001 年 (14)函数 y ? cos3x ? 3 sin 3x 的最小正周期和最大值分别是( (A) )

2? 2? 2 1 (C) 2? , (D) 2?, , 1 (B) , 2 3 3 ? ? 1 3 ? y ? cos3 x ? 3sin3 x =2 ? ( 2 cos3 x ? 2 sin3 x)=2(sin? cos3 x ? cos? sin3 x)= ? 2cos(3x ? ? )? ? ? ?T ? 2? ? 2? , sin? ? 1, cos? ? 3 ,当cos(3 x ? ? )= ? 1时,函数取得最大值2 ? ? ? ? 3 2 2 ? ?
x 的最小正周期是 2
(B) 4?

2005 年 (4)函数 y ? sin (A) 8? (20) (本小题满分 11 分) (Ⅰ)把下表中 x 的角度值化为弧度值,计算 y ? tan x - sin x 的值填入表中:

2? ? ? T? ? 4? ? ? 1/ 2 ? ?

(C) 2?

(D) ?

x 的角度值 x 的弧度值
y ? tan x - sin x
(精确到 0.0001)

0?

9?

18?

27 ?

36?

45?

? 10

(Ⅱ)参照上表中的数据,在下面的直角坐标系中画出函数 y ? tan x - sin x 在区间 ?0, ? 上的图像
y

? ?? ? 4?

20 / 34
0.3 0.2

解(Ⅰ)

x 的角度值 x 的弧度值
y ? tan x - sin x
(精确到 0.0001) (Ⅱ)

0?
0 0
y

9? ? 20
0.0019

18? ? 10
0.0159

27 ? 3? 20
0.0553

36? ? 5
0.1388

45? ?
4
0.2929

0.3 0.2 0.1

0

2006 年 (18)函数 y ? sin 2 x 的最小正周期是 2007 年 (4)函数 y ? sin

? 20

?
10

3? 20

?
5

?
4

x / rad

?

1 x 的最小正周期为 3 ? (A) 3
x 的最小正周期是 3

(B) 2?

(C) 6?

(D) 8?

2008 年 (2)函数 y ? cos

(A) 6?

(B) 3?

(C) 2?

(D)

? 3

十一、解三角形
2001 年 (20) (本小题 11 分) 在 ?ABC 中,已知 ?A ? 45 , ?B ? 30 , AB=23.26 ,求 AC (用小数表示,结
? ?

果保留到小数点后一位) 。 解

AB AC , = sinC sinB

23.26 AC = , ? ? ? sin(180 ? 45 ? 30 ) sin30?

AC=

23.26sin30? ? 12.0 sin75?

2002 年 (20)(本小题 11 分) 在 ?ABC 中,已知 ?A ? 60? ,且 BC 解 。 ? 2 AB ,求 sin C (精确到 0.001 )
C

AB BC = sin C sin 60?
60
21 / 34

2AB
?

A

B

sin C=
2003 年

AB AB 3 3 sin 60? = = ? 0.612 BC 2AB 2 2 2

(22) (本小题 12 分) 如图,某观测点 B 在 A 地南偏西 10 方向,由 A 地出发有一条走向为南偏东 12 的公路,由观测点 B 发现公路上距观测点 10 km 的 C 点有一汽车沿公路向 A 驶去,到达 D 点时,测得 ?DBC ? 90 ,
?

?

?

BD ? 10km ,问汽车还要行驶多少 km 才可到达 A 地(计算结果保留两
位小数) 解
A





?BAD ? 1 0 ? 1 2? 2 2 ? ∵ ?DBC ? 90 , BC ? BD ,
? ? ?

∴ ?BCD 是等边直角三角形, ?BDC ? 45
? ?

10?
?

12?
D

?

?ABD ? ?BDC ? ?BAD ? 45 ? 22 ? 23 BD 10 AD ? sin ?ABD ? sin 23? ? 10.43(km) ? sin ?BAD sin 22
答:为这辆汽车还要行驶10.43km 才可到达 A 地 2004 年 结果保留小数点后两位)
解 S= AB ? BC ? sin B= ? 10 ? 8sin B=32,

10km
B

10km

C

(21) (本小题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 的边长 AB=10,BC=8,面积 S=32.求 AC 的长(用小数表示,

1 2

1 2

4 4? 3 得: sin B= , ??cos B= 1 ? sin 2 B= 1 ? ? ? ? = 5 ?5? 5 3 AC2 =AB2 ? BC2 ? 2AB ? BCcos B=102 ? 82 ? 2 ?10 ? 8 ? =68 5 AC= 68 ? 8.25
2006 年 (23) (本小题 12 分) 已知在 ?ABC 中, ?BAC=60 ,边长 AB=5 , AC=6 .
?

2

C

A

B

(Ⅰ)求 BC 的长

(Ⅱ)求 AB ? AC 值

??? ? ??? ?

C

解 (Ⅰ) BC= AB2 ? AC2 ? 2AB? ACcos?BAC

= 5 ? 6 ? 2 ? 5 ? 6cos?60 = 31 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? (Ⅱ) AB ? AC= AB ? AC cos ?BAC=5 ? 6 ? cos60 =15
2 2 ?

6
A

60?

2007 年 (Ⅰ) ?B 的正弦值; (Ⅱ) ?ABC 的面积. 解(Ⅰ) ?B=45 , sin ?B= sin 45 =
?

5

B

(22) (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1) 、B(1,0) 、C(3,0) ,求

?

2 2

1

y
B

A

(Ⅱ) ?ABC 的面积 S?ABC =

1 ? 2 ? 1=1 2
22 / 34

C
2

0

1

3

x

2008 年

1 ? , ?C=150 , BC=4 ,则 AB= 3 B ? ? A ? BC ? AB BC sin C 4sin150? ? , AB ? ? ? 6? ? C 1 sin A sin C sin A ? ? 3 ? ? ? (23) 如图, 塔 PO 与地平线 AO 垂直, 在 A 点测得塔顶 P 的仰角 ?PAO ? 45 , 沿 AO 方向前进至 B 点,
(20)在 ?ABC 中,若 sinA= 测得仰角 ?PBO ? 60 ,A、B 相距 44m ,求塔高 PO 。 (精确到 0.1m )
?

解 由已知条件得: ?BPO ? 30 , AO ? PO , BO ? PO tan ?BPO ? PO tan 30 ?
?

?

3 PO 3
P

AB ? AO ? BO ? PO ? BO ? PO ?
PO ? 44 3 1? 3 ? 104.1(m)

3 PO ? 44 3

A

B

O

十二、直线
2001 年

(2, 1) (18)过点 且垂直于向量 a ? (?1, 2) 的直线方程



(2 ? x,1 ? y)( ?1,2)=0,x ? 2 y ? 0? ?设在所求直线上取点(x, y),得向量b ? (2 ? x,1? y),则a ? b,即:
2002 年 (4)点 P(3, 2) 关于 y 轴的对称点的坐标为( ) (A) (3,?2) (B) (?3, 2) (C) (0,2) (D) (?3,?2) 。 (18)在 x 轴上截距为 3 且垂直于直线 x ? 2 y ? 0 的直线方程为

1 1 ? ? x ? 2 y ? 0的斜率k ? ? ,所求直线的斜率为k ? ? ? ? 2,所求直线的方程:y ? 2( x ? 2) ? ? 2 k ? ?
2003 年

2) 到直线 y ? 2 x ? 1 的距离为 (16)点 P(1,

? Ax0 ? By0 ? C 2 ?1 ? (?1) ? 2 ? 1 5? ? ? ?d ? ? 2 2 2 2 5 ? A ? B 2 ? ( ? 1) ? ? ?
2004 年 (4)到两定点 A(?1,1) 和 B(3,5) 距离相等的点的轨迹方程为 (A) x ? y ? 4 ? 0 (B) x ? y ? 5 ? 0 . (D) x ? y ? 2 ? 0 (C) x ? y ? 5 ? 0

2 2 2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 5) ,x ? y ? 4 ? 0 ? ?

(12)通过点 (3,1) 且与直线 x ? y ? 1 垂直的直线方程是 (A) x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 8 ? 0

. (D) x ? y ? 2 ? 0

(C) x ? 3 y ? 2 ? 0
23 / 34

(20) (本小题满分 11 分) 设函数 y ? f ( x) 为一次函数, f (1)=8 , f ( ? 2)= ? 1 ,求 f (11)



依题意设 y ? f ( x) ? kx ? b ,得

?

f (1) ? k ? b ? 8 k ?3 ,得 , f ( x) ? 3x ? 5 , f (11)=38 f (?2) ? ?2k ? b ? ?1 b?5

?

2005 年

(2, 1 ) (16)过点 且与直线 y ? x ? 1 垂直的直线方程为 y ? ? x ? 3
2006 年 (8)设一次函数的图像过点 (1,1) )和 (?2,1) ,则该函数的解析式为 (A) y ?

1 2 x? 3 3

(B) y ?

1 2 x? 3 3
?

(C) y ? 2 x ? 1

(D) y ? x ? 2

(20)直线 y ? 3x ? 2 的倾斜角的度数为 60 2008 年

?? ? arctan

3 ? 60?

?
(D) x ? 2 y ? 1 ? 0

(14)过点 (1,1) 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为 (A) 2 x ? y ? 1 ? 0 (B) 2 x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? 2 y ? 3 ? 0 [直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率为 k ? ?

1 ,所求直线的斜率为 k ? ? 2 ,由点斜式方程可知应选(A) ] 2
3 ? 4

(19) 若 ? 是直线 y ? ? x ? 2 的倾斜角, 则?=

3? ? ? ? ? tan ? ? ?1, ? ? ? ? 0, ? ? arctan(?1) ? 145 = 4 ? ? ?

十三、圆
2006 年 (24) (本小题 12 分) 已知 ? o 的圆心位于坐标原点, ? o 与 x 轴的正半轴交于 A,与 y 轴的正半轴交于 B, AB =2 2 (Ⅰ)求 ? o 的方程; (Ⅱ)设 P 为 ? o 上的一点,且 OP//AB ,求点 P 的坐标。 解(Ⅰ)依题设得 2r = AB , r =
2 2 故 ? o 的方程: x ? y ? 4
2 2

AB 2

2

?

?2 2 ?
2

2

y

? 2,

B

P2

(Ⅱ)因为 A(2,0) , B(0,2) ,所以 AB 的斜率为 ?1 。 过 o 且平行于 AB 的直线方程为 y ? ? x . 由?

A

x
P1

? y ? ?x ?x ? y ? 4
2 2

得: ?

? ? x1 ? 2 ? ? y1 ? ? 2

,?

? ? x2 ? ? 2 ? ? y2 ? 2

所以,点 P 的坐标为 ( 2, ? 2) 或 ( ? 2, 2) 2008 年

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,并且此圆过原点. (24)已知一个圆的圆心为双曲线 4 12
(Ⅰ)求该圆的方程; (Ⅱ)求直线 y ? 3x 被该圆截得的弦长. 解(Ⅰ) c ? a2 ? b2 ? 4 ? 12 ? 4 ,
y
A

y ? 3x

24 / 34

O?

B

x
2 2

双曲线

x2 y 2 0) , ? ? 1 的右焦点坐为(4, 4 12

? 4, 0) 圆心坐标 O( ,圆半径为 r ? 4 。
2 圆的方程为 (x ? 4) ? y 2 ? 16

(Ⅱ)因直线 y ?

3x 的倾角为 60? , ? 故 OA=OBcos ?AOB=2 ? 4cos60 =4
所以,直线 y ? 3x 被该圆截得的弦长为 4

十四、圆锥曲线
2001 年 (3) 已知抛物线 y ? x 2 ? ax ? 2 的对称轴方程为 x ? 1 ,则这条抛物线的顶点坐标为( (A) (1,?3) (B) (1,?1) (C) (1,0) (D) (?1,?3) )

a ? ? 2 x0 ? ? ? 1, a ? ?2, y0 ? x0 ? ax0 ? 2 ? 1 ? (?2) ?1 ? 2 ? ?3? ? 2 ? ?
(8) 点 P 为椭圆 25x 2 ? 9 y 2 ? 225上一点, F1 和 F2 是焦点,则 PF 1 ? PF 2 的值为( ) (B) 5 (D) 3

? 25x

(A) 6
2

? 9 y ? 225 ? a ? 5,?? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 ? 5 ? 10 ?
2

(C) 10

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 的直线与这双曲线交于 A,B 两点,且 AB ? 3 , F2 是右焦点,则 (9) 过双曲线 36 9 ) AF2 ? BF2 的值为(
(A) 21 , (B) 30 (C) 15 (D) 27

A
F1

y

F2

x

B

? AB ? AF1 ? BF1 =3? ? ? ? ? ?? AF1 ? AF2 =2a =12 ? ? ? ? AF2 ? BF2 ? 3 =24????? AF2 ? BF2 =27? ? ? ? ? BF1 ? BF2 =2a =12 ? ? ? ? ?

x2 y2 (24) (本小题 11 分) 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 和点 P(a,0) ,设该椭圆有一关于 x 轴对称的内接正三角形, a b 使得 P 为其一个顶点。求该正三角形的边长。 解 设椭圆的关于 x 轴对称的内接正三角形为 ?PAB , A? x, y? ,则:

? a ? x? ? 3 2 ?a ? x? x2 (a ? x)2 a?x ? 1, ,y ? , 2? ? 3, 3 y y2 a 3b2
2

2

? 3b2 ? 2 3b2 x 2 2 (a ? 2ax ? x ) ? 2 ? 3b ,?????1 ? 2 ? x ? 2ax ? a 2 ? 3b 2 ? 0 a a ? ?
2 2

25 / 34

? 3b 2 ? a 4 ? ?a 2 ? 3b 2 ??a 2 ? 3b 2 ? 2a ? 4a 2 ? 4?1 ? 2 ?? a 2 ? 3b 2 ? 2a ? 2 ? a 2 ? 3b 2 2 a ? a ?x1 ? 2 ? a x? ? ?? a ? 3b 2 2 2 2 ? 3b ? ? a ? 3b ? ?x ? a 2?1 ? 2 ? 2? ? 2 ? 2 a a ? ? ? ? a 2 ? 3b 2 a 由于 ?a ? x ? a ,所以, x ? 2 a ? 3b 2 a-x a-x 因 , AB=2 y ,于是 ?PAB 的边长为 ? 3, y ? y 3

AB=2 y ? 2

a - x 2a ? x ? 2a ? a 2 ? 3b2 ? 2a a 2 ? 3b 2 ? a 2 ? 3b 2 4 3ab 2 ? = = 2 ?1 ? 2 ?1 ? ? ? 2? a 2 ? 3b2 a ? 3b2 3 3? a? 3 ? a ? 3b ? 3
y b

y A(x, y ) b

A(x, y )

?a
?b

a

P

x

?a

a

P

x

B

B

2002 年

?b

(8) 平面上到两定点 F 1(?7,0) , F 2(7,0) 距离之差的绝对值等于 10 的点的轨迹方程为( ) (A)

y2 y2 x2 x2 x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 100 16 100 49 25 24 25 24
2 ? (B) ? ?点的轨迹为双曲线,排除(C);2a ? 10,a ? 5,a ? 25,排除(A)、 ?

x2 y2 ? ? 1(? ? 0) 的焦点在 x 轴上,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两 (23) (本小题 12 分) 设椭圆 6 ?2
点,使得 OP 所在直线的斜率为 1, OP ? OQ ,若 ?POQ 的面积恰为 解
?

3 2 ? ,求该椭圆的焦距。 4

设 P( x1, y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,因 OP ? OQ ,故 ?POQ=90 .又因 OP 所在直线的斜率为 1,故

S?POQ ?
将 x1
2

1 1 2 3 2 2 2 2 2 OP OQ ? x1 ? y12 ? x2 ? y2 ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? ?。 2 2 4
3 2 x2 y2 ? 代入 ? 2 ? 1(? ? 0) ,得: 4 6 ?
y

? y12 ?

Q

2.5

P

3 2? 3 2 ? ? 1(? ? 0) ,即 ? 2 ? 4 2? ? 6=0 , 24 4?
解得: ? 由a
2

0.5 0.5 0.5
0.5

x

? ??1 = 2 2 2 2 ? ??2 =3 2(?2 =b =18>a =6,舍去)

?2.5

=6,b2 =? 2 =

? 2 ? =2 得该椭圆的焦距: 2c ? 2
2

a 2 ? b2 ? 2 6 ? 2 ? 4

26 / 34

2003 年 (14)焦点 (?5, 0) 、 (5, 0) 且过点 (3, 0) 的双曲线的标准方程为 (A)

y2 x2 ? ?1 16 9

(B)

2 x2 y ? ?1 9 4

(C)

2 x2 y ? ?1 9 16

(D)

y2 x2 ? ?1 9 16

? (D);c ? 5, a ? 3, b 2 ? 52 ? 32 ? 16, 排除(B),选(C) ? ?焦点在x轴,排除(A)、 ?
(15)椭圆
2 x2 y ? ? 1 与圆 ( x ? 4)2 ? y2 ? 2 的公共点的个数是 4 9

(A)4

(B)2

(C)1

(D)0
y

?椭圆与x轴的交点是2,圆( x ? 4) 2 ? y 2 ? 2的圆? ? ? ?心是( ? 4,0),与x轴的交点是4- 2.因4- 2 >2,? ?故椭圆与圆相离,没有交点. ? ? ?
(24)已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F,点 A、C 在抛物线上(AC 与 x 轴不垂直).

x

(Ⅰ)若点 B 在抛物线的准线上,且 A、B、C 三点的纵坐标成等差数列,求证 BF ? AC ; (Ⅱ)若直线 AC 过点 F,求证以 AC 为直径的圆与定圆 ( x -3)2 ? y 2 ? 9 相内切. 证明: (Ⅰ)由 y ? 8x 得抛物线准线方程 x ? ?
2

p 8/ 4 ?? ? ?2 , F(2,0) 2 2 y2 y2 y ? y2 设 A( 1 , y1 ) 、 C ( 2 , y2 ) ,则 B(?2, 1 ) , 8 8 2

AC 的斜率 k AC

y1 ? y2 0 ? y2 ? y1 8 2 ? ? y1 ? y2 , BF 的斜率 k BF ? ? 2 ? 2 2 ? (?2) 8 y2 y1 y1 ? y2 ? 8 8



k AC ? kBF ?

? y ?y ? 8 ? ? ? 1 2 ? ? ?1 , ∴ BF ? AC y1 ? y2 ? 8 ?

(Ⅱ)设 AC 的斜率为 k ,则 A、C、F 所在的直线的方程为 y ? k ( x ? 2) 设 A( x1 , y1 ) 、 C( x2 , y2 ) ,因 A、C 在抛物线上(AC 与 x 轴不垂直) ,故 k 满足下列方程组:

? y ? k ( x ? 2) ? 2 ? y ? 8x

① ②

将①代入②消去 y 得:

l

y
C

k 2 ( x ? 2)2 ? 8x , k 2 x2 ? (4k 2 ? 8) x ? k 2 ? 0 , 2 4 2 因 ? ? b ? 4ac ? 12k ? 64k ? 64 ? 0
故 x1 ? x2 将x

B

D

??

?(4k ? 8) 4k ? 8 c ?? ? a k2 k2
2 2
A

F

E

x

?

y 8 ? 2 代入②消去 x 得: y 2 ? y ? 16 ? 0 , k k
2

y 2 ? 8x
(以k ? 2作图)

1 ? 8? 2 因 ? ? b ? 4ac ? ? ? ? ? 4 ?1? (?16) ? 64( 2 ? 64) ? 0 k ? k?

27 / 34

8 2k 2 ? 4 4 8 故 y1 ? y2 ? ? k ? ,y1 ? y2 ? ?16 , 因此, 以 AC 为直径的圆的圆心为 D( , ) k 1 k k2 ?
因 csc 2 ?

? 1?

1 1 1 ? , ? ? 180 ,故 csc? ? 1 ? ? 1 ? 2 ,得: 2 2 tan ? tan ? k

AC ? csc ? ? y2 ? y1 ? 1 ? ?

1 1 ? y2 ? y1 ? 1 ? 2 ? 2 k k

? y2 ? y1 ?

2

k2 ?1 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 k

?

k 2 ?1 8 2 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? ( ) ? 4 ? ( -16 ) ? 8 ? ? 8 k k2 k2 k2 k2
AC k 2 ?1 ? 4 2 , 又定圆心为 E(3,0) ,半径 r ? 3 ,可得 2 k

AC 为直径的圆的半径 R ?

2k 2 ? 4 4 2 k2 ? 4 k 2 ?1 k2 ? 4 2 DE ? ( ? 3) ? ( ) ? ,又R ? r ? 4 2 ? 3 ? ? DE k k2 k2 k k2
因此,这两个圆相内切 2004 年 (6)以椭圆的标准方程为 (A)12 (A)4

x2 y 2 ? ? 1 的任一点(长轴两端除外)和两个焦点为顶点的三角形的周长等于 16 9
(B) 8 ? 2 7 ? a ? 2c ? (B)8 (C)13 (D)18

(13)如果抛物线上的一点到其焦点的距离为 8,则这点到该抛物线准线的距离为 (C)16 (D)32

(24) (本小题满分 12 分) 设 A、B 两点在椭圆 (Ⅰ)求直线 AB 的方程

1? x2 ? y 2 ? 1 上,点 M ? ? 1, ? 是 A、B 的中点. 4 ? 2?

(Ⅱ)若椭圆上的点 C 的横坐标为 ? 3 ,求 ?ABC 的面积 解(Ⅰ)所求直线过点 M(1,

1 1 ) ,由直线的点斜式方程得所求直线的方程为 y ? k ( x -1) ? , 2 2 1 x2 ? y 2 ? 1 ,即 A、B 两点的坐标满足方程组 ,又在椭圆 2 4

A、B 两点既在直线 y ? k ( x -1) ?

? x2 2 ? 4 ? y ? 1?????????????① 1 1 1 2 2 2 ,将②代入①得: ( ? k ) x ? 2k ( ? k ) x ? ( ? k ) ? 1 ? 0????????③ ? 4 2 2 1 ? y ? k ( x -1) ? ② ? 2
此方程的判别式:
1 y ? ? x ?1 2

y
A

28 / 34

C1

0.5

B
0.5
0.5

x

C2

0.5

1 1 1 ? ? b ? 4ac ? ? 2k ( ? k ) ? ? 4( ? k 2 ) ?( ? k ) 2 ? 1? ? ? ? ? 2 4 ? ? ? 2 ? 1 1 1 ? 4k 2 ( ? k ) 2 ? 4k 2 ( ? k ) 2 ? (1 ? 4k 2 ) ? ( ? k ) 2 2 2 2 1 3 2 2 2 ? (1 ? 4k ) ? ( ? k ) ? 3k ? k ? 2 4 2 2 ? 1 1? ? 3 3 ?k ? 1 ? ? 5 ? 0 ? 3 ?k 2 ? k ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 6? 6 ? 6 ? ? 4 36 ? ?
2

2

因此它有两个不等的实数根 x1 、 x2 .

1 2k ( ? k ) 4 ? k ? 2k 2 ? b 1 2 ?? ? 2 ,解得 k ? ? 由 x1 ? x2 ? ? 得: x1 ? x2 ? ? 2 1 2 a 2 1 ? 4k ?k 4 1 1 1 将 k= ? 代入 y ? k ( x -1) ? 得直线 AB 的方程: y ? ? x ? 1 2 2 2
(Ⅱ)将 k ? ?

?y ?1 ?x ? 0 1 代入方程③,解得 ? 1 ,又得 ? 1 , 2 ? x2 ? 0 ? x2 ? 2

即 A、B 两点的坐标为 A(0,1) ,B(2,0) ,于是

AB = (0 ? 2) 2 +(1 ? 0) 2 = 5
由于椭圆上的点 C 的横坐标为 ? 3 ,故点 C 的坐标为 C( ? 3 , ? 点 C 到直线 AB 的距离为:

1 ) 2

d=

Ax 0 +By0 ? C A 2 +B2

1 ? 3 ? ?2?2 1? 3 2 = = 2 2 5 1 +2

或 d=

Ax 0 +By0 ? C A 2 +B2

1 ? 3 ? ?2?2 3? 3 2 = = 2 2 5 1 +2

所以, ?ABC 的面积为:

S?ABC =
2005 年

1 1 1? 3 1? 3 AB ? d= 5? = 2 2 2 5



1 1 S?A B C= A B ? d= 2 2

?5

3 ? 5

3 ? 3 =

3 2

(5)中心在原点,一个焦点在 (0, 4) 且过点 (3, 0) 的椭圆方程是

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? 焦点在y轴上 ? ?1 ? (A) ? 2 ? (B) 9 ? 16 ? 1 (C)25 ? 41 ? 1 9 25 ? c ? 4,b ? 3,a ? 25 ?
(8)双曲线

x2 y 2 ?1 (D) ? 9 4

x2 y2 ? ? 1 的焦距是 28 8
(A) 4 5 (B) 2 5 (C)12

?2c ? 2

28 ? 8 ? 12

?
y

(D)6
C2

(24) (本小题满分 12 分) 如图,设 A1 、 A 2 是椭圆 C1 :

x y ? ? 1 长轴的两个端点, 4 3
A1
29 / 34

2

2

l

Q

P

A2
R P?

x

l 是 C1 的右准线,双曲线 C2 :
(Ⅰ)求 l 的方程;

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)设 P 为 l 与 C2 的一个交点,直线 PA1 与 C1 的另一个交 点为 Q,直线 PA2 与 C1 的另一个交点为 R.求 QR 解(Ⅰ)椭圆的半焦距 c ? a2 ? b2 ? 4 ? 3 ? 1 ,右准线 l 的方程 x ?

a2 4 ? ?4 c 1

(Ⅱ)由 P 为 l 与 C2 的一个交点的设定,得 P(4,3) 或 P?(4, ?3) 。由于 C2 是对称曲线,故可在此两点 中的任意一点取作图求 QR ,现以 P (4,3) 进行计算。 由题设和直线的两点式方程得 PA1 的方程为 y ? (x ? 2) ,PA2 的方程为 y ? (x ? 2)

1 2

3 2

1 3 ? ? y ? (x ? 2) y ? (x ? 2) ? ? 3 3 3 3 ? ? 1, ? ) 解? 2 2 2 得 Q(1,) ,解 ? 2 2 2 得 R( , QR = ? ( ? )=3 2 2 2 2 ?x ? y ?1 ?x ? y ?1 ? ? 4 3 4 3 ? ?
2006 年 (15)设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则该椭圆的离心率为 16 12
(B)

(A) 2007 年

1 2

? c 16 ? 12 1 ? e ? ? ? ? ? ? a 2? 16 ? ?

3 3

(C)

3 2

(D)

7 2

(12)已知抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到该抛物线的准线的距离为 5,则过点 P 和原点的直线的斜率为 (A)

4 4 或? 5 5

(B)

5 5 或? 4 4

(C) 1或 ? 1

(D) 3或 ? 3

1 y ? 2 ? 2 ?由y ? 2 px和y ? 4 x得p =2, x ? 2 p ? 5??? x ? 4 ? y ? ?4???? k ? x ? ?1? ? ?
(14)已知椭圆的长轴长为 8,则它的一个焦点到短轴的一个端点的距离为 (A)8 (B)6 (C)4

? d ? a ? 8/ 2 ? 4?

(D)2

( ? 3, 8) (24) (本小题 12 分)已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 3,并且过点 ,求:
(Ⅰ)双曲线的标准方程 (Ⅱ)双曲线焦点坐标和准线方程 解(Ⅰ)由已知得双曲线的标准方程为

x2 y 2 c ? 2 ? 1 , ? 3,c ? 3a, 2 a a b 2 2 x y 2 2 2 2 左准线 (3a) ? a 2 ? 8a 2 , 2 ? 2 ? 1 故b ? c ?a ? a 8a x2 y2 ( ? 3, 8) 将点 代入 2 ? 2 ? 1 , a 8a
2 ,b2 ? 8,c ? 3 得: a ? 1

y
右准线

x

30 / 34

故双曲线的标准方程为 x ?
2

y2 ?1 8 a2 1 ?? c 3

( ? 3,) 0 , (3,) 0 双曲线准线方程: x ? ? (Ⅱ)双曲线焦点坐标:

十五、排列与组合
2001 年 (12) 有 5 部各不相同的手机参加展览,排成一行,其中 2 部手机来自同一厂家,则此 2 部手机恰好相邻 的排法总数为( 解法一 分步法 ①将同一厂家的 2 部手机看成“一”部手机,从“四”部手机任选“四”部的排列数为 P44 ; ②被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列,排列数为 P22 。
4 2 根据分步计数原理,总排列数为 P4 P2 =48(种)

) (A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60

解法二 分类法 将同一厂家的 2 部手机看成手机“ 1? ”.
3 2, 3, 4、 1?, 2, 4, 3 1? ,,, 3 2 4、 1? ,,, 3 4 2、 1? ,,, 4 2 3、 1? ,,, 4 3 2) ①手机 “ 1? ” 排在 1 位, 有 P3 种排法 ( 1?, ; 3 ②手机“ 1? ”排在 2 位,有 P3 种排法; 3 ③手机“ 1? ”排在 3 位,有 P3 种排法; 3 ④手机“ 1? ”排在 4 位,有 P3 种排法;

上述排法共 24 种,每种排法中手机“ 1? ”各有二种排法,故总排列数为: 24 ? 2=48(种) 2002 年 (11) 用 0,1,2,3 可组成没有重复数字的四位数共有( ) (A)6 个 (B)12 个
3

(C)18 个

(D)24 个
4

解法一 ①从 0,1,2,3 这四个数字中取出四个数字的总排列数为 P4 ; ②将 0 排在首位的排列数为 P3 ,而 0 不能排在首位; 总排列数 P4 减去 0 排在首位的排列数 P4 即为所求。因此,用 0,1,2,3 可组成没有重
4 复数字的四位数的个数为 P4 ? P33 =4 ? 3? 2 ?1 ? 3? 2 ?1=18 (个)

4

3

解法二 第一步:从 1,2,3 这三个数字中任取一个排在第一位,有 P3 种取法; 第二步:从剩下的三个数字中任取一个排在第二位,有 P3 种取法; 第三步:从剩下的二个数字中任取一个排在第三位,有 P2 种取法; 第四步:从剩下的一个数字中任取一个排在第四位,有 P 1 种取法. 根据分步计数原理,可组成没有重复数字的四位数共有 P3 P3 P2 P 1 个。
1 1 1 1 . P3 P3 P2 P1 =3 ? 3 ? 2 ?1=18 (个)

1

1 1 1

1 1 1 1

解法三 第一步:从 1,2,3 这三个数字中任取一个排在第一位,有 P3 种取法; 第二步:把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位,有 P3 种取法; 根据分步计数原理,可组成没有重复数字的四位数共有 P3 P3 个 。
1 3 P3 P3 =3 ? 3 ? 2 ?1=18 (个)

1

3

1 3

解法四 第一类:把 0 固定在个位上,1,2,3 排在千位、百位、十位的排法有 P3 ; 第二类:把 0 固定在十位上,1,2,3 排在千位、百位、个位的排法有 P3 ; 第三类:把 0 固定在百位上,1,2,3 排在千位、十位、个位的排法有 P3 ; 根据分类计数原理,可组成没有重复数字的四位数的个数共有:
31 / 34
3 3

3

P33 ? P33 ? P33 =3P33 =3 ? 3 ? 2 ?1=18 (个)
2003 年 (7)用 0,1,2,3,4 组成的没有重复数字的不同 3 位数共有 (A)64 个 (B)16 个
2

(C)48 个

(D)12 个
3

解法一 ①从 0,1,2,3,4 这五个数字中取出三个数字的总排列数为 P5 ; ②将 0 排在首位的排列数为 P4 ,而 0 不能排在首位; 总排列数 P5 减去 0 排在首位的排列数 P4 即为所求。因此,用 0,1,2,3 可组成没有重复数
3 字的四位数的个数为 P5 ? P42 =5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3=48(个)

3

2

解法二 第一步:.从 1,2,3,4 这四个数字中任取一个排在第一位,有 P4 种取法; 第二步:从剩下的四个数字(含 0)中任取一个排在第二位,有 P4 种取法; 第三步:从剩下的三个数字中任取一个排在第三位,有 P3 种取法; 根据分步计数原理,可组成没有重复数字的四位数共有 P4 P4 P3个 。
1 1 1 . P4 P4 P3 =4 ? 4 ? 3=48 (个)

1

1

1

1 1 1

解法三 第一步:从 1,2,3,4 这四个数字中任取一个排在第一位,有 P4 种取法; 第二步:从剩下的四个数字(含 0)中任取二个排在十位、个位,有 P4 种取法; 根据分步计数原理,可组成没有重复数字的四位数共有 P4 P4 个 。
1 2 P4 P4 =4 ? 4 ? 3=48 (个)

1

2

1 2

解法四 第一类:把 0 固定在个位上,1,2,3,4 中任取二个排在百位、十位的排法有 P4 ; 第二类:把 0 固定在十位上,1,2,3,4 中任取二个排在百位、个位的排法有 P4 ; 第三类:0 不参加排列,1,2,3,4 中任取三个的排法有 P4 ; 根据分类计数原理,可组成没有重复数字的三位数的个数共有:
3 2P42 ? P4 =2 ? 4 ? 3+4 ? 3 ? 2=48 (个)

2 2

3

解法五 列举法(麻烦且容易漏列,但直接明了)

103, 104, 120, 123, 124, 130, 132, 134, 140 , 142 , 143 ,共 12 个; 第一类:1 排在百位的数是 102,
第二类:2 排在百位,与 1 排在百位同理,2 排在百位的数也是 12 个; 第三类:3 排在百位,与 1 排在百位同理,2 排在百位的数也是 12 个; 第四类:4 排在百位,与 1 排在百位同理,2 排在百位的数也是 12 个; 根据分类计数原理,可组成没有重复数字的三位数的个数共有: 12 ? 4=48 个。 2004 年 (8)十位同学互赠贺卡,每人给其他同学各寄出贺卡一张,那么他们共寄出贺卡的张数是 (A)50 2005 年 (11)从 4 本不同的书中任意选出 2 本,不同的选法共有 (A)12 种 2006 年 (11)4 个人排成一行,其中甲、乙两人总排在一起,则不同的排法有 (A)?种 2007 年 (16)在一次共有 20 人参加的老同学聚会上,如果每二人握手一次,那么这次聚会共握手多少次? (A)400 (B)380 (C)240
2 (D)190 C 20

(B)100

(C) 10

10

2 (D)90( 2C10 )

(B)8 种

(C)6 种 ( C2 4)

(D)4 种

(B)?种

3 (C)??种 ( P3 ? P22 )

(D)??种

? ?

32 / 34

2008 年 (12)某学生从 6 门课程中选修 3 门,其中甲课程必选修,则不同的选课方案共有 (A)4 种 (B)8 种 (C)10 种 (D)20 种

2 (甲课程必选,从其他 5 门课程任选 2 门的组合数为 C5 ?

Pnm n(n -1)…(n - m ? 1) 5 ? 4 ? ? ? 10 ) m Pm m! 2

十六、概率与统计初步
2001 年 (15)任意抛掷三枚相同的硬币,恰有一枚国徽朝上的概率是( ) (A) 2002 年 (15) 袋中装有 3 只黑球,2 只白球,一次取出 2 只球,恰好黑白各一只的概率是( )

1 4

(B)

1 3

(C)

3 4

(D)

3 1 ? P3 (1) ? C3 ? 0.51 ? (1 ? 0.5)3?1 ? 3 / 8? ? 8 ?

1 (A) 5

3 (B) 10

2 (C) 5

3 ? P31 P21 ? (D) ? ? 5 ? C52 ?

(19)设离散型随机变量 ? 的概率分布列是

?
p

-2 0.3

0 0.2

1 0.1

2 0.4

则 ? 的数学期望是 0.3 ( ?0.2 ? 0.3+0 ? 0.2+1? 0.1+2 ? 0.4 ) 。 2003 年 (12)从 3 个男生和 3 个女生中选出二个学生参加文艺汇演,选出的全是女生的概率是 (A)
2 1 ? C3 ? ? 2? 5 ? C6 ?

(B)

1 10

(C)

1 4

(D)

1 3

(18)某篮球队参加全国甲级联赛,任选该队参赛的 10 场比赛,其得分情况如下 99, 104, 2004 年 (11)掷两枚硬币,它们的币值面都朝上的概率是 (A) 87, 88, 96, 94, 100, 92, 56.16 108, 110 则该篮球队得分的样本方差为

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

1 8

(19)从篮球队中随机选出 5 名队员,他们的身高分别为(单位 cm) 180, 188, 200, 则身高的样本方差为 2005 年 (15)8 名选手在 8 条跑道的运动场上进行百米赛跑,其中有 2 名中国选手。按随机抽签的方式决定选手 的跑道,2 名中国选手在相邻的跑道上的概率为 (A) 47.6 195, 187

1 2

(B)

1 ? 2P77 ? ? ? 4 ? P88 ?

(C)

1 8

(D)

1 16

(19)从一批袋装食品中抽取 5 袋分别称重,结果(单位:g)如下:
33 / 34

98.6,100.1,101.4,99.5,102.2 该样品的方差为 1.7 列表求解如下: (g ) (精确到 0.1 g2 ) 100.1 101.4 99.5 102.2
2

xi
x

98.6

1 (98.6+100.1+101.4+99.5+102.2)=100.36 5
?1.76
2

xi ? x

?0.26 0.0676

1.04 1.0816

?0.86 0.7396

1.84 3.3856

? x ? x?
i

3.0976

s2
2006 年

s2 ?

1 n 1 ( xi ? x)2 ? (3.0976 ? 0.0676 ? 1.0816 ? 0.7396 ? 3.3856) ? 1.7 ? n i ?1 n

(16)两个盒子内各有三个同样的小球,每个盒子内的小球分别标有 1,2,3 这三个数字,从两个盒子中 分别任意取出一个小球,则取出的两个球上所标示数字的和为 3 的概率是 (A)

1 9

(B)

2 1 1 1 ( P ? ? ) (C) 3 3 9 3
13.8 13.3 12.7

(D)

2 3
13.6

(21)任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球 8 个,它们的外径分别是(单位 mm) 13.7 则该样本的方差为 2007 年 (17)已知甲打中靶心的概率为 0.8,乙打中靶心的概率为 0.9,两人各打靶一次,则两人都打不中的概率为 (A)0.01 (B)0.02 ?(1 ? 0.8)(1 ? 0.9)? (C)0.28 (D)0.72 12.9 0.2725 14.5 13.5

(20)经验表明,某种药物的固定剂量会使人心率增加,现有 8 个病人服用同一剂量的这种药物,心率增 加的次数分别为 13 2008 年 (16)5 个人排成一行,则甲排在中间的概率是 (A) 15 14 10 8 12 13 11 则该样本的方差为 4.5

1 2

(B)

2 5
998

(C)

1 5
999

(D)

1 10

(21)用一仪器对一物体的长度重复测量 5 次,得结果(单位:cm)如下: 1004 则该样本的样本方差为 5.2 1001 cm
2

1003

34 / 34



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